Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137390), страница 15

Файл №1137390 Диссертация (Задача Монжа-Канторовича с линейными ограничениями) 15 страницаДиссертация (1137390) страница 152019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В частности, в работе [36] решение было построено с помо­щью перехода к двойственной задаче. Следуя описанному там рассуждению,рассмотрим решение(, )∫︁∫︁ +двойственной задачи Канторовича: → sup, () + () ≤ | − |22 .(4.3)Как уже обсуждалось в главе 1 диссертации (см. параграф 1.2.2), для любогорешенияисходной задачи Канторовича существует решение(,)для (4.3),такое, что() + () ≤ | − |22() + () = | − |22 -п.в. Отсюда следует, что для -п.в.

точек (0 ,0 ) вер­но, что 0 ∈ (0 ), где (0 ) — супердифференциал (см. [17] для определения) в точке 0 . Чтобы построить соответствующую оптимальную транспортиров­ику (и доказать единственность решения в каждой из связанных транспортныхзадач), достаточно убедиться в том, чтомент-п.в.(0 )содержит единственный эле­Это было продемонстрировано в [36] в предположении следующегоусловия регулярности мерыОпределение 4.5.( )∈N ⊂ 2 ,носитель ..Предположим,чтонамзаданапоследовательность{( )∈N } содержит топологическийПроизведем дизинтегрирование относительно :∫︁= , = ∘ −1 ,такая, что замыкание⊥ — ортогональная проекция на{ } — соответствующее семейство⊥ = { : ⊥ },гдеподпространствоаусловных вероятностных распределе­ний.Вероятностное распределение -почтиатомов.каждого,на2называется регулярным, если дляусловное вероятностное распределениене содержит91Из сказанного выше следует утверждение.Теорема 4.6.[36].

Пусть, — дваборелевских вероятностных распределе­ния на((R), 22 (R)) ≃ (, ‖ · ‖2 ) ⊂ 2 .Предположим, чтои∫︁||22 +∫︁||22 < ∞регулярно в смысле определения 4.5. Тогда существуют единственныерешенияи(,)для прямой и двойственной задач Канторовича соответ­ственно и единственное решение задачи Монжа, которое имеет вид () = − ().4.3Транспортировка перестановочных вероятностныхраспределенийВ этом параграфе мы приведем альтернативный способ доказательствасуществования решения в задаче Монжа. Оптимальная транспортировка будетстроиться как предел своих конечномерных приближений.

Так как эргодиче­ское разложение предельного отображения слабо связано с разложениями егоприближений, достаточное условие для существования решения, сформулиро­ванное в этом параграфе, будет отличным от сформулированного выше.Обозначим черезпроекцию : RN ↦→ RNна первыекоординат: () = (1 , 2 , . . . , ,0, 0, . . . ).Рассмотрим образы маргинальных распределений при таких проекциях: = ∘ −1 , = ∘ −1 . , перестановочны (если рассматриваются как ве­роятностные распределения на R ).

Пусть будет решением соответствующейЯсно, что проекции92конечномерной перестановочной задачи Монжа—Канторовича:∫︁(1 − 1 )2 → inf,2-мерных перестановочныхвероятностных распределений с маргиналами , . Как мы установили ранеегде инфимум рассматривается относительно всех(см. предложение 2.5), эта задача эквивалентна классической задаче Монжа—Канторовича с функцией стоимости∑︀=1 (− )2 .Пусть () = ∇Φ ()— соответствующее оптимальное транспортное отображение.Условие A.Существует константа > 0,такая, что потенциалыΦудовлетворяют неравенствуΦ () − Φ () − ⟨∇Φ (), − ⟩ ≤ ‖ − ‖2 ∈ N, , ∈ R .эквивалентно, Ψ удовлетворяетдля каждыхИли,неравенству:‖ − ‖2.Ψ () − Ψ () − ⟨∇Ψ (), − ⟩ ≥Замечание 4.7.Ясно, что условиеной транспортировкеAравносильно требованию к оптималь­R ∋ ↦→ ∇Φ ()быть -липшицевой:|∇Φ () − ∇Φ ()| ≤ | − |наR .Сформулируем и докажем основное утверждение параграфа.Теорема 4.8.При условиисуществует решениеA∫︁и21 +∫︁12 < ∞.(4.4)перестановочной задачи Монжа—Канторовича 4.4.93Доказательство.

Так как маргиналыность вероятностных распределенийRN × RNностных распределений на{ } составляют плотную последователь­Nна R , последовательность { } вероят­также плотна. Значит можно найти слабосходящуюся подпоследовательность (которую мы снова будем обозначать как{ }) → . Ясно, что перестановочна, и имеет маргиналы и .

Покажем,что — решение инвариантной задачи Канторовича. Действительно, предполо­жив противное, мы получим, что существует другое перестановочное вероят­ностное распределение˜,∫︁со свойством(1 − 1 )2 ˜<∫︁(1 − 1 )2 .Из слабой сходимости и (4.4) следует, что∫︁∫︁2(1 − 1 ) = limЗначит,∫︀(1 − 1 )2 ˜<воречит оптимальности∫︀(1 − 1 )2 ,(1 − 1 )2 .(4.5) . Однако это проти­R × R удовлетворяютдля некотороготак как проекции˜насоответствующим ограничениям и дают меньшее значение функционалу Кан­торовича.Произведя замену переменных, можно заметить, что∫︁для каждого Φ2 ≤ .∫︁ Φ2 =∫︁ =2 ∫︁=2 < ∞Перейдем к подпоследовательности последовательности{ Φ } (обозначив ее снова как { Φ }).

Применив диагональный метод, мож­но без потери общности предположить, что Φ → слабо в2 ()для каждого. = (1 , 2 , . . . , , . . .) — искомоепоказать, что Φ → по мере.Покажем, чтоотображение. Для этого достаточноРассмотрим величину∫︁ =(︀Φ () + Ψ () −∑︁=1)︀ ,94гдеΨ — преобразованиеΦЛежандра(двойственный потенциал). Так как ≥ 0. Так как∫︁∫︁∫︁∫︁Φ = Φ = Φ = Φ ,подынтегральное выражение неотрицательно,∫︁∫︁∫︁Ψ =иΦ + Ψ =∑︀=1 ∫︁Ψ = -почти =Ψ =Ψ ,всюду, получаем, что∫︁ ∑︁ ( − ).=1Из перестановочности , ( , )следует, что все парылены. Следовательноравномерно распреде­∫︁ = 1 1 ( − ).Получаем, что в частности= 0.→∞ сходимости → и (4.5).limЭто следует из слабой(4.6)С другой стороны = lim , ,где∫︁, =∫︁∑︁∑︁(Φ ()+Ψ ()− ) = (Φ ()+Ψ (∇Φ )− Φ ) .=1=1Действительно, применяя аналогичный аргумент, можно показать, что∫︁∫︁(Φ () + Ψ ()) =если≥и∫︁ ≤ .Φ +∫︁ →для всех∫︁ Ψ 95Принимая во внимание соотношениеΦ () = −Ψ (∇Φ ) +∑︁ Φ ,=1получаем∫︁Ψ (∇Φ ()) − Ψ (∇Φ ()) −, =∑︁ ( Φ − Φ ).=1Из условияA следует, что,Переходя к пределу по ,∫︁1≥→∞| ∇Φ − ∇Φ |2 .и применяя2 ()-слабуюсходимость Φ →получаем, что∫︁| − ∇Φ |2 .

≥Так как и∇Φкоммутируют с перестановками первыхем≥∫︁ координат, име­(1 − 1 Φ )2 .1 Φ → 1 по вероятности. Благодаря перестановоч­любых : lim Φ = . Доказательство завершено.Тогда из (4.6) следует, чтоности, это верно для4.4Характеризация равномерно логарифмически вогнутыхвероятностных распределенийВ качестве нетривиального следствия описанных выше результатов можнополучить новую характеризацию равномерно логарифмически вогнутых пере­становочных вероятностных распределений наRN .Напомним, что вероятностное распределениемически вогнутым, если оно имеет плотностьгде— выпуклая функцияR → R ∪ +∞.−наRназывается логариф­относительно меры Лебега, наконстантой ),Вероятностное распределениепрямой называется равномерно логарифмически вогнутым (c96еслидополнительно обладает следующим свойством(︂ () + () − 2+2)︂≥· | − |24 > 0.

Вероятностное распредление на RN называется равно­мерно логарифмически вогнутым, если для некоторого > 0 и любого непре­N *−1рывного линейного функционала ∈ (R ) ее образ ∘ ∈ (R) равномернологарифмически вогнут с константой .для некоторогоСогласно результату работы [29], проекции логарифмически вогнутых рас­пределений логарифмически вогнуты (в действительности это следствие нера­венства Брунна—Минковского).

Несложно проверить, что равномерная лога­рифмическая вогнутость также сохраняется при проекциях.Другой известный необходимый нам результат — теорема Каффарелли осжатии, основанная на априорных оценках для уравнения Монжа—Ампера [33].Ниже мы приводим формулировку ее версии из [48].Теорема 4.9.∇Φ — оптимальная−транспортировка вероятностного распределения = в = − .Предположим, что для некоторых положительных констант , выпол­нены неравенства2 ≤ · Id, 2 ≥ · Id.

Тогда ∇Φ — липшицево, и√︁‖∇Φ‖ ≤ .(Теорема Каффарелли о сжатии)ПустьЯсно, что теорема 4.9 представляет собой способ проверки выполненияусловияA.Теорема 4.10. Всякое перестановочное равномерно логарифмически вогнутоеRNраспределение наявляется эргодическим, т. е. является совместным рас­пределением последовательности независимых одинаково распределенных слу­чайных величин.Доказательство. Теорема 4.8 влечет существование перестановочного транс­портногоотображения ∞ , () =2− 2√1 2в.стандартнойгауссовскогоДействительно, УсловиеAраспределения=следует из теоремы Каф­фарелли о сжатии и того факта, что конечномерные проекцииравномернологарифмически вогнуты. Утверждение теоремы вытекает из следствия 4.3.97Замечание 4.11.

Предположение равномерной логарифмической вогнутостив теореме 4.10 существенно и не может быть заменено более слабым пред­положением о логарифмической вогнутости (не обязательно равномерной).Существует логарифмически вогнутые перестановочные распределения, ко­торые не являются произведением независимых одномерных сомножителей.Рассмотрим = − () ,где— выпуклая функция. Это одномерноелогарифмически вогнутое вероятностное распределение. Тогда распределение˜ =логарифмически вогнуто на∞∏︁21− ( +) · √ − 22=1R N × R.Оно перестановочно, и ее конечномерные проекции логарифмически во­гнуты по теореме Бореля, но при этом оно не является произведением одно­мерных распределений.98ЗаключениеВ диссертационной работе исследована задача Монжа—Канторовича напространстве вероятностных распределений с дополнительными ограничения­ми линейного вида. Частными случаями такой задачи являются инвариантнаяи мартингальная задачи.Для задачи Канторовича с дополнительными линейными ограничениямиобщего вида сформулирован и доказан результат о двойственности (теорема1.8).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
753,78 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее