Диссертация (1137390), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Как правило, мы будем предполагать, что,— польские. Под польским пространствоммы имеем ввиду полное сепарабельное метрическое пространство. Онообладает тем свойством, что каждое борелевское вероятностное распределение на нем является радоновым.– — фиксированные вероятностные борелевские распределения на и соответственно.– Pr и Pr — это операторы естественных проекций из прямого (топологического) произведения пространств × на первый и второй сомноижитель соответственно.– (Pr )# := ∘ Pr−1 — прямой образ (pushforward) меры при измеримомPr .Оператор– (,) — некотораяфункцияотображении(Pr )# определяется аналогично.на × , называемая «функциейстоимости». Обычно она предполагается полунепрерывной снизу и ограниченной снизу. Иногда также предполагается, что она мажорируется сверху суммой двух интегрируемых функций от одной переменной:(,) ≤ () + (), ∀(,) ∈ × , ∈ 1 (,), ∈ 1 (,).условия гарантируют, что функционал∫︁ ↦→×Такие13полунепрерывен снизу на множестве всех вероятностных распределенийна × ,удовлетворяющих свойствам(Pr )# = , (Pr )# = ,снабженном топологией слабой сходимости ([60], лемма 4.3).В этой главе мы будем рассматривать более общую постановку задачи,когда вместо двух вероятностных пространствис фиксированными распределениями задано конечное множество пространств с вероятностными распределениями{( , ) : = 1, .
. . ,}.В этом случае задача Канторовичаназывается мультимаргинальной и формулируется как задача поиска оптимального решения:∫︁ → inf ,1 ×···×Π()(1.2)Π() = { ∈ (1 × · · · × ) : (Pr )# = , = 1, . . . ,}, а Pr — проекция 1 × · · · × на .Зафиксируем следующие обозначения: = (1 , . . . ) — набор вероятностных распределений на 1 , . . . , соответственно.гдеΠ() := { ∈ (1 × · · · × ) : (Pr )# = },(1.3)(1 × · · · × ) — множество всех борелевских вероятностных распределений на 1 × · · · × . Элементы множества Π() называются транспортнымигдепланами, а само множество — множеством транспортных планов.Легко заметить, что множество транспортных планов выпукло, и что оно(1 × · · · × ) (следствие теоремы Прохорова (см.
[1]). Так как(1 × · · · × ) является компактом в топологии слабой сходимости, множество Π() также является компактом. Заметим также, что минимизируемыйзамкнуто вфункционал в задаче Канторовича:∫︁ ↦→1 ×···×является линейным функционалом на множестве транспортных планов. Значит,задача Канторовича — это задача линейной оптимизации на выпуклом множестве.Чтобы задать дополнительные линейные ограничения, необходимо выделить некоторое векторное подпространство в пространстве (знакопеременных)мер, которое в пересечении с множеством транспортных планов будет задавать14некоторое выпуклое подмножество “допустимых транспортных планов”.
Тогдамы сможем поставить задачу Канторовича на суженном множестве планов аналогично классической. Дадим формальные определения.Зафиксируем вероятностные распределенияна польских простран , и выберем подпространство некоторого подходящего пространствафункций на 1 × · · · × . Рассмотрим следующую задачу оптимизации:ствах{︂∫︁}︂∫︁inf : (Pr )# = , = 0 ∀ ∈ 1 ×···×для некоторой функции стоимости : 1 × · · · × → R.В этом случае мыограничиваем множество транспортных планов, добавляя следующее условие:∫︁ = 0 ∀ ∈ 1 ×···×Такие ограничения, очевидно, линейны.Впараграфе 1.1мы приведем точную формулировку задачи и определим специальный класс функций ,содержащий подпространство,возникающее во всех наших примерах.
Применяя классические результаты о сходимости вероятностных распределений, мы доказываем простой критерий существования решения. Точнее, мы доказываем, что при соответствующих предположениях о регулярности функции стоимости оптимальный транспортныйплан существует тогда и только тогда, когда множество допустимых планов непусто.Далее в главе разрабатывается общий подход к исследованию данной задачи и приводятся результаты, которые могут рассматриваться как обобщениясоответствующих утверждений о классической задаче Канторовича. Одним изтаких утверждений является следующий результат о двойственности:∫︁inf∈Π = sup1 ×···×∈{︃ ∫︁∑︁=1 ( ) ,∑︁}︃ + ≤ .=1Более точное утверждение и его доказательство представленыв параграфе1.2.Другой результат описывает важное геометрическое свойство носителя оптимального транспортного плана.
Хорошо известно, что решение стандартной15транспортной задачи должно лежать на-монотонном множестве ([60], теорема5.10). Мы сформулируем похожее свойство, определение которого будет зависеть не только от функции стоимости, но и от пространства , и назовем его(, )—монотонностью. Необходимость подобного свойства для носителей оптимальных планов доказывается впараграфе 1.3 как следствие утверждения одвойственности. Независимо подобный результат был сформулирован и доказанв [21], но доказательство, приведенное там, отличается от нашего: оно независимо от утверждения двойственности и использует некоторые тонкие результатыабстрактной теории меры.Один из наиболее интересных примеров линейного ограничения задаетсяусловием мартингальности, которое естественным образом возникает в финансовых приложениях.
Любая динамическая вероятностная модель некоторогофинансового инструмента, для которого известны распределения в фиксированные моменты времени, может быть рассмотрена как транспортный план снесколькими фиксированными маргиналами (мультимаргинальный план). Хорошо известно (первая фундаментальная теорема финансовой математики), чтоестественным требованием в финансовых моделях является мартингальностьпроцесса относительно некоторого распределения, эквивалентного исходному.В работе [43] описаны различные финансовые модели, основанные на оптимизации на множестве мартингальных транспортных планов.
В [22], [23] развитатеория оптимальной транспортировки вероятностных распределений с мартингальным ограничением, получен ряд новых результатов и приложений. Вграфе 1.4парамы покажем, что условие мартингальности является линейным, ивыведем ряд известных результатов о мартингальной задаче из общей теории.Другой пример интересных линейных ограничений — условие инвариантности относительно непрерывного действия некоторой группы. Такие ограничения естественным образом возникают в эргодической теории (см., например,[50]) или в геометрии ([51], [41]). Им будет посвященаглава 2 диссертации.161.1Формулировка задачи с дополнительными ограничениями1 ,..., — польские пространства с борелевскими -алгебрами наних, := 1 × · · · × , 1 ,..., — фиксированные вероятностные распределениями на 1 ,..., соответственно.
Для краткости обозначим := (1 ,..., ).Мы будем обозначать через () множество борелевских вероятностных распределений на , а через Π() или Π множество вероятностых распределенийна с заданными маргиналами. Оба пространства снабдим топологией слабойПустьсходимости.Определим следующие функциональные пространства:{︀}︀ ( ) = ∈ 1 ( , ) ∩ ( )(1.4)— это пространство непрерывных интегрируемых функций с топологией, индуцированной1 ( , )-нормой,и{︃ () =ℎ ∈ () : |ℎ| ≤∑︁}︃ ( ),где ∈ 1 ( ) ,(1.5)=1снабженное следующей полунормой:∫︁‖ℎ‖ := sup∈Π|ℎ|.(1.6)Заметим, что очень похожее функциональное пространство определяется и рассматривается в работах [5], [6] А. М.
Вершика, П. Б. Затицкого и Ф. В. Петрова. Там вместо непрерывности требуется лишь измеримость функций, и такиефункции получают название «почти непрерывных». Многие результаты работытакже могут быть сформулированы в терминах почти непрерывных функций.Предложение 1.1.Функционалℎ → ‖ℎ‖является полунормой.Доказательство. Функционал, очевидно, принимает конечные значения нарассматриваемом пространстве:∫︁|ℎ| ≤sup∈Π∑︁ ∫︁ < ∞,17‖ℎ‖ ≥ 0, ∀ℎ ∈ ()и удовлетворяет свойствам: (), ∈ [0, +∞).ℎ, ∈ ()∈Π‖ · ℎ‖ = · ‖ℎ‖ , ∀ℎ ∈Необходимо проверить лишь субаддитивность: для любых∫︁∫︁∫︁|ℎ + | ≤ supsupи|ℎ| + sup∈Π|| = ‖ℎ‖ + ‖‖ .∈ΠЗамечание 1.2.
Легко видеть, что любая функция ()интегрируема ∈ Π():относительно транспортного плана∫︁из∫︁| | ≤ sup∈Π| | = ‖ ‖ < ∞.⨁︀ := =1 ( ) ⊂ (). Зафиксируем произволь ⊂ () и функцию ∈ (). Предметом нашегоВведем обозначениеное подпространствоинтереса является следующая модификация задачи Монжа—Канторовича:∫︁(1 ,..., ) → inf .∈ΠЗдесь инфимум вычисляется по множеству транспортных планов со свойством| = 0:{︂Π =}︂ = 0, Pr# () = ,∫︁ ∈ () : ∀ ∈ гдеPr := (Pr1 ,..., Prn ) — наборестественных проекций из = 1 × ... × насоответствующий сомножитель.
∋ = ∘ Pr ,Предположим, что ∈ ( ).где∫︁∫︁( ∘ Pr ) =0=Тогда .Следовательно, мы получаем необходимое условие на мерыществования хотя бы одного транспортного плана вΠ ():∫︁ = 0,если( ∘ Pr ) ∈ . ∈ ()для су18 | ∩ ( ) = 0Другими словами, = 1,...,.для каждогоТеперь мы готовы дать определить основной объект исследования даннойглавы диссертации.Определение 1.3 (Задача Канторовича с дополнительными линейными ограничениями). Для заданных польских пространств = 1 × · · · × , веро ∈ ( ), функции стоимости ∈ (), и ли⨁︀нейного подпространства ⊆ (), где :==1 ( ) ⊂ () найтитранспортный план ∈ Π (), минимизирующий интеграл от функцииятностных распределенийстоимости:∫︁(){︂∫︁=inf() .∈Π ()Докажем важный факт о пространствеЛемма 1.4. ()плотно в}︂ ().
().‖ · ‖ ≤ ‖ · ‖ , и, следовательно, () ˓→ () : → непрерывно. Для любых ℎ ∈Доказательство. Во-первых, покажем, чтоестественное вложение ()∫︁∫︁‖ℎ‖ = sup|ℎ| ≤ sup |ℎ()| · sup∈Π∈∈Π = sup |ℎ()| = ‖ℎ‖ .∈Чтобы сделать следующий шаг в доказательстве, зафиксируем произволь⨁︀ℎ ∈ . Пусть |ℎ| ≤ ∈ = =1 ( ), ∈ N, ℎ = min{,ℎ}и ℎ = max{min{,ℎ}, − } ∈ (). Заметим, что |ℎ | ≤ . Наша цель: показать, что ‖ℎ − ℎ ‖ → 0 при → ∞. Очевидно, чтоную функцию‖ℎ − ℎ ‖ ≤ ‖ℎ − ℎ ‖ + ‖ℎ − ℎ ‖ .±ℎ − ≤ − =(·)+ := max{·,0} влечетТот факт, чтооператора‖ℎ − ℎ ‖ = sup∑︀ (︀∫︁((ℎ − )+ ) ≤∈Π=1 − ∫︁ (︂∑︁=1)︀вместе с положительностью −)︂ → 0,при → ∞.+Следовательно‖ℎ −ℎ ‖∫︁= sup∈Π)︂ ∫︁ (︂∑︁ → 0,((−ℎ − )+ ) ≤ −+=1при → ∞.19Сходимость здесь вытекает из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости:для любых(︀)︀ ∈ N − + ≤ | | ∈ 1 ( , )и(︀ − +)︀→0поточечно.Известное следствие теоремы Прохорова (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
