Диссертация (1137390), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В частности, в работе [36] решение было построено с помощью перехода к двойственной задаче. Следуя описанному там рассуждению,рассмотрим решение(, )∫︁∫︁ +двойственной задачи Канторовича: → sup, () + () ≤ | − |22 .(4.3)Как уже обсуждалось в главе 1 диссертации (см. параграф 1.2.2), для любогорешенияисходной задачи Канторовича существует решение(,)для (4.3),такое, что() + () ≤ | − |22() + () = | − |22 -п.в. Отсюда следует, что для -п.в.
точек (0 ,0 ) верно, что 0 ∈ (0 ), где (0 ) — супердифференциал (см. [17] для определения) в точке 0 . Чтобы построить соответствующую оптимальную транспортировику (и доказать единственность решения в каждой из связанных транспортныхзадач), достаточно убедиться в том, чтомент-п.в.(0 )содержит единственный элеЭто было продемонстрировано в [36] в предположении следующегоусловия регулярности мерыОпределение 4.5.( )∈N ⊂ 2 ,носитель ..Предположим,чтонамзаданапоследовательность{( )∈N } содержит топологическийПроизведем дизинтегрирование относительно :∫︁= , = ∘ −1 ,такая, что замыкание⊥ — ортогональная проекция на{ } — соответствующее семейство⊥ = { : ⊥ },гдеподпространствоаусловных вероятностных распределений.Вероятностное распределение -почтиатомов.каждого,на2называется регулярным, если дляусловное вероятностное распределениене содержит91Из сказанного выше следует утверждение.Теорема 4.6.[36].
Пусть, — дваборелевских вероятностных распределения на((R), 22 (R)) ≃ (, ‖ · ‖2 ) ⊂ 2 .Предположим, чтои∫︁||22 +∫︁||22 < ∞регулярно в смысле определения 4.5. Тогда существуют единственныерешенияи(,)для прямой и двойственной задач Канторовича соответственно и единственное решение задачи Монжа, которое имеет вид () = − ().4.3Транспортировка перестановочных вероятностныхраспределенийВ этом параграфе мы приведем альтернативный способ доказательствасуществования решения в задаче Монжа. Оптимальная транспортировка будетстроиться как предел своих конечномерных приближений.
Так как эргодическое разложение предельного отображения слабо связано с разложениями егоприближений, достаточное условие для существования решения, сформулированное в этом параграфе, будет отличным от сформулированного выше.Обозначим черезпроекцию : RN ↦→ RNна первыекоординат: () = (1 , 2 , . . . , ,0, 0, . . . ).Рассмотрим образы маргинальных распределений при таких проекциях: = ∘ −1 , = ∘ −1 . , перестановочны (если рассматриваются как вероятностные распределения на R ).
Пусть будет решением соответствующейЯсно, что проекции92конечномерной перестановочной задачи Монжа—Канторовича:∫︁(1 − 1 )2 → inf,2-мерных перестановочныхвероятностных распределений с маргиналами , . Как мы установили ранеегде инфимум рассматривается относительно всех(см. предложение 2.5), эта задача эквивалентна классической задаче Монжа—Канторовича с функцией стоимости∑︀=1 (− )2 .Пусть () = ∇Φ ()— соответствующее оптимальное транспортное отображение.Условие A.Существует константа > 0,такая, что потенциалыΦудовлетворяют неравенствуΦ () − Φ () − ⟨∇Φ (), − ⟩ ≤ ‖ − ‖2 ∈ N, , ∈ R .эквивалентно, Ψ удовлетворяетдля каждыхИли,неравенству:‖ − ‖2.Ψ () − Ψ () − ⟨∇Ψ (), − ⟩ ≥Замечание 4.7.Ясно, что условиеной транспортировкеAравносильно требованию к оптимальR ∋ ↦→ ∇Φ ()быть -липшицевой:|∇Φ () − ∇Φ ()| ≤ | − |наR .Сформулируем и докажем основное утверждение параграфа.Теорема 4.8.При условиисуществует решениеA∫︁и21 +∫︁12 < ∞.(4.4)перестановочной задачи Монжа—Канторовича 4.4.93Доказательство.
Так как маргиналыность вероятностных распределенийRN × RNностных распределений на{ } составляют плотную последовательNна R , последовательность { } верояттакже плотна. Значит можно найти слабосходящуюся подпоследовательность (которую мы снова будем обозначать как{ }) → . Ясно, что перестановочна, и имеет маргиналы и .
Покажем,что — решение инвариантной задачи Канторовича. Действительно, предположив противное, мы получим, что существует другое перестановочное вероятностное распределение˜,∫︁со свойством(1 − 1 )2 ˜<∫︁(1 − 1 )2 .Из слабой сходимости и (4.4) следует, что∫︁∫︁2(1 − 1 ) = limЗначит,∫︀(1 − 1 )2 ˜<воречит оптимальности∫︀(1 − 1 )2 ,(1 − 1 )2 .(4.5) . Однако это протиR × R удовлетворяютдля некотороготак как проекции˜насоответствующим ограничениям и дают меньшее значение функционалу Канторовича.Произведя замену переменных, можно заметить, что∫︁для каждого Φ2 ≤ .∫︁ Φ2 =∫︁ =2 ∫︁=2 < ∞Перейдем к подпоследовательности последовательности{ Φ } (обозначив ее снова как { Φ }).
Применив диагональный метод, можно без потери общности предположить, что Φ → слабо в2 ()для каждого. = (1 , 2 , . . . , , . . .) — искомоепоказать, что Φ → по мере.Покажем, чтоотображение. Для этого достаточноРассмотрим величину∫︁ =(︀Φ () + Ψ () −∑︁=1)︀ ,94гдеΨ — преобразованиеΦЛежандра(двойственный потенциал). Так как ≥ 0. Так как∫︁∫︁∫︁∫︁Φ = Φ = Φ = Φ ,подынтегральное выражение неотрицательно,∫︁∫︁∫︁Ψ =иΦ + Ψ =∑︀=1 ∫︁Ψ = -почти =Ψ =Ψ ,всюду, получаем, что∫︁ ∑︁ ( − ).=1Из перестановочности , ( , )следует, что все парылены. Следовательноравномерно распреде∫︁ = 1 1 ( − ).Получаем, что в частности= 0.→∞ сходимости → и (4.5).limЭто следует из слабой(4.6)С другой стороны = lim , ,где∫︁, =∫︁∑︁∑︁(Φ ()+Ψ ()− ) = (Φ ()+Ψ (∇Φ )− Φ ) .=1=1Действительно, применяя аналогичный аргумент, можно показать, что∫︁∫︁(Φ () + Ψ ()) =если≥и∫︁ ≤ .Φ +∫︁ →для всех∫︁ Ψ 95Принимая во внимание соотношениеΦ () = −Ψ (∇Φ ) +∑︁ Φ ,=1получаем∫︁Ψ (∇Φ ()) − Ψ (∇Φ ()) −, =∑︁ ( Φ − Φ ).=1Из условияA следует, что,Переходя к пределу по ,∫︁1≥→∞| ∇Φ − ∇Φ |2 .и применяя2 ()-слабуюсходимость Φ →получаем, что∫︁| − ∇Φ |2 .
≥Так как и∇Φкоммутируют с перестановками первыхем≥∫︁ координат, име(1 − 1 Φ )2 .1 Φ → 1 по вероятности. Благодаря перестановочлюбых : lim Φ = . Доказательство завершено.Тогда из (4.6) следует, чтоности, это верно для4.4Характеризация равномерно логарифмически вогнутыхвероятностных распределенийВ качестве нетривиального следствия описанных выше результатов можнополучить новую характеризацию равномерно логарифмически вогнутых перестановочных вероятностных распределений наRN .Напомним, что вероятностное распределениемически вогнутым, если оно имеет плотностьгде— выпуклая функцияR → R ∪ +∞.−наRназывается логарифотносительно меры Лебега, наконстантой ),Вероятностное распределениепрямой называется равномерно логарифмически вогнутым (c96еслидополнительно обладает следующим свойством(︂ () + () − 2+2)︂≥· | − |24 > 0.
Вероятностное распредление на RN называется равномерно логарифмически вогнутым, если для некоторого > 0 и любого непреN *−1рывного линейного функционала ∈ (R ) ее образ ∘ ∈ (R) равномернологарифмически вогнут с константой .для некоторогоСогласно результату работы [29], проекции логарифмически вогнутых распределений логарифмически вогнуты (в действительности это следствие неравенства Брунна—Минковского).
Несложно проверить, что равномерная логарифмическая вогнутость также сохраняется при проекциях.Другой известный необходимый нам результат — теорема Каффарелли осжатии, основанная на априорных оценках для уравнения Монжа—Ампера [33].Ниже мы приводим формулировку ее версии из [48].Теорема 4.9.∇Φ — оптимальная−транспортировка вероятностного распределения = в = − .Предположим, что для некоторых положительных констант , выполнены неравенства2 ≤ · Id, 2 ≥ · Id.
Тогда ∇Φ — липшицево, и√︁‖∇Φ‖ ≤ .(Теорема Каффарелли о сжатии)ПустьЯсно, что теорема 4.9 представляет собой способ проверки выполненияусловияA.Теорема 4.10. Всякое перестановочное равномерно логарифмически вогнутоеRNраспределение наявляется эргодическим, т. е. является совместным распределением последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин.Доказательство. Теорема 4.8 влечет существование перестановочного транспортногоотображения ∞ , () =2− 2√1 2в.стандартнойгауссовскогоДействительно, УсловиеAраспределения=следует из теоремы Каффарелли о сжатии и того факта, что конечномерные проекцииравномернологарифмически вогнуты. Утверждение теоремы вытекает из следствия 4.3.97Замечание 4.11.
Предположение равномерной логарифмической вогнутостив теореме 4.10 существенно и не может быть заменено более слабым предположением о логарифмической вогнутости (не обязательно равномерной).Существует логарифмически вогнутые перестановочные распределения, которые не являются произведением независимых одномерных сомножителей.Рассмотрим = − () ,где— выпуклая функция. Это одномерноелогарифмически вогнутое вероятностное распределение. Тогда распределение˜ =логарифмически вогнуто на∞∏︁21− ( +) · √ − 22=1R N × R.Оно перестановочно, и ее конечномерные проекции логарифмически вогнуты по теореме Бореля, но при этом оно не является произведением одномерных распределений.98ЗаключениеВ диссертационной работе исследована задача Монжа—Канторовича напространстве вероятностных распределений с дополнительными ограничениями линейного вида. Частными случаями такой задачи являются инвариантнаяи мартингальная задачи.Для задачи Канторовича с дополнительными линейными ограничениямиобщего вида сформулирован и доказан результат о двойственности (теорема1.8).