Диссертация (1137363), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Изменением ускорения силытяжести с высотой пренебрегаем.29Теперь если продифференцировать уравнение (1.36) по t, а уравнение(1.37) по z, и исключить из этих уравнений волновые и равновесныесоставляющиедавленияиплотности,получимуравнениедлявертикальной компоненты скорости газа:2 2VV2  Vc g0.22ztz(1.38)Уравнения, аналогичные уравнению (1.38) можно получить и длявсех остальных волновых характеристик среды (давления, плотности,температуры) и они будут отличаться друг от друга. В частности,продифференцировав уравнение (1.38) по переменной z, получимуравнение для величины  dVкоторая представляет собой одномерныйdz ,вариант трехмерной дивергенции скорости частиц газа:2 dc 2 22  c g  0.22tz dz z(1.39)Таким образом, вертикальное распространение акустических волн всильно неоднородной сжимаемой атмосфере описывается волновымиуравнениями с переменными коэффициентами для различных физическихсоставляющих волнового поля.

Форма этих уравнений также различна. Внастоящей работе будут рассмотрены только уравнения (1.38) и (1.39).Приведенные выше уравнения представляют собой линейныегиперболические дифференциальные уравнения в частных производных спеременнымикоэффициентами,которыебудутиспользованывследующих разделах для исследования распространения безотражательныхволн в неоднородной сжимаемой атмосфере.301.3.2 Трансформация волнового уравнения к уравнению КлейнГордона (переменная )Для описания распространения акустических волн в неоднороднойсжимаемой атмосфере воспользуемся сначала волновым уравнением (1.39)для производной скорости газа (z,t), коэффициенты которого зависятлишь от вертикального распределения скорости звука c(z): 2 2   dc 2 ( z )2.c(z) g 22tz dz z(1.40)В общем случае решение уравнения (1.40) описывает процесстрансформации падающей волны в отраженную на неоднородностяхсреды, и не распадается на два независимых, соответствующие бегущимволнам в противоположных направлениях.

Следуя методике, описанной вразделе 1.2, попробуем найти преобразования, сводящие уравнение (1.40) куравнению с постоянными коэффициентами. Тем самым будем искатьрешения данного уравнения в виде бегущих волн, представляющих собойбезотражательные акустические волны.Представим функцию  в виде произведения двух неизвестныхфункций: ( z , t )  A( z ) ( , t ) ,    (z ) ,(1.41)где все три функции подлежат определению. После подстановки (1.41) в(1.40)получаемуравнениеКлейна–Гордонаспеременнымикоэффициентами22  2d  dA d      d  2 d  2A 2  c ( z )    c ( z) A    c 2 ( z) gA  2 dz  dz dz     dz  dz   t31d  2 dA c ( z )  gA   0 .dz dz(1.42)Это уравнение преобразуется в уравнение Клейна- Гордона спостоянными коэффициентами 2  2 P ,t 2  2(1.43)если наложить следующие условия: d c 2 ( z )   1 , dz (1.44)d  2d   2 dA d gA 0, c ( z) A    c ( z)dz dz  dz dz(1.45)1 d  2 dAc ( z )  gA  P  const ,A dz dz(1.46)2Из формулы (1.44) получаем: ( z)  dz.c( z )(1.47)Отсюда ясен физический смысл функции (z) – это время распространенияакустической волны в неоднородной атмосфере.

Знак перед интеграломможет быть любым и зависит от направления, в котором распространяетсяволна. Здесь мы ограничимся случаем распространения волн вверх ватмосферу.Подставляя (1.44) в (1.45), получаем уравнение на амплитуду A(z):324c 2dAdc 2A 2gA .dzdz(1.48)Решение уравнения (1.48) дает:A( z ) ~1dz exp   ,c( z ) 2H ( z) (1.49)гдеH ( z) c 2 ( z),g(1.50)как и ранее, высота эквивалентной однородной атмосферы на горизонте z.Сразу отметим, что амплитуда волны задается таким же выражением, как ив рамках ВКБ - подхода (геометрической оптики) для плавно меняющейсясреды, хотя в данной работе не было оговорок о плавном изменениипараметров среды.

Это дает дополнительные аргументы для обоснованияполучаемых решений в виде безотражательных волн.Уравнение (1.46) после подстановки выражения для амплитуды(1.45) преобразуется в искомое уравнение для нахождения профилейскорости звука, которые обеспечивают безотражательное распространениеакустических волн:2d 2c 21 22dz4c dc 2   2 g 2  2  4 P .c dz Важноподчеркнуть,что(1.51)этообыкновенноенеоднородноедифференциальное уравнение второго порядка с произвольной константой33P. В процессе интегрирования, как всегда для уравнения второго порядка,появятся еще две константы, так что решения уравнения (1.51)представляют собой функции, определяемые тремя произвольнымиконстантами. Они образуют первый класс безотражательных профилейскоростизвукамногопараметрическимивнеоднороднойкривымилегчеатмосфере.аппроксимироватьТакимиреальнонаблюдаемые профили скорости звука.

Общее точное решение уравнения(1.51) будет получено в разделе 1.4.341.3.3 Трансформация волнового уравнения к уравнению КлейнГордона (переменная V)Рассмотрим теперь другое волновое уравнение - уравнение (1.38) длявертикальной скорости газа V(z,t): 2V 2VV2c(z) g.22tzz(1.52)В это уравнение входят три параметра: переменная скорость звука, c,ускорение силы тяжести, которая направлена противоположно оси oz иобозначено, как и ранее, g, и  - показатель адиабаты – постоянныевеличины.

В результате, коэффициенты уравнения (1.52) определяютсяединственным переменным параметром: вертикальным распределениемскорости звука, который находится через вертикальные распределениядавления и температурыc(z) = (p0/0)1/2.(1.53)Воспользовавшись процедурой, описанной в разделе 1.2, найдемрешения уравнения (1.52), описывающие бегущие волны с переменнойамплитудойифазой,неотражающиесявтолщеатмосферы-безотражательные акустические волны.

Для этого будем искать решениеуравнения (1.52) снова в виде, похожем на выражение волнового поля вВКБ приближении, однако без ограничений на малость длины волны:V ( z , t )  A( z ) ( , t ) ,    (z ) ,(1.54)где все три функции подлежат определению. После подстановки (1.54) в(1.52)получаемуравнениеКлейнакоэффициентами35–Гордонаспеременными22  2dA dd 2d   d      222A( z )  2  c ( z )   2c ( z ) c ( z ) A( z ) 2  gA( z ) 2 dz dzdz  dz dz     t 2 d2A  c ( z ) 2  gA( z )   0 .dz(1.55)Это уравнение преобразуется в уравнение Клейна - Гордона спостоянными коэффициентами (P = const) 2  2 P ,t 2  2(1.56)если наложить следующие три условия: d c ( z )   1 , dz 222c 2 ( z )(1.57)dA dd 2d c 2 ( z ) A( z ) 2  gA( z )0,dz dzdzdz1  2 d2A c ( z ) 2  gA( z )   P .A( z ) dz(1.58)(1.59)Постоянство коэффициента P возможно только для специфическихпрофилей скорости звука, которые и надлежит найти. При этих условияхисходное уравнение (1.52) с переменными коэффициентами свелось куравнению (1.56) с постоянным коэффициентом P.

Его решения в видебегущих волн будут рассмотрены в разделе 1.5. Как говорилось ранее,36существованиебегущихволнсвидетельствуетовозможностипрохождения волновой энергии на большие высоты.Уравнение (1.58) с учетом выражения (1.57) принимает вид:dAdc 24c ( z ) A( z ) 2gA( z ) .dzdz2(1.60)Решение данного уравнения и уравнения (1.57) записываются черезскорость звука c(z): ( z)  dz,c( z )(1.61) dz A( z ) ~ c( z ) exp  , 2H ( z) (1.62)где H(z), как и ранее, высота однородной атмосферы:H ( z) c 2 ( z).g(1.63)После подстановки (1.62) в (1.59), получаемнеоднородноедифференциальноеуравнениевторогообыкновенноепорядкадлянахождения безотражательных профилей скорости звука:d 2 c 1  dc  2g dc  2 g 2 2 P.    2cdz 2 2c  dz c dz 2c 32(1.64)Отметим, что хотя в уравнение (1.64) входит одна неизвестнаяконстанта P, его решения, как решения дифференциального уравнения37второго порядка, определяются через две дополнительные произвольныеконстанты, и с учетом P можно говорить о трехпараметрическомсемействе кривых.

Очевидно, что такая свобода позволит выбратьнаилучшее приближение для реальных профилей скорости звука внеоднородной атмосфере. Решения уравнения (1.64) составляют второйкласс безотражательных профилей скорости звука и исследуются в разделе1.5.381.4 Безотражательные профили скорости звука (1-й класс)В этом разделе найдем профили скорости звука, являющиесярешением уравнения (1.51):d 2c 21 22dz4c2 dc 2   2 g 2  2  4 P ,c dz (1.65)и исследуем безотражательные акустические волны, соответствующиеэтим профилям. Уравнение (1.65) может быть записано в безразмерномвиде2d 2u 21  du 2 1  2   ,22 dh4u  dh  u(1.66)гдеu  c( z ) / c0 , h  z / H 0 , H 0  c02 / g ,    P / 02 , 0  g / 2c0 .Здесь с0 – значение скорости звука на некоторой высоте z = 0, H0 – высотаоднородной атмосферы для этой же высоты, 0 - частота отсечкиакустических волн, соответствующая изотермической атмосфере, скоростьзвука в которой равна с0.

Уравнение (1.66) содержит единственнуюпроизвольную константу , изменяющуюся по величине и знаку, так чточисло физических профилей скорости звука достаточно велико.Уравнение (1.66) сводится к квадратурамh  h0   uduu 2  u  1,(1.67)39где ,  и h0 – три произвольные постоянные, которые могут меняться вшироких пределах, как по величине, так и по знаку. Таким образом, какуже говорилось выше, у нас имеется трехпараметрическое семействорешений. В дальнейших формулах h + h0 без потери общности заменяетсяна h.

Характеристики

Список файлов диссертации