Диссертация (1137390), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если говорить более точно, мы выделяем некоторое линейноеподпространство функций и требуем, чтобы интересующие нас распределенияпринимали нулевые значения на этом пространстве. Свойства задачи с дополнительными ограничениями такого общего вида есть основной объект изученияв первой главе диссертации.Прогресс в исследовании задачи с ограничениями общего вида позволяетиспользовать разработанную теорию для частного случая инвариантной задачи. Ключевая задача в этой области: исследование взаимосвязи эргодичностии оптимальности в смысле Монжа – Канторовича.
Эта задача уже рассматривалась специалистами в эргодической теории (А.М. Вершик [4]), однако в третьейглаве диссертации предложен альтернативный подход к этому вопросу и описа8ние ряда новых результатов. В доказательстве этих результатов мы опираемсяна работы Е.Б. Дынкина [38]. Основным техническим инструментом здесь является теория симплексов Дынкина (Дж. Керстан и др.[46]), в рамках которойможно доказать существование эргодических разложений для весьма широкогокласса выпуклых множеств в пространстве вероятностных мер.Если=— достаточно хорошие метрические пространства (напримерпольские), а в качестве функции стоимости рассматривается функция расстояния, то минимум в задаче Канторовича определяет значение функции расстояния на пространстве()вероятностных распределений на.Такие расстояния называют расстояниями Канторовича.
Их свойства хорошо изучены, а число приложений чрезвычайно велико (с ними можно ознакомиться, например,по работе Л. Амброзио с соавторами [18] или по книге С. Виллани [60]). Однако на множестве инвариантных вероятностных распределений стандартноерасстояние Канторовича не всегда естественно. Поэтому в диссертации вводится понятие инвариантного расстояния Канторовича, учитывающего симметрии,возникающие в модели.Благодарности.Автор благодарит научного руководителя, А.В. Колесникова, за постановку задачи, поддержку, мотивацию, неоценимую помощь висследованиях и на каждом этапе подготовки данной работы.Цели и задачи диссертации.Цель работы состоит в исследованиисвойств вероятностных распределений, являющихся решениями задачи Монжа – Канторовича с дополнительными ограничениями линейного типа.Задачи диссертационного исследования.1.
Сформулировать и доказать принцип двойственности для задачи Канторовича с линейными ограничениями на пространстве вероятностныхраспределений. Исследовать важные частные случаи, в том числе случай мартингальных распределений и распределений, инвариантных относительно заданной группы преобразований.2.
Исследовать геометрические свойства носителя вероятностного распределения, являющегося решением задачи Канторовича с линейнымиограничениями. В частности, исследовать аналоги свойства циклической монотонности (равносильного оптимальности в классической задаче Канторовича без ограничений), их необходимость и достаточность.93. В задаче Канторовича с инвариантными ограничениями исследоватьсвязь эргодического разложения решения и эргодических разложениймаргинальных распределений.4. Получить достаточные условия существования оптимальной транспортировки вероятностных распределений на бесконечномерных линейныхпространствах в случае распределений, инвариантных относительно заданной группы преобразований.
Исследовать классические случаи инвариантности (в частности перестановочные распределения).Научная новизна.Все представленные на защиту положения являются новыми научными результатами. В частности, впервые исследуется задачаКанторовича с линейными ограничениями общего вида, описываются свойстваее решения. Важным новым результатом работы является теорема об эргодическом разложении решения инвариантной задачи Канторовича. С ее помощьюдоказаны новые факты о задаче Монжа для перестановочных распределенийнаRN ,а также получена новая характеризация перестановочных равномернологарифмически вогнутых распределений наRN .Положения, выносимые на защиту.1. В задаче Канторовича с дополнительными линейными ограничениями описан явный вид двойственного функционала на соответствующемпространстве случайных величин.
Доказано, что супремум двойственного функционала совпадает с минимумом функционала Канторовича(принцип двойственности). Описаны геометрические свойства носителярешения, в частности доказано, что решение обладает свойством, аналогичным свойству циклической монотонности. Построен контрпример,показывающий, что это свойство недостаточно для оптимальности.2. Для инвариантной задачи Канторовича с компактной группой симметрий описана специальная форма результата о двойственности на соответствующем пространстве инвариантных случайных величин.
На пространстве инвариантных вероятностных распределений введено понятие инвариантного расстояния Канторовича.3. Исследована связь между эргодическими разложениями инвариантныхтранспортных планов и их оптимальностью. Доказано, что инвариантную задачу Канторовича можно свести к следующим задачам: инвариантной задаче Канторовича для маргиналов соответствующих эргоди10ческих компонент и задаче Канторовича для вероятностных распределений на пространстве эргодических мер.4.
Доказано существование оптимальной транспортировки для некоторых инвариантных вероятностных распределений на бесконечномерных пространствах. Описан явный вид оптимальной транспортировкив случае перестановочных распределений. Доказано, что перестановочная последовательность случайных величин, имеющая равномерно логарифмически вогнутое распределение, является последовательностьюнезависимых одинаково распределенных случайных величин.Методология и методы диссертационного исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей, общей теории меры и функционального анализа.Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер.
Полученные в диссертации результаты могут представлять интерес для специалистов в области теории вероятностей, случайных процессов, динамических систем, а также в различных разделах теоретическойфизики. В частности, задача Монжа для перестановочных распределений наRNможет найти применение в моделях статистической физики, результат обэргодичности перестановочных равномерно логарифмически вогнутых распределений может быть важен при изучении вопросов концентрации мер. Мартингальная задача Канторовича имеет приложения в сфере финансового моделирования, в связи с чем полученные автором результаты могут быть полезныпри исследовании существующих финансовых моделей.Степень достоверности результатов диссертации. Представленныена защиту результаты диссертации представляют собой математические утверждения и сопровождаются строгими доказательствами.Личный вклад автора.
Постановка задачи принадлежит научному руководителю А.В. Колесникову. Все представленные результаты получены автором самостоятельно.Апробация результатов диссертационного исследования.Основные результаты диссертации были представлены автором лично на следующихсеминарах и конференциях:–Семинар «Бесконечномерный анализ и стохастика» (МГУ, руководители Богачев В.И., Толмачев Н.А., Шапошников С.В.), 2013.11–Международная конференция “Stochastic processes and high dimensionalprobability distributions” (Санкт-Петербург), 2014.–Vienna Seminar in Mathematical Finance and Probability (Вена, Австрия),2014.–Международная конференция «Бесконечномерный анализ, стохастика,математическое моделирование» (Москва), 2014.Также результаты диссертации многократно докладывались и обсуждались врамках научно-исследовательского семинара «Теория вероятностей. Экономические и аналитические приложения» (Москва, НИУ ВШЭ, руководители Колесников А.В., Конаков В.Д.) в 2013-2016 годах.Публикации.Основные результаты по теме диссертации изложены в 3печатных работах, которые опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Главы разбиты на параграфы. Общий объём диссертации составляет105 страниц. Список литературы содержит 61 наименование.12Глава 1. Задача Канторовича с ограничениями общего видаВ этой главе мы рассмотрим модификацию задачи Канторовича с дополнительными линейными ограничениями общего вида. Мы докажем утверждение о двойственности и опишем геометрическую характеризацию оптимальныхрешений задачи. Основные результаты этой главы опубликованы в работе автора [9].Напомним, что задачей Канторовича мы называем задачу поиска оптимального решения следующей вариационной задачи:∫︁(,) → inf , ∈ ( × ), (Pr )# = , (Pr )# = .(1.1)×Здесь– и— некоторые топологические пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
