Диссертация (1137390), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(−) = (−),Аналогично, из равенстванейностьи, ∈применяя умножение наполучаем () = sup { ( ) : ≤ } . ∈Так какпродолжаети мажорируется,тоinf () = sup { ( ) : ≤ } . ∈Это равенство отличается от доказываемого утверждения о двойственности темфактом, что инфимум здесь берется по множеству линейных операторов, которые априори не являются мерами. Поэтому в оставшейся части доказательствамы покажем, что на самом деле эти функционалы — транспортные планы.Определим для каждогоего ограничение := | ∈ ( ())*надвойственное пространство к пространству ограниченных непрерывных функ .
Согласно соответствующей версии теоремы Рисса о представлении,( ())* ≃ (())* ≃ ℳ(), где — компактификация Стоуна-Чеха пространства , а ℳ() — множество мер со знаком на нем. Оба изоморфизмаций насохраняют соответствующие нормы и конусы положительных элементов (см.книгу [26] теор. 7.10.4, 7.10.5). Так какположителен, и⟨, 1⟩ = 1,то — вероятностная мера.Также известно, что для любогокак ( )плотно в1 ( , ), ∈ ( )∫︀ = ⟨, ⟩ =∫︀ . Такравенство верно для всех интегрируемых (от ) функций, в частности для индикаторных функций измеримыхмножеств на .Пусть | — мера на , задаваемая формулой | () = ( ∩ ) длялюбого ∈ , измеримого относительно . Мы хотим доказать, что | —вероятностная мера, так как из этого сразу следует, что — множество полносительно27ной -меры. Очевидно, что полная вариация |не больше единицы, а, значит, имеет структуру топологического прямого произведения: = 1 × · · · × , следовательно,существует корректно определенная проекция Pr : → , которая переводит меру | в некоторую меру на .
На самом деле, мера-образ при такомотображении — это в точности : для любого , измеримого относительно ,∫︁−1−1((Pr )# | )( ) = | (Pr ( )) = (Pr ( )) = Ind( ) = ( ).нам остается доказать, что она не меньше. Вспомним, что| () = | (Pr−1 ( )) = ( ) = 1.Таким образом, мы получили, что = | ≃ — это вероятностная мера с маргиналами . Покажем, что функционал сам является мерой.Мы будем использовать следующую полунорму на пространстве ()В частностина‖ℎ‖ = inf { ( ) : ≥ |ℎ|} . ∈Можно проверить, что эта полунорма корректно определена (см. [56]).
Порождаемая этой нормой топология не слабее, чем топология, порождаемая‖ · ‖ :∫︁inf { ( ) : ≥ |ℎ|} ≥ sup ∈|ℎ| = ‖ℎ‖ .∈ΠОднако, на подпространстве ⊂ она слабее, чем топология равномернойсходимости:{︂inf { ( ) : ≥ |ℎ|} ≥ inf ∈Заметим, что ∈}︂ ( ) : ≥ sup |ℎ()| = (sup |ℎ()|) = sup |ℎ()|.∈непрерывен относительно∈∈‖ℎ‖ : (|ℎ|) ≤ (|ℎ|) = ‖ℎ‖ (): | = также непрерывно.Важно, что плотно в относительно полунормы ‖·‖ . Выберем функ⨁︀цию ∈ , и пусть || ≤ ∈ ==1 ( ). Пусть ∈ N, = min{,}и = max{min{,}, − } ∈ (). Заметим, что | | ≤ . Покажем, чтои ограничениена28‖ − ‖ → 0при → ∞:‖ − ‖ ≤ ‖ − ‖ + ‖ − ‖)︀∑︀ (︀± − ≤ − =−=1(·)+ := max{·,0} и влечетТот факт, чтоотображенийвместе с положительностью(︃ (︂)︂ )︃∑︁ −‖ − ‖ = (( − )+ ) ≤ → 0,+=1(︃‖ − ‖ = ((− − )+ ) ≤ (︂∑︁=1 −при → ∞,)︂ )︃→ 0,при → ∞.+Сходимость здесь следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.
:= | () интегрированием, и, значит, может рассматриваться как линейный оператор на . Таккак интегрирование непрерывно в ‖ · ‖ —топологии и ‖ · ‖ не слабее, чем ‖ · ‖ ,мы заключаем, что оба функционала: продолженный и являются непрерывными линейными функционалами на ( (),‖ · ‖ ) и совпадают на . Используя тот факт, что плотно в ( , ‖ · ‖ ), мы получаем, что продолженный и совпадают на всем пространстве : ≃ ∈ Π().Заметим, что на самом деле — не просто мера, но также и транспортныйплан с маргиналами . Таким образом, утверждение теоремы доказано.Заметим, что1.3действует на каждой функции изНоситель оптимального транспортного плана в задаче сограничениямиВ этом параграфе мы сформулируем аналог-монотонностидля нашейзадачи и докажем его необходимость для носителей оптимальных транспортных планов. Независимо от нас подобный результат был получен в работе [21].Приведенное там доказательство отлично от нашего и основано на абстрактнойтеории меры в духе [45].29Определение 1.14.Длядвухвероятностных = 1 × · · · × определим отношение если и только если1.
(Pr )# () = (Pr )# (), ∀ = 1,...,,∫︀∫︀2. = , ∀ ∈ .Обозначим через — набориз[]точек в пространствеОпределение 1.15.эквивалентностикласс эквивалентности , — мера, на∼ : ∼распределенийпо отношениюс носителем∼ . Пусть . : → R и линейного подмножества ⊂ (), множество Γ ⊂ называется (, )—монотонным, если и только если для любого ∈ N, любого ⊂ Γ, любогодискретного вероятностного распределения со свойством supp( ) = илюбого вероятностного распределения ∼ выполнено неравенство∫︁∫︁ ≤.Для борелевской функции стоимостиПредложение 1.16.Еслиэквивалентно определению = {0}, то определение (, )—монотонностиобычной -монотонности.-монотонность. Обратное следует из известного (см. книгу [59]) факта: из -монотонности supp()следует, что оптимальна в классе вероятностных распределений на с темиже маргиналами, что и .
Действительно, если = {0}, то этот класс совпадает с классом эквивалентности [] . Получаем, что оптимальна в [] ,где — любое распределение с носителем, состоящем из конечного числа точеки лежащем в -монотонном множестве (здесь мы также используем известныйфакт, что подмножество -монотонного множества также -монотонно).Доказательство.(,{0})—монотонностьОпределение 1.17.полной ∈ Π () называется (, )—мосуществует (, )—монотонное множествоТранспортный планнотонным, если и только еслиΓочевидно влечет -меры: (Γ) = 1.Теорема 1.18. Пусть ( = 1,...,), := 1 ×· · ·× — польские простран = ( ∈ ( )), ∈ () — функция стоимости, ⊂ () — векторное подпространство, | ∩ ( ) = 0, и * ∈ Π () — это решение задачиства,30Монжа—Канторовича с дополнительными линейными ограничениями:∫︁ → inf , ∈ Π ().Тогда* — это (, )—монотонныйтранспортный план.Представленное ниже доказательство основывается на теореме о двойственности, которая была доказана в предыдущем параграфе.Доказательство.
Из теоремы о двойственности (1.8)∫︁* = sup{︃ ∫︁∑︁}︃ ,=1(, ) ∈ × удо⨁︀обозначения: ==1 ( ),где супремум берется по множеству всех пар функцийвлетворяющих условию =∑︀=1 ( ). Пустьдвойственной задачи, и + ≤ . Напомним( () , ) — максимизирующая последовательность()пусть = − − . Так как∫︁∫︁* − * = ≥ 0, ∫︁∑︁=1для() → 0() и такое борелевское множество Γ для которого * (Γ) = 1, что () → 0 на Γ. В дальнейшемусловимся обозначать индексы {()} просто как {}. Если = { }=1 ⊂ Γ, — это распределение с носителем и ∈ [ ] , то мы получаемимы можем найти такую подпоследовательность∫︁ ≥ ∫︁∑︁() ∫︁+ .=1Так как∫︁(Pr )# () = (Pr )# ()и∫︁для каждого ∈ 1,..., =⇒() ∫︁∫︁∫︁ =для каждого ∈ =⇒ =∫︁=() , ,31то для любоговыполнено неравенство∫︁ ≥ ∫︁∑︁() ∫︁+∫︁ =( − ) .=1Устремляя → ∞,мы получаем(, )—монотонность Γ.Заметим, что в отличие от задачи без ограничений, условие(, )—монотонности не является достаточным для оптимальности в общем случае (см.пример 1.19).
Однако в некоторых частных случаях достаточность все же имеет место. Это верно, например, в случае мартингальных ограничений, которымпосвящен следующий параграф.Пример 1.19.радиуса,Пусть = Z = 2, = = S1— окружности единичногодействует поворотами (образующая группы соответствует положительному повороту на некоторое фиксированное числодля ко(,) — непрерывная ограниченная функция наS1 × S1 . На множестве × группа действует следующим образом:(,) → ((), ()), ∈ . Множество функций совпадает с линейнойоболочкой множества {ℎ ∘ − ℎ : ∈ Z, ℎ ∈ ( × )}.Заметим, что любая нетривиальная знакопеременная мера c носителем, состоящим из конечного числа точек, не является -инвариантной.Действительно, это следует из того, что для любого > 0 существует элемент ∈ , являющийся поворотом на угол, меньший, чем .
Очевидно, при′−1достаточно малом мера = ∘не совпадает с . Отсюда следует, что11произвольное множество Γ ⊂ S × S является (, )-монотонным. Действительно, класс эквивалентности любой меры с конечным носителем ⊂ Γ′имеет только один элемент, потому что для любой другой другой меры с′конечным носителем мера − не может быть -инвариантной. Из этого, очевидно, следует, что (, )-монотонности носителя недостаточно дляторого/,иррационально),оптимальности.321.4Мартингальная задачаВ этом параграфе мы покажем, что так называемая мартингальная задача Монжа—Канторовича может быть рассмотрена как частный случай задачи Монжа—Канторовича с линейными ограничениями.
Эта задача интереснав первую очередь тем, что решение двойственной к ней задачи имеет важнуюфинансово-математическую интерпретацию. Кроме этого, неравенство в двойственной задаче во многих случаях оказывается потраекторным обобщениемклассических мартингальных неравенств, таких как неравенства Колмогорова,Дуба и др.([30], [24]).Общая теория, развитая нами в предыдущих параграфах, влечет утверждение двойственности и некоторые другие известные результаты о мартин1 = 2 = ... = = R, = R .распределения ∈ (R) ( ∈ {1,...,}), имеющиегальных оптимальных планах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
