Диссертация (1137363), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для этого произведем ревизию методагеометрической оптики (акустики) для волн в плавно неоднородной среде,чтобы ясно были видны основные приближения. В соответствие с методомгеометрическойоптикирешение,отвечающеераспространениюмонохроматической волны, отыскивается в виде ( x, t )  A( x) exp it  ( x) ,(1.4)где A(x) и (x) – действительные функции (амплитуда и фаза), подлежащиеопределению. Формально нужно добавить комплексно сопряженную частьв (1.4), однако в силу линейности волнового уравнения, можно«вспомнить» об этом на финальной стадии.

После подстановки (1.4) вуравнение (1.1) и разделении его на действительную и мнимую части,приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:20 ω2 d 2 A 1 dc 2 dA  2  k 2 x  A    0, 2 c dx 2 c dx dx 2kdAdk 1 dc 2AkA  0 ,dxdx c 2 dx(1.5)(1.6)где k(x) = d/dx – переменное волновое число. Уравнение (1.6)интегрируется в общем виде и напоминает собой закон сохранения потокаэнергии,A2 x k x c 2 x   const .(1.7)Уравнение (1.5) осталось уравнением второго порядка с переменнымкоэффициентом, которое не решается в общем случае и, по существу,ничем не проще исходного уравнения (1.1).

В случае медленноменяющейся скорости распространения волны (плавно неоднороднаясреда), слагаемые во второй скобке (1.5) малы, и ими пренебрегают. Тогдауравнение (1.5) становится алгебраическим и легко решаетсяk ( x) c( x).(1.8)Оно обобщает известное дисперсионное соотношение для волн в среде спостоянными параметрами. После подстановки (1.8) в (1.7) получаемявную формулу для амплитуды волныA( x) ~ c 1 / 2 ( x) .(1.9)В результате, амплитуда и фаза волны находятся однозначно черезпеременную скорость распространения волны (неоднородных параметров21среды). В следующих порядках асимптотической теории параметрыбегущих волн уточняются, но на этом здесь останавливаться не будем,смотри, например, [Бабич, Булдырев, 1972; Бреховских, 1973; Маслов,1987; Dobrokhotov et al, 2010a,b, 2013].Если же скорость волны меняется не медленно, то слагаемыми вовторой скобке (1.5) пренебречь нельзя, и, учитывая связь (1.7), уравнение(1.5) становится нелинейным уравнением с переменным коэффициентом.Уравнение такого класса в общем виде не решается в квадратурах, нобегущие волны должны быть его решениями.

Кроме того, как следует изструктуры уравнения (1.5), в общем случае амплитуда волны зависит отчастоты волны. Такая зависимость (резонанс или дисперсия) связана свзаимодействием прямой и обратной волн, так что подобное решение неможет быть бегущей волной. Это противоречие может быть разрешено,если приравнять нулю обе скобки в (1.5), переопределив, тем самым,систему уравнений для амплитуды и фазы. Тогда наряду с (1.7) и (1.8),получается еще одно уравнениеc 2 ( x)dA const .dx(1.10)Естественно, что в общем случае система трех уравнений для двухнеизвестных функций (амплитуды и фазы) стала противоречивой, и дляразрешения возникающего парадокса необходимо считать скоростьраспространения волны также неизвестной функцией.

Тогда она находитсяв явном виде:c(x) ~ x2/3.(1.11)Таким образом, в случае этого специального профиля c(x), решение(1.4)22ηx,t  A( x) exp it   ( x) , c A(x)  A0  0  c( x) (1.12)1/ 2,(1.13)x dyτ(x)  ,c(y)x(1.14)0имеет тот же вид, что и приближенное решение, но при этом ненакладывается условие на плавность изменения скорости звука. Дляопределенности константы интегрирования выбраны в точке x0, которойсоответствует скорость распространения волны c0.

Аналогично находитсяволна,распространяющаясяпротивоположный).Эти«влево»волны(знакпереднезависимыдругменяетсяотдруганаи,действительно, представляют собой бегущие волны, хотя и с переменнымипараметрами. Таким образом, бегущие волны могут существовать в сильнонеоднородных средах, но только для специфических неоднородностей.С точки зрения принципа причинности удобно рассматриватьрешения в виде бегущих волн импульсного типа. Используя принципФурье-суперпозиции элементарных решений (1.4), легко написать общеерешение для «бегущей» волны над специфическим пляжем, который будемназывать безотражательнымη( x,t)  A( x) f t  τ ( x) ,(1.15)где f(t) описывает форму волны в точке x0. Эта функция может бытьограниченной во времени, так что можно ставить корректно начальнуюзадачу (задачу Коши).

Как видим, временная форма волны в любой точке23пространства остается неизменной, меняется только ее амплитуда и времяприхода в данную точку. В то же время пространственная форма волныменяется со временем, так что волна трансформируется в пространстве.Подчеркнем еще раз, что полученное решение является точным, ионо соответствует бегущей волне с переменной амплитудой и фазой.Решения такого типа уже получались в литературе [Гинзбург, 1967;Бреховских, 1973; Черкесов, 1976], и разные авторы придавали им разныйфизический смысл. В силу произвольного (не медленного) измененияамплитудыифазыинтерпретацияихкакбегущейволны,распространяющейся без отражения, нуждается в серьезной проверке. Ещев [Бреховских, 1973] отмечено, что любое решение волнового уравнениядля монохроматической волны (при любом изменении параметров среды)может быть представлено в виде (1.4), но оно, в общем случае, не являетсябегущейволной.Поэтомунеобходимболееуглубленныйанализполучаемых решений.Решения в виде бегущих волн типа (1.15) наталкивают на мысль, чтосуществует преобразование исходного волнового уравнения (1.1) кволновому уравнению с постоянными коэффициентами.

Действительно,если отыскивать общее (а не частное) решение уравнения (1.1) в видеη( x, t )  B( x) H τ x , t ,гдефункцияH(1.16)должнаудовлетворятьволновомууравнениюспостоянными коэффициентами2H 2H 2  0,t 2τ(1.17)то легко найти, что такое преобразование возможно, если неизвестныефункцииB (x )иτ( x)удовлетворяют24тремобыкновеннымдифференциальным уравнениям [Didenkulova et al., 2008, 2009; Grimshawet al, 2010b]d  2 dB c 0,dx  dx c2(1.18)dB dτ d  2 dτ c B   0,dx dx dx dx (1.19)2 dτ c   1. dx 2(1.20)Эти уравнения фактически такие же, как и приведенные выше, если задатьравенство (B = A).

Они переопределены и требуют, чтобы скоростьраспространения волны изменялась в соответствие с (1.11). Этим методомдоказывается единственность рассмотренного ранее класса бегущих волн.Более того, сведение исходной задачи к уравнению (1.17) позволяетиспользовать весь аппарат математической физики, великолепно развитыйдля волнового уравнения.Более того, можно попытаться найти преобразование исходныхуравненийкуравнениюКлейна–Гордонаспостояннымикоэффициентами2H 2H 2  PH ,t 2τ(1.21)которое также описывает бегущие волны. В этом случае, уравнение длянахожденияскоростираспространенияволнбудетсодержатьпроизвольную константу P, и в результате, число безотражательныхконфигураций среды возрастает. Такие семейства безотражательныхпрофилей для волн в океане рассмотрены в [Диденкулова и др., 2008, 2012;25Didenkulova et al., 2008, 2009; Didenkulova and Pelinovsky, 2009, 2011, 2012;Пелиновский и Диденкулова, 2009; Пелиновский и Талипова, 2010;Талипова и Пелиновский, 2011; Талипова и др., 2009, 2012; Grimshaw et al,2010a], и здесь подробно не обсуждаются.Описанный выше подход и будет использован для поиска бегущихволн в неоднородной сжимаемой атмосфере.В заключение следует сказать, что в принципе можно решать прямои сами линейные волновые уравнения с переменными коэффициентами,поскольку для них могут быть определены функции Грина, которые дляопределенных условиях находятся в явном виде, или использоватьпреобразования типа Бесселя-Ханкеля [Курант, Гильберт, 1945].

Можнотакже искать асимптотические решения волнового уравнения [Бреховских,1973; Dobrokhotov et al, 2007]. Для частных случаев безотражательногораспространения, разного рода асимптотические решения становятсяточными, как это показано выше. При этом функции Грина записываютсяв элементарных функциях. Однако применение подхода безотражательныхволн позволяет сразу получать простые выражения, понятные с точкизрения физики. Именно им и посвящена настоящая диссертация.261.3 Основные уравнения1.3.1 Волновые уравнения для сжимаемой неоднородной атмосферыВо многих задачах атмосферу Земли, Солнца, а также других звезд ипланет, считают состоящей из идеального газа. Для описания волновыхпроцессов, протекающих в ней, используются уравнения динамикисжимаемого газа под действием силы тяжести. Будем считать атмосферуплоскослоистой, находящейся в постоянном поле силы тяжести.

Дляидеального газа без ионизации и диссипативных сил (вязкости итеплообмена), основные уравнения механики сжимаемого газа без учетасил Кориолиса имеют вид [Лайтхилл, 1981]: div ( v )  0 ,t(1.22)dv 1 gradp  g ,dt (1.23)dp 2 dc 0,dtdt(1.24)где  – плотность газа, p – давление, v – скорость частиц газа, t – время, g– ускорение свободного падения, с = (  p/  )1/2 – адиабатическая скоростьзвука и  – показатель адиабаты.

Здесь (1.22) – уравнение неразрывности,(1.23) – уравнение Эйлера, и (1.24) – уравнение сохранения энергии. Вдальнейшем предполагается, что ось z направлена вертикально вверх, такчто сила тяжести направлена вниз.Предметомисследованиявданнойдиссертацииявляютсяакустические волны в атмосфере, распространяющиеся вертикально.Воспроизведем кратко вывод линейных одномерных волновых уравнений,27для таких волн.

Пусть V(z,t) – скорость газа, тогда основные уравнения(1.22) – (1.24) упрощаются:  ( V )  0 ,t z(1.25)VV 1 pV g ,tz  z(1.26)dp 2 dc 0.dtdt(1.27)В общем случае система уравнений (1.25) – (1.27) описываетнелинейные волновые процессы, в том числе образование ударных волн. Вданной работе рассматриваются линейные волны. Считая возмущениядавления и плотности среды малыми по отношению к невозмущенномусостоянию атмосферы, представим основные функции в виде: ( z, t )   0 ( z )   ( z, t ) ,(1.28)p( z, t )  p0 ( z )  p ( z, t ) ,(1.29)где 0, p0 – невозмущенные состояния параметров атмосферы; ΄, p΄ –волновые составляющие параметров атмосферы.Стационарные распределения параметров атмосферы удовлетворяютуравнениям гидростатического равновесия, вытекающим из (1.25) – (1.27):dp0  g 0 ,dzc 2 ( z) (1.30)dp0p 0 ,d 00(1.31)28и определяются зависимостью от температуры газа T(z) по формулам: z dz  p0 ( z )  p(0) exp  , 0 H ( z ) (1.32) z dz  T (0) 0 ( z )   (0)exp  ,T ( z) 0 H ( z ) (1.33)где p(0), (0) и T(0) – давление, плотность и температура соответственнона фиксированном уровне z = 0, H(z) – высота эквивалентной однороднойатмосферы:H(z) = c2(z)/ g.(1.34)Подставим формулы (1.28) – (1.29) в уравнения (1.25) – (1.27) и сучетом приведенных выше формул, получим линеаризованные уравнениядвижения для идеального сжимаемого газа:   (  0V )  0 ,t z0(1.35)V p g   0 ,t z(1.36)d p   g 0V  c 2 ( z ) V 0   0 .tdz  t(1.37)В этих формулах скорость звука зависит от z.

Характеристики

Список файлов диссертации