Диссертация (1137363), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Интеграл в (1.67) вычисляется аналитически при любых значенияхэтих коэффициентов.«Недисперсионный» профиль скорости звука. Рассмотрим сначаларешения уравнения (1.66) при  = 0, когда P = 0, и уравнение (1.43)сводится к волновому уравнению, не содержащему дисперсию. Будемназвать такие профили «недисперсионными». Здесь существуют двапрофиля:при  = 0u  2| h|,(1.68)при   0h23 21  u u  2 .Профильскорости(1.69)звука,описываемыйформулой(1.68),соответствует случаю политропной атмосферы, когда температура,определяемая квадратом скорости звука, изменяется линейно с высотой[Ламб, 1947].Характер безотражательных профилей, описываемых выражениями(1.68) и (1.69) при  = 0 и различных значениях параметра  показан нарисунках 1.1-1.3.40Рисунок 1.1 – Безотражательные профили скорости звука ( = 0,  = 0)Рисунок 1.2 – Безотражательные профили скорости звука ( = 0,  > 0)41Рисунок 1.3 – Безотражательные профили скорости звука ( = 0,  < 0)При  = 0 обратная функция является параболой.

Профили скоростиu(h), заданные формулой (1.69) через обратные функции, определены вслучае  > 0 при h  - 4/32 и h  4/32 для левой и правой ветвей,соответственно. Отметим асимптотическую формулу3 u   2h 2/3,(1.70)вытекающую из (1.69); она описывает изменение скорости звука набольших высотах. При малых скоростях звука справедлива другаяасимптотикаu2 23 h  2  , 38 (1.71)42которая совпадает с (1.68). Отметим, что качественно профиль (1.69) при > 0 совпадает с профилем (1.68) при  = 0. Изменение нулевой точки пооси h (по высоте) легко делается за счет параметра h0.В случае  < 0 при - 4/32  h  4/32, скорость звука меняется вдиапазоне 0  u  - 1/ и большие значения скорости звука невозможны.Таким образом, при нулевом P имеются всего два качественноразличных профиля для скорости звука: все они начинаются с нуля и идутс возрастанием высоты на конечное или бесконечное значение.

Посколькудля всех этих профилей P = 0, то волны распространяются вверх бездисперсии (как решения «чисто» волнового уравнения), и поэтому этипрофили можно назвать «недисперсионными».«Дисперсионные» безотражательные профили скорости звука. ПриP  0 (или   0) получаются три различные формы решения уравнения(1.67) в зависимости от знака .При  = 0h 2  u 2  1 ,(1.72)и в зависимости от знака  функция u(h) есть гипербола или эллипс(рисунок 1.4).При  > 0 безотражательные профили скорости звука описываютсяh1 u 2  u  1 ln 2  ( u 2  u  1)  2u   ,3/ 22(1.73)а при  < 0h1| | |  | u 2  u  1  2 |  | u   arcsin.2 |  |3 / 2  2  4 |  | 43(1.74)Рисунок 1.4 – Безотражательные профили скорости звука ( = 0,   0)Исследуемвначалебезотражательныепрофили,описываемыевыражением (1.73) при  > 0. Прежде всего, отметим, что решение (1.72)следует из (1.73) предельным переходом и может отдельно нерассматриваться.

Характер алгебраической кривой (1.73) определяетсяпараметром    /  . Так в случае отрицательных  < -2, функция u(h)возрастает, оставаясь выпуклой вниз; она начинается с конечной точки h0 иu0, зависящей от величины . В диапазоне -2 <  < 0 кривая u(h) остаетсямонотонно возрастающей, но при малых скоростях звука она выпуклавверх, а при больших – вниз. При 0 <  кривая монотонно возрастает,будучи выпуклой вверх. Графики безотражательного профиля скоростьзвука, описываемого формулой (1.73), для случая  = 1 и знака “+” вправой части приведены на рисунке 1.5.44Рисунок 1.5 – Безотражательные профили скорости звука (  0,  = 1)Рисунок 1.6 – Безотражательные профили скорости звука (  0,  = 0.75)45Меняя параметр , можно «управлять» градиентами скорости звука(рисунок 1.6 и 1.7). Отметим, что семейство «дисперсионных» профилей(1.73) получается при P < 0, так как P ~ -.

В целом, они описываютмонотонно возрастающие профили скорости звука с высотой.Рисунок 1.7 – Безотражательные профили скорости звука (  0,  = 1.25)В случае  < 0, безотражательная скорость звука описываетсявыражением (1.74), и характер кривой по-прежнему зависит от параметра   / |  | . Профиля безотражательной скорости звука приведены нарисунке 1.8 для случая  = - 1. Отметим, что кривая, соответствующая  =0, совпадает с изображенной на рисунке 1.4. В целом полученные профилиописывают монотонные профили, как растущие с высотой, так иубывающие.46Рисунок 1.8 – Безотражательные профили скорости звука ( = -1)Итак, в общем случае с учетом знака в (1.67) существует десятьвыражений для безотражательного вертикального распределения скоростизвука, в большинство из которых входят произвольные константы, так чтоможно сказать, что существует очень широкий класс вертикальныхраспределенийскоростизвукаватмосфере,допускающихбезотражательное распространение акустических волн по вертикали.Рассмотрим структуру этих волн.Безотражательные монохроматические волны.

Уравнение Клейна –Гордона (1.43) в случае P = 0, как уже говорилось, совпадает с волновымуравнением. Его решения в исходных переменных, описывающие бегущиеволны, есть (t , z ) Gdz  dz ,exp   t  c( z ) c( z ) 2H ( z)  47(1.75)где (t) описывает волновое поле на некоторой высоте и G – произвольнаяпостоянная. Как видим, временная форма волны на разных высотах неменяется, меняется только ее амплитуда и время прихода. При этомамплитуда волны меняется также как и в случае плавно неоднороднойсреды.

В тоже время, как уже отмечалось ранее, пространственная формаволны изменяется.При P  0 явное (элементарное) решение уравнения (1.43) находитсятолько для монохроматической волны (t , z )  dz Gdz exp  exp i t  K c(z)c( z ) 2H ( z) (1.76)с дисперсионным соотношениемK   2  P .(1.77)Если P > 0, то волны любых частот распространяются вверх ватмосферу; если же P < 0, то распространяющимися являются тольковысокочастотные волны с частотой, превышающей частоту отсечки   0  g2c0.(1.78)Обратим внимание, что частота отсечки волн в безотражательнойатмосфере может быть как больше, так и меньше частоты отсечкиакустико-гравитационныхволнвэквивалентнойизотермическойатмосфере (мы будем подробно обсуждать это в третьей главе).Зная решение (1.76), можно найти все спектральные компонентыволнового поля.

Так, вертикальная скорость частиц V, волновая частьдавления p’ и волновая часть плотности ’ есть [Ламб, 1947]:48V 1  2 c ( z) g  ,2 z (1.79)p i 0  2 gc ( z ) g 2   2 c 2 ( z )   ,3 z (1.80) i 0   g 22g(z) .z  c 2 ( z )3  (1.81)Подставляя в приведенные формулы выражение (1.76) для (z,t):Vp  g 1 dc 2 dz Gdz  , iKc ( z ) exp  exp i t  K  2c( z )  c( z )  2 4 dz 2H ( z) (1.82) g 2 g dc 2 dz dz  ,gKc(z)i  2 c 2   exp exp i t  K 4 dzc(z)c( z )  2H ( z)  2G 03(1.83)  gK g 2 dz g dcdz  i 2  2   exp exp i t  K c( z ) c( z )  c( z )  2c ( z ) 2c( z ) dz 2H ( z) G 03(1.84)Динамика импульсных возмущений может быть исследована спомощью Фурье суперпозиции спектральных компонент.Для исследования возможности распространения акустических волнна большие расстояния в случае безотражательных профилей скоростизвука вычислим плотность потока энергии по вертикали [Лайтхилл, 1981]:1pV *  Vp* ,2(1.85)49где  – плотность потока энергии, и (*) означает комплексное сопряжение.Подставляя сюда формулы (1.82) и (1.83), получаем2 G 2 c 2 ( z ) K   dz   exp  ( z )  0  .2H(z)3Учитывая соотношение с 2 ( z)  p0 / 0(1.86)и стационарное распределениедавления p0(z) (1.32), плотность потока энергии представляет собойG 2 p (0) K,3(1.87)и, следовательно, поток энергии не зависит от z и сохраняется, несмотря насильную неоднородность атмосферы.

В результате, монохроматическаяволна может распространяться на большие высоты без потери энергии.Этот вывод справедлив дляволн на любом из рассмотренныхбезотражательных профилей, вне зависимости от величины и знакапараметра P.501.5 Безотражательные профили скорости звука (2й класс)Рассмотрим теперь другое уравнение на скорость звука (1.64),решения которого обеспечивают распространение акустических волн повертикали на большие расстояния без потери энергии:d 2 c 1  dc  2g dc  2 g 2 2 P.    2cdz 2 2c  dz c dz 2c 32(1.88)Перепишем уравнение (1.88) в безразмерном виде, содержащемтолько один параметр d 2u 1  du 2 du1    2 3  ,2dh2u  dh  u dh 2u2u2(1.89)гдеu  c( z ) / c0 , h  z / H 0 , H 0  c02 / g ,    P /  02 , 0  g / 2c0 .Здесь c0 – значение скорости звука на некоторой высоте z = 0, 0 - частотаотсечки акустических волн, соответствующая изотермической атмосфере,скорость звука в которой равна c0.Уравнение (1.89) представляет собой обыкновенное нелинейноедифференциальное уравнение второго порядка, а его решения, в своюочередь, определяются через две произвольные константы.

С учетомварьируемой константы , второй класс безотражательных профилейскоростизвука,какипервыйкласс,представляютсобойтрехпараметрическое семейство кривых.Решить уравнение (1.89) аналитически в общем виде не получается.Лишь при   0 удается получить два профиля, которые в безразмерныхпеременных имеют вид:51u  1 2 3 h ,(1.90)u  1 2h .(1.91)Графики для приведенных профилей представлены на рисунке 1.9.Фактически, в (1.90) и (1.91) входит h + const, так что кривые,представляющие собой «половинки» параболы, могут смещаться погоризонтали в любом направлении.Рисунок 1.9 – Безотражательные профили скорости звука при  = 0(сплошная линия соответствует формуле (1.90), прерывистая линия –формула (1.91))Распределения скорости звука (1.90) и (1.91) соответствуютизвестной модели политропной атмосферы, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации