Диссертация (1137363), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

атмосферы с постояннымиградиентами температуры, равными соответственно52dT2g dTg,, 2dz3RdzR(1.92)где  – молекулярный вес, R – газовая постоянная. Учитывая, чтопоказатель адиабаты может принимать значения в пределах 1 ≤ γ ≤ 5/3, притакихзначенияхградиентоввыполняетсяизвестныйкритерийШварцшильда конвективной неустойчивости [Соболев, 1985]dTdTdzdzПрофилиad  1 g. R(1.90)и(1.93)(1.91)могутбытьиспользованыпримоделировании конвективных зон Солнца, а также других звезд.Другие безотражательные профили скорости звука при   0находятся с помощью численного интегрирования уравнения (1.89) в средеMatLab.

Графики для безотражательных профилей для различныхзначений параметра  и еще двух произвольных постоянных приведены нарисунках 1.10 – 1.16.Рисунок 1.10 – Безотражательные профили скорости звука при  = 553Рисунок 1.11 – Безотражательные профили скорости звука при  = 3Рисунок 1.12 – Безотражательные профили скорости звука при  = 154Рисунок 1.13 – Безотражательные профили скорости звука при  = 0,5Как видно, все рисунки для положительных значений  качественнопохожи. В сторону уменьшения высоты скорость звука стремится кпостоянному значениюu (h  ) 1.(1.94)В сторону увеличения высоты скорость звука нарастает или убывает.Для отрицательных значений , рисунки тоже качественно похожидруг на друга.

Они уже не выходят на асимптотическое значение (1.94),которого просто не существует при отрицательных  и напоминаютпараболы с растущими значениями скорости звука на краях. В некоторыхслучаях парабола касается нулевого значения скорости звука, и тогдакусок этой кривой не реализуется.55Рисунок 1.14 – Безотражательные профили скорости звука при  = -0,5Рисунок 1.15 – Безотражательные профили скорости звука при  = -156Рисунок 1.16 – Безотражательные профили скорости звука при  = -3Волновое поле в безотражательной атмосфере.

Полученныепрофили скорости звука, описываемые уравнением (1.89), являютсядостаточным условием сведения волнового уравнения для вертикальнойкомпоненты скорости газа V(z,t) к уравнению Клейна – Гордона (1.56): 2  2 P .t 2  2(1.95)Все выводы, сказанные о безотражательных волнах класса 1,сохраняются и в этом случае. Так, в случае P = 0, данное уравнение имеетрешения, описывающие бегущие волныdz V ( z , t )  A( z ) t  ,c( z ) (1.96)57где (t) определяет волновое поле на излучателе. Важно отметить, что вэтом случае временная структура волнового поля не меняется, а впространствеменяетсяамплитудаволныивремяееприхода.Пространственная же структура волнового поля, конечно же, меняется.При P  0 элементарное решение уравнения (1.95) находится длямонохроматической волныdz V ( z, t )  GA( z ) exp i t  K c( z ) (1.97)с дисперсионным соотношениемK   2  P(1.98)Из линейных уравнений газодинамики можно найти остальныекомпоненты волнового поля.

Так, волновая часть давления и волноваячасть плотности определяются формулами [Ламб,1947]:p i 0  2 Vc ( z) gV  ,z  i 0  VgV  2 .  z c ( z ) (1.99)(1.100)Таким образом, волновое поле параметров безотражательнойатмосферы может быть представлено в следующем виде: dz dz  ,V ( z, t )  G c( z ) exp  exp i t  K c(z) 2H ( z) 58(1.101)p( z, t )  dz G 0 c( z ) i  dc (  2) g dz  exp   , (1.102)exp i t  K  K    2  dzc( z ) c( z )  2H ( z)  ( z, t )  dz G 0 i  dc (  2) g dz  exp  expitK K    c( z)  , (1.103)c( z ) 2  dzc( z )  2H ( z) Зная выражения для вертикальной скорости газа (1.101) и волновойсоставляющей давления (1.102), легко вычислить плотность потокаэнергии по вертикали [Эккарт, 2004]1pV *  Vp* ,2(1.104)где (*) означает комплексное сопряжение( z)  dz  0G 2 c 2 ( z ) Kexp  , H ( z) (1.105)которая, при подстановки выражений для невозмущенной скорости звукаc(z) (1.31) и равновесного давления p0(z) (1.32), равнаG 2 Kp(0).(1.106)Следовательно, опять поток энергии не зависит от z и сохраняется,несмотрянасильнуюнеоднородностьатмосферы.Врезультате,монохроматическая волна может распространяться на большие высоты безпотери энергии.

Этот вывод справедлив для волн на любом избезотражательных профилей, вне зависимости от величины и знакапараметра β.591.6. Замечания о числе безотражательных профилейЗатронем здесь важную тему о количестве безотражательныхпрофилей в неоднородной атмосфере. Еще в разделе 1.3.1 были приведеныдве разные формы волнового уравнения для акустических волн,распространяющихся вверх в атмосфере (1.38) и (1.39). Уравнение длявертикальной скорости частиц газа имеет вид2 2VV2  Vc g0.22ztz(1.107)Продифференцировав уравнение (1.107) по переменой z, было полученоуравнение для производной вертикальной скорости газа  dV:dz2 dc 2 22  cg 0.t 2z 2  dz z(1.108)Оба уравнения написаны для одного и того же волнового поля, темне менее, как мы показали, безотражательные профили скорости звука,описанные в разделах 1.4 и 1.5, оказываются разными для каждого из этихуравнений. Таким образом, число безотражательных профилей скоростизвука, как минимум, удваивается. Какое из уравнений использовать длянахождения безотражательных профилей скорости звука зависит отфизической постановки задачи.

Обсудим это более детально.Связь между скоростью газа и производной скорости определяется водномерном случае формулойdV,dz(1.109)Если бегущая волна задана импульсным решением вида (1.56)60 (t , z ) Gdz , t  c( z ) c( z ) (1.110)то скорость газа определяется интегралом от (1.110) и, следовательно,содержитинтегралотфункции.Еслифункцияявляетсязнакопостоянной, то интеграл является неограниченным на одном изконцов и тогда это не задача о распространении импульса, а ораспространении фронта возмущения. В тоже время, этой проблемы несуществует для монохроматических волн, что видно из формулы (1.79)V 1 c( z ) 2 g  .2 z (1.111)Таким образом, из этих замечаний следует, что нахождениебезотражательных профилей скорости звука является первой необходимойзадачей для решения вопроса о существовании бегущих волн в сильнонеоднородной атмосфере.

Окончательное решение зависит от формыволны. В случае монохроматической волны бегущие волны существуют навсех безотражательных профилях. Но в случае импульсного возмущениянеобходимо более тщательное исследование самих волновых полей.Отметим, что эта же проблема возникала для волн в океане[Didenkulova et al, 2008, 2009; Grimshae et al, 2010b], только там исходныеуравнения выбираются для смещения водной поверхности и для скоростичастиц воды. Если для первых безотражательные недисперсионныепрофили глубины описывались функциями h ~ x4/3, то в уравнениях дляскорости потока безотражательные профили описывались функциями h ~x4 .611.7 ЗаключениеВ настоящей главе, приведены основные уравнения, описывающиераспространениеатмосфере.акустическихОписанметодволнвнахождениянеоднороднойбегущихволнсжимаемойвсильнонеоднородных средах.

Получен новый класс точных решений линейныхгидродинамических уравнений сжимаемого газа, находящегося в полетяжести,которыесоответствуютбезотражательномувертикальномураспространению акустических волн в плоскослоистой атмосфере.Основные результаты главы:1. Из уравнений для производной вертикальной компоненты скорости газаисамойвертикальнойкомпонентыскоростигазавыведеныобыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения второгопорядка для скорости звука в неоднородной атмосфере, когдаакустические волны не испытывают внутреннего отражения.2. Поучены два класса безотражательных профилей скорости звука,допускающие распространение вертикальных акустических волн внеоднородной сжимаемой атмосфере в виде бегущих волн.

Онипредставляют собой трехпараметрическое семейство кривых. Дляпервого класса безотражательных профилей скорости звука найденыаналитические решения. Второй класс безотражательных профилейскорости звука находится численно, и описывает как монотонные, так инемонотонные изменения скорости звука с высотой. Число такихфункциональных зависимостей достаточно велико, что позволяетаппроксимировать реальные вертикальные распределения скоростизвука в атмосфере звезд и планет кусочно безотражательнымипрофилями с хорошей точностью.3.

Для обоих классов решений найдены монохроматические бегущиеволны в неоднородной атмосфере при специальном безотражательномизменении скорости звука. Эти волны не отражаются в атмосфере,62несмотря на ее сильную неоднородность, хотя и могут испытыватьдисперсию. Поток волновой энергии на таких безотражательныхпрофилях сохраняется, что и доказывает возможность переноса энергиина большие высоты. Динамика импульсных возмущений может бытьисследована с помощью Фурье суперпозиции элементарных решений.632 Вертикальные безотражательные акустические волныв атмосфере Земли2.1 ВведениеВ настоящее время существование акустико – гравитационных волнв атмосфере Земли можно считать доказанным [Голицын, 2004; Гохберг,Шалимов, 2008; Григорьев, 1999; Durran, 1999; Fritts, Alexander, 2003].Установлено, что источниками таких волн в атмосфере являютсяземлетрясения, извержения вулканов, ураганы и цунами, мощные взрывы истарты ракет и др.

На важность исследования акустико – гравитационныхволн указывает, в частности, то обстоятельство, что потоки энергии,переносимые этими волнами из нижних слоев атмосферы в верхние,сравнимы с теми, которые поступают от солнечного излучения [Гохберг,Шалимов, 2008], оказывая тем самым существенное влияниенаэнергетический и динамический баланс атмосферы, и, как следствие, напогодные условия. Акустико – гравитационные волны влияют нараспространение радиоволн в широком диапазоне частот [Гершман и др.,1984; Huang, Sofko, 1998].АтмосфераЗемлиявляетсясильнонеоднороднойинеизотермической, а, как известно, волны в неоднородной среде, какправило, отражаются [Бреховских, 1973]. Поэтому из результатовчисленных исследований не всегда видно, какие же слои в атмосфереспособствуют прохождению волновой энергии на большие высоты, а какиеотражают ее.

Так, например, простейшая модель изотермическойатмосферы, в которой плотность меняется по экспоненциальному закону,допускает распространение безотражательных волн, хотя их амплитуда именяется с высотой [Эккарт, 2004; Госсард, Хук, 1978]. При этомакустические волны могут распространяться вертикально, в то время какгравитационные – только под углом к горизонту. Считается, что этоединственный пример безотражательного распространения акустико64гравитационныхволн,поэтомуобщепринятомнение,чтовнеизотермической атмосфере, в частности, с монотонным изменениемтемпературы,акустико–гравитационныеволнынемогутраспространяться на большие высоты, что и подтверждали результатынекоторых аналитических и численных расчетов [Петрухин, 1983а,б;Петрухин, 1988; Malins, Erdelyi, 2007].

Характеристики

Список файлов диссертации