Диссертация (1137390), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

[35],[37]), то любой симплекс Шоке аффинно изоморфен некоторому симплексуДынкина.Пусть(,) — измеримоепространство.Определение 3.8. Функция : × → [0,1] называется марковским ядромна(,),если для каждогоным распределением наявляется,∈ := (,·) является вероятност­каждого ∈ функция → (,)мерапричем для-измеримой.1 , 2 на (,) будем называть -эквивалентнымидля некоторого ⊆ (), если ({ : 1 (,·) = 2 (,·)}) = 1 для любогораспределения ∈ .Два марковских ядраОпределение 3.9.(,), (, ℬ) — два измеримых пространства.Функция : × → [0,1] называется марковским переходным ядром из(,) в (,ℬ), если для каждого ∈ , := (,·) является вероятност­ным распределением на (,), а для каждого ∈ функция → (,)является ℬ -измеримой.Пусть1 , 2 из (,) в (,ℬ) будем назы­вать -эквивалентными для некоторого ⊆ ( ), если ({ : 1 (,·) =2 (,·)}) = 1 для всякого вероятностного распределения ∈ .

Каждое мар­ковское ядро определяет положительный оператор на (,) по формулеДва марковских переходных ядра∫︁( )() :=Определение 3.10.ядрона (,·). ⊆ (,), 0 — -подалгебра . Марковское(,) называется разложением для тройки (,0 , ), еслиПустьE ( |0 ) = ( )для п.в.относительно61 ∈ (,), ∈ .

Здесь E ( |0 ) — условное относительно -алгебры 0 и вероятностногодля каждыхматематическоеожиданиераспределения.(,0 , ) по определению является мар­0ковским переходным ядром из (,) в (, ).Определим действие марковского ядра на (,) следующим образом:Заметим, что разложение тройки∫︁# ()() :=(,)для всех ∈ .Вероятностное распределениеным относительно,если# () = .

∈ называется инвариант­Аналогично для любого марковского(,) в (,ℬ) по фор­(,ℬ) в (,) по формулепереходного ядра можно определить отображение из∫︀( )() := ()(,·) и отображение∫︀# ()() := (,), ∀ ∈ .мулеОпределение 3.11. ⊆ ()называется сепарабельным,ℱ , такое, что для каж­дой пары различных вероятностных распределений 1 , 2 ∈ найдется эле­0мент ∈ ℱ со свойством 1 () ̸= 2 ().

Далее, -подалгебра ⊆ на­зывается достаточной для сепарабельного подмножества ⊆ (), еслисуществует марковское ядро на (,), являющееся разложением тройки(,0 , ). Достаточная -подалгебра называется -достаточной для , ес­если вПодмножествоизсуществует счетное семейство элементов,ли она достаточна и({ : ∈ }) = 1, ∀ ∈ . -подалгебры 1 ⊆ , 2 ⊆ будем называть -эквивалентнымидля некоторого ⊆ (,), если для каждой меры ∈ и каждого мно­12жества 1 ∈ найдется множество 2 ∈ такое, что 1 = 2 почти всюдуотносительно .ДвеСледующая важная теорема объединяет утверждения теоремы 3.1, теоре­мы 3.2 и теоремы 3.3 из [38] с леммой 3.6 из [46].Теорема 3.12.

Предположим, что — счетно-порожденная -алгебра. Тогдадля сепарабельного подмножествалентны. ⊆ (,)следующие свойства эквива­62–Существует единственная, с точностью до -эквивалентности, -достаточная -алгебра 0 ⊆ для , которая состоит из всехмножеств ∈ таких, что () = 0 или () = 1 для каждоговероятностного распределения ∈ ( ).– Существует марковское ядро на (,) со свойством(( )) = ()( ), ∀, ∈ (,)или, что равносильно, со свойством ({ ∈ : = }) = 1, ∀ ∈ ,такое, чтооказывается подмножеством всехроятностных распределений изДляемумарковскогоядра -достаточная -эквивалентности)изэтогоподалгебравсех-инвариантных ве­(,).утвержденияявляется-инвариантныхалгебройсоответствующая(сточностьюдоизмеримых множеств.Определение 3.13.

Сепарабельное подмножество ⊆ (,) вероятност­ных распределений на счетно-порожденной -алгебре называется эргодиче­ски разложимым симплексом, если оно удовлетворяет любому из двух экви­валентных свойств, сформулированных в теореме 3.12.В [38] Дынкин приводит серию примеров эргодически разложимых сим­плексов. В частности, эргодически разложимыми являются симплексы из при­меров 3.6, 3.7.Следующий результат является прямым следствием теоремы 3.1 из [38] иЗамечания 3.8 из [46].Теорема 3.14.Эргодически разложимый симплекс ⊆ (,)являетсясимплексом Дынкина.

Более того, существует такое марковское ядроизопределения эргодически разложимого симплекса, что граница симплекса поДынкину определяется равенством: ( ) = { : ∈ }иbar(˜) = ⇐⇒ ˜() = ({ : ∈ })63для любого измеримого ⊆ .Следующее предложение носит технический характер.Предложение 3.15.(,) — польское пространство с -алгеброй.

Тогда следующие три -алгебры на () совпадают:1. стандартная -алгебра ℰ ,2. -алгебра, порожденная всеми множествами видаПустьборелевской{ ∈ () : ≤ () ≤ },3. ∈ , , ∈ Q ∩ [0,1],борелевская -алгебра,на ().порожденная топологией слабой сходимостиДоказательство.

Покажем сначала, чтоℰможет быть порождена всеми функ­измеримы, → (), ∈ . Очевидно, что если все отображения → ()∫︀то отображение → () := измеримо для любой простой(под простой функцией мы имеем ввиду линейную комбинациюциями видафункцииконечного числа измеримых индикаторных функций). По определению инте­ := sup{() : 0 ≤ ≤ + } − sup{() : 0 ≤ ≤ − } (где = + − − , + , − неотрицательны и измеримы, — измеримая простая функ­грала Лебега∫︀ция), и ее измеримость следует из классического факта об измеримости пото­чечного супремума измеримых отображений.Так как семейство всех интервалов с рациональными концами врождает борелевскую -алгебру -алгеброй, порожденной ∈ , , ∈ Q ∩ [0,1].сЭквивалентность такойна[0,1],[0,1]по­ -алгебра совпадает{ ∈ () : ≤ () ≤ },то стандартнаямножествами вида -алгебры и -алгебры, борелевской относительнотопологии слабой сходимости, доказана, например, в [40] (теорема 2.3).Рассмотрим пример эргодически разложимого симплекса, который ужерассматривался в предыдущей главе диссертации, и который будет служитьосновным мотивационным примером на протяжении этой главы.Пример 3.16.(Основной пример) ПустьG — топологическаягруппа с задан­ным непрерывным действием на польском метрическом пространствепринадлежащая к одному из следующих классов:(,),641.

конечная или счетная группа с дискретной топологией;2. локально-компактная группа с плотной счетной подгруппой;3. группа конечных перестановок на счетном множестве (бесконечнаясимметрическая группа) с топологией поточечной сходимости.G на × определено „диагональным” способом: (1 ,2 ) :=((1 ),(2 )), где — действие элемента ∈ G на . Вероятностное рас­пределение на (,) называется инвариантным относительно G, если ∘ −1 = для каждого ∈ G. Обозначим через G () ⊆ () множе­ство всех инвариантных борелевских вероятностных распределений на (,).Известно, что G () является замкнутым эргодически разложимым сим­Действиеплексом (доказательство см.

в п. 6 и 7 в [38]). Соответствующая симплек­ -достаточная -алгебра может быть определена как алгебра всехборелевских G-инвариантных измеримых подмножеств. Соответствующеемарковское ядро на (,) определяется формулойсу1˜(,):= lim→∞ ( )Здесь( ) — последовательностьG, — мера∫︁# ( ())().G, — левая мера Хаара на ∈ . Напомним, что после­Фелнера группыДирака, сосредоточенная в точкедовательностью Фелнера называется последовательность таких непустыхкомпактных подмножествG,что( △ )=0→∞( )limдля всякого ∈ G,где := { : ∈ }, △ — симметрическаяразность.Существование такой последовательности подмножеств гарантировано длярассматриваемых классов групп.Пример 3.17(Дискретный марковский процесс).Пусть(,) — польское -алгеброй, : × → [0,1] — марковское яд­ро со свойством ( ()) = ( )().

Последовательность вероятностныхраспределений := (0 ), ∈ N, называется марковским процессом с дис­кретным временем с начальным распределением 0 и марковским ядром .В этом случае множество всех -инвариантных вероятностных рас­пределений на (стационарных распределений) () ⊆ () является эр­пространство с борелевской65годически разложимым симплексом. Симплекс замкнут, если отображение : () → () слабо* -непрерывно.

Его -достаточная -алгебра эквива­лентна алгебре всех борелевских -инвариантных подмножеств (то естьтаких множеств ∈ , что ( ) = , где — индикатор множества ).3.2Геометрические свойства дополнительных линейныхограничений(,), (,ℬ) — два польских пространства с борелевскими -алгебрами. Обозначим через (), ( ), ( × ) множества вероятност­ных распределений на (,), (,ℬ) и ( × , ⊗ ℬ) соответственно. Заметим,Пустьчто можно рассматривать множества мер как подмножества следующих двой­ственных в банаховом смысле пространств:() ⊂ ()* , ( ) ⊂ ( )* ,( × ) ⊂ ( × )* .

Рассмотрим слабые* -топологии на двойственных про­странствах и снабдим пространства вероятностных распределений топологией,индуцированной вложением. Известно, что получившиеся топологические про­странства(), ( ), ( × )оказываются польскими (см. [54], теоремы6.2 и 6.5). Более того, их топология совпадает с топологией слабой сходимости.*Далее под слабой -топологией на пространстве вероятностных распределениймы будем иметь ввиду именно описанную здесь конструкцию.ОпределимоператорыPrY : ( × ) → ( )Определим такжепроектированияPrX :( × ) → (),следующим образом:PrX ()() = ( × ), ∀ ∈ ,(3.5)PrY ()() = ( × ), ∀ ∈ ℬ.(3.6)Pr : ( × ) → ()×() как Pr() = (PrX (),PrY ()).Очевидно, что эти операторы слабо непрерывны.В связи с задачей Канторовича нас будут интересовать компактное мно­жество транспортных планов:Π(,) = { ∈ ( × ) : Pr() = (,)}, ∈ (), ∈ ( ).66Определим функционал стоимости как отображениеR ∪ {+∞}, : ( × ) →которое аффинно:() + (1 − )() = ( + (1 − ))для всех ∈ [0,1], , ∈ ( × ), 0 · (+∞) := 0.Как правило, мы предпола­гаем слабую полунепрерывность снизу (l.s.c.) таких функционалов.

Характеристики

Список файлов диссертации