Диссертация (1137390), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В частности, в работе [36] решение было построено с помо­щью перехода к двойственной задаче. Следуя описанному там рассуждению,рассмотрим решение(, )∫︁∫︁ +двойственной задачи Канторовича: → sup, () + () ≤ | − |22 .(4.3)Как уже обсуждалось в главе 1 диссертации (см. параграф 1.2.2), для любогорешенияисходной задачи Канторовича существует решение(,)для (4.3),такое, что() + () ≤ | − |22() + () = | − |22 -п.в. Отсюда следует, что для -п.в.

точек (0 ,0 ) вер­но, что 0 ∈ (0 ), где (0 ) — супердифференциал (см. [17] для определения) в точке 0 . Чтобы построить соответствующую оптимальную транспортиров­ику (и доказать единственность решения в каждой из связанных транспортныхзадач), достаточно убедиться в том, чтомент-п.в.(0 )содержит единственный эле­Это было продемонстрировано в [36] в предположении следующегоусловия регулярности мерыОпределение 4.5.( )∈N ⊂ 2 ,носитель ..Предположим,чтонамзаданапоследовательность{( )∈N } содержит топологическийПроизведем дизинтегрирование относительно :∫︁= , = ∘ −1 ,такая, что замыкание⊥ — ортогональная проекция на{ } — соответствующее семейство⊥ = { : ⊥ },гдеподпространствоаусловных вероятностных распределе­ний.Вероятностное распределение -почтиатомов.каждого,на2называется регулярным, если дляусловное вероятностное распределениене содержит91Из сказанного выше следует утверждение.Теорема 4.6.[36].

Пусть, — дваборелевских вероятностных распределе­ния на((R), 22 (R)) ≃ (, ‖ · ‖2 ) ⊂ 2 .Предположим, чтои∫︁||22 +∫︁||22 < ∞регулярно в смысле определения 4.5. Тогда существуют единственныерешенияи(,)для прямой и двойственной задач Канторовича соответ­ственно и единственное решение задачи Монжа, которое имеет вид () = − ().4.3Транспортировка перестановочных вероятностныхраспределенийВ этом параграфе мы приведем альтернативный способ доказательствасуществования решения в задаче Монжа. Оптимальная транспортировка будетстроиться как предел своих конечномерных приближений.

Так как эргодиче­ское разложение предельного отображения слабо связано с разложениями егоприближений, достаточное условие для существования решения, сформулиро­ванное в этом параграфе, будет отличным от сформулированного выше.Обозначим черезпроекцию : RN ↦→ RNна первыекоординат: () = (1 , 2 , . . . , ,0, 0, . . . ).Рассмотрим образы маргинальных распределений при таких проекциях: = ∘ −1 , = ∘ −1 . , перестановочны (если рассматриваются как ве­роятностные распределения на R ).

Пусть будет решением соответствующейЯсно, что проекции92конечномерной перестановочной задачи Монжа—Канторовича:∫︁(1 − 1 )2 → inf,2-мерных перестановочныхвероятностных распределений с маргиналами , . Как мы установили ранеегде инфимум рассматривается относительно всех(см. предложение 2.5), эта задача эквивалентна классической задаче Монжа—Канторовича с функцией стоимости∑︀=1 (− )2 .Пусть () = ∇Φ ()— соответствующее оптимальное транспортное отображение.Условие A.Существует константа > 0,такая, что потенциалыΦудовлетворяют неравенствуΦ () − Φ () − ⟨∇Φ (), − ⟩ ≤ ‖ − ‖2 ∈ N, , ∈ R .эквивалентно, Ψ удовлетворяетдля каждыхИли,неравенству:‖ − ‖2.Ψ () − Ψ () − ⟨∇Ψ (), − ⟩ ≥Замечание 4.7.Ясно, что условиеной транспортировкеAравносильно требованию к оптималь­R ∋ ↦→ ∇Φ ()быть -липшицевой:|∇Φ () − ∇Φ ()| ≤ | − |наR .Сформулируем и докажем основное утверждение параграфа.Теорема 4.8.При условиисуществует решениеA∫︁и21 +∫︁12 < ∞.(4.4)перестановочной задачи Монжа—Канторовича 4.4.93Доказательство.

Так как маргиналыность вероятностных распределенийRN × RNностных распределений на{ } составляют плотную последователь­Nна R , последовательность { } вероят­также плотна. Значит можно найти слабосходящуюся подпоследовательность (которую мы снова будем обозначать как{ }) → . Ясно, что перестановочна, и имеет маргиналы и .

Покажем,что — решение инвариантной задачи Канторовича. Действительно, предполо­жив противное, мы получим, что существует другое перестановочное вероят­ностное распределение˜,∫︁со свойством(1 − 1 )2 ˜<∫︁(1 − 1 )2 .Из слабой сходимости и (4.4) следует, что∫︁∫︁2(1 − 1 ) = limЗначит,∫︀(1 − 1 )2 ˜<воречит оптимальности∫︀(1 − 1 )2 ,(1 − 1 )2 .(4.5) . Однако это проти­R × R удовлетворяютдля некотороготак как проекции˜насоответствующим ограничениям и дают меньшее значение функционалу Кан­торовича.Произведя замену переменных, можно заметить, что∫︁для каждого Φ2 ≤ .∫︁ Φ2 =∫︁ =2 ∫︁=2 < ∞Перейдем к подпоследовательности последовательности{ Φ } (обозначив ее снова как { Φ }).

Применив диагональный метод, мож­но без потери общности предположить, что Φ → слабо в2 ()для каждого. = (1 , 2 , . . . , , . . .) — искомоепоказать, что Φ → по мере.Покажем, чтоотображение. Для этого достаточноРассмотрим величину∫︁ =(︀Φ () + Ψ () −∑︁=1)︀ ,94гдеΨ — преобразованиеΦЛежандра(двойственный потенциал). Так как ≥ 0. Так как∫︁∫︁∫︁∫︁Φ = Φ = Φ = Φ ,подынтегральное выражение неотрицательно,∫︁∫︁∫︁Ψ =иΦ + Ψ =∑︀=1 ∫︁Ψ = -почти =Ψ =Ψ ,всюду, получаем, что∫︁ ∑︁ ( − ).=1Из перестановочности , ( , )следует, что все парылены. Следовательноравномерно распреде­∫︁ = 1 1 ( − ).Получаем, что в частности= 0.→∞ сходимости → и (4.5).limЭто следует из слабой(4.6)С другой стороны = lim , ,где∫︁, =∫︁∑︁∑︁(Φ ()+Ψ ()− ) = (Φ ()+Ψ (∇Φ )− Φ ) .=1=1Действительно, применяя аналогичный аргумент, можно показать, что∫︁∫︁(Φ () + Ψ ()) =если≥и∫︁ ≤ .Φ +∫︁ →для всех∫︁ Ψ 95Принимая во внимание соотношениеΦ () = −Ψ (∇Φ ) +∑︁ Φ ,=1получаем∫︁Ψ (∇Φ ()) − Ψ (∇Φ ()) −, =∑︁ ( Φ − Φ ).=1Из условияA следует, что,Переходя к пределу по ,∫︁1≥→∞| ∇Φ − ∇Φ |2 .и применяя2 ()-слабуюсходимость Φ →получаем, что∫︁| − ∇Φ |2 .

≥Так как и∇Φкоммутируют с перестановками первыхем≥∫︁ координат, име­(1 − 1 Φ )2 .1 Φ → 1 по вероятности. Благодаря перестановоч­любых : lim Φ = . Доказательство завершено.Тогда из (4.6) следует, чтоности, это верно для4.4Характеризация равномерно логарифмически вогнутыхвероятностных распределенийВ качестве нетривиального следствия описанных выше результатов можнополучить новую характеризацию равномерно логарифмически вогнутых пере­становочных вероятностных распределений наRN .Напомним, что вероятностное распределениемически вогнутым, если оно имеет плотностьгде— выпуклая функцияR → R ∪ +∞.−наRназывается логариф­относительно меры Лебега, наконстантой ),Вероятностное распределениепрямой называется равномерно логарифмически вогнутым (c96еслидополнительно обладает следующим свойством(︂ () + () − 2+2)︂≥· | − |24 > 0.

Вероятностное распредление на RN называется равно­мерно логарифмически вогнутым, если для некоторого > 0 и любого непре­N *−1рывного линейного функционала ∈ (R ) ее образ ∘ ∈ (R) равномернологарифмически вогнут с константой .для некоторогоСогласно результату работы [29], проекции логарифмически вогнутых рас­пределений логарифмически вогнуты (в действительности это следствие нера­венства Брунна—Минковского).

Несложно проверить, что равномерная лога­рифмическая вогнутость также сохраняется при проекциях.Другой известный необходимый нам результат — теорема Каффарелли осжатии, основанная на априорных оценках для уравнения Монжа—Ампера [33].Ниже мы приводим формулировку ее версии из [48].Теорема 4.9.∇Φ — оптимальная−транспортировка вероятностного распределения = в = − .Предположим, что для некоторых положительных констант , выпол­нены неравенства2 ≤ · Id, 2 ≥ · Id.

Тогда ∇Φ — липшицево, и√︁‖∇Φ‖ ≤ .(Теорема Каффарелли о сжатии)ПустьЯсно, что теорема 4.9 представляет собой способ проверки выполненияусловияA.Теорема 4.10. Всякое перестановочное равномерно логарифмически вогнутоеRNраспределение наявляется эргодическим, т. е. является совместным рас­пределением последовательности независимых одинаково распределенных слу­чайных величин.Доказательство. Теорема 4.8 влечет существование перестановочного транс­портногоотображения ∞ , () =2− 2√1 2в.стандартнойгауссовскогоДействительно, УсловиеAраспределения=следует из теоремы Каф­фарелли о сжатии и того факта, что конечномерные проекцииравномернологарифмически вогнуты. Утверждение теоремы вытекает из следствия 4.3.97Замечание 4.11.

Предположение равномерной логарифмической вогнутостив теореме 4.10 существенно и не может быть заменено более слабым пред­положением о логарифмической вогнутости (не обязательно равномерной).Существует логарифмически вогнутые перестановочные распределения, ко­торые не являются произведением независимых одномерных сомножителей.Рассмотрим = − () ,где— выпуклая функция. Это одномерноелогарифмически вогнутое вероятностное распределение. Тогда распределение˜ =логарифмически вогнуто на∞∏︁21− ( +) · √ − 22=1R N × R.Оно перестановочно, и ее конечномерные проекции логарифмически во­гнуты по теореме Бореля, но при этом оно не является произведением одно­мерных распределений.98ЗаключениеВ диссертационной работе исследована задача Монжа—Канторовича напространстве вероятностных распределений с дополнительными ограничения­ми линейного вида. Частными случаями такой задачи являются инвариантнаяи мартингальная задачи.Для задачи Канторовича с дополнительными линейными ограничениямиобщего вида сформулирован и доказан результат о двойственности (теорема1.8).

Характеристики

Список файлов диссертации