Диссертация (1136684), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В одном изнаборов, предложенных самим Б. Эфроном, используется четырекубика A, B, C, D с числами на гранях {0,0,4,4,4,4}, {3,3,3,3,3,3},{2,2,2,2,6,6}, {1,1,1,5,5,5} соответственно. В этом случае кубик А свероятностью 2/3 выигрывает у кубика В, кубик В – у кубика С, кубикС – у кубика D, а кубик D с той же величиной вероятностивыигрывает у кубика А. Доказано, что этот принцип применим кпроизвольному числу любых объектов с произвольным числомграней: рулеток с числом секторов больше двух, игральных карт и т.п.Разработаны и алгоритмы генерации чисел для таких объектов[Deshpande, 2000; Богданов, 2010].Вкачественетранзитивныхдругогоотношенийпримерастохастическойпревосходстваприведеммоделиигру,придуманную математиком У. Пенни.
Суть этой игры сводится кследующему. Участвуют два игрока. Первый игрок выбираетпроизвольную двоичную последовательность из трех символов(например, 001) и показывает её второму игроку, который делает тоже самое (например, 100). Далее игроки, подбрасывая монетку, строятслучайную двоичную последовательность, в которой выпадение орласчитается за единицу, а выпадение решки – за нуль (возможны идругие методы).
Выигрывает тот игрок, чья последовательностьвыпадет раньше. К примеру, после четырех подбрасываний монетки56получилась случайная последовательность 0100. В ней первойвстретилась тройка второго игрока (100), а это значит, что второйигрок выиграл. Особенность игры заключается в том, что на любуюпоследовательностьпервогоигроканайдетсятакаяпоследовательность второго игрока, которая позволит ему всегдавыигрывать с вероятностью, большей чем ½ (Таблица 1). Один извозможных циклов превосходства в этой игре может быть таким:последовательность100свероятностью¾выигрываетупоследовательности 001, последовательность 001 с вероятностью 2/3выигрывает у последовательности 011, последовательность 011 свероятностью¾выигрываетпоследовательность110супоследовательностивероятность2/3110,выигрываетноупоследовательности 100.
При переходе к последовательностям изчетырех элементов второй игрок будет выигрывать с еще большейвероятностью [Гарднер, 1990, с.75].Таблица 1. Вероятность выигрыша последовательности второгоигрока по сравнению с последовательностью первого игрока.9Второйигрок0000010100111001011101110001/23/53/57/87/127/101/20011/21/31/33/43/81/23/10Рассмотренные0102/52/31/21/21/25/85/12Первый игрок0111002/51/82/31/41/21/21/21/21/21/21/42/31/82/5стохастические1015/125/81/21/21/22/32/5модели1103/101/23/83/41/31/31111/27/107/127/83/53/51/21/2нетранзитивныхотношений превосходства могут быть напрямую использованы приразработке «нетранзитивных» материалов для учащихся среднейшколы (и старше), поскольку они требуют для решения развитостиЧтобы определить выигрышную для второго игрока последовательность, найдите втаблице последовательность, выбранную первым игроком, и в её столбце – максимальноечисловое значение.
В строке с этим числом находится искомая последовательность.957абстрактно-логического мышления, знаний основ комбинаторики,системного мышления. Приведем примеры уже существующих задач.«Сконструируйте тройку «волшебных кубиков» так, чтобы навсех гранях кубиков фигурировали только четыре числа 1, 2, 3, 4(разумеется, с повторениями). Сконструируйте тройку «волшебныхкубиков» так, чтобы на всех гранях кубиков фигурировали различныечисла.Постройтенетранзитивнуютройкуобъектовсдвумяхарактеристиками (дайте рейтинги характеристик каждого объекта)»[Ильков, 2009, с.46].«Приведите примеры наборов из трех кубиков, в которыйпервый кубик выигрывает у второго с вероятность 2/3, второй кубик стой же вероятностью выигрывает у третьего, а третий у первого»[Roberts, 2004, p.62].Игральные кости могут быть заменены какими-либо другимиобъектами,результатвзаимодействиякоторыхявляетсястохастической величиной: специально подобранными наборамибочонков лото, выпадающих случайно из мешка (раунд выигрываетобладатель того мешка, из которого выпал бочонок с большимчислом);командамилягушек,каждаяизкоторыхпрыгаетнеуправляемо на определенную высоту (раунд выигрывает обладательтого лягушатника, лягушка из которого прыгнула выше остальных);наборами карт, выкладываемых в случайном порядке на стол (картаболее высокого ранга побеждает карту соперника); и т.д.
Например:«Есть три набора карандашей. Набор А состоит из 2 карандашейдлиной по 2 см, 2 карандашей длиной по 4 см, 2 карандашей длиннойпо 9 см. Набор Б состоит из 2 карандашей длиной по 1 см, 2карандашей длиной по 6 см, 2 карандашей длинной по 8 см. Набор Всостоит из 2 карандашей длиной по 3 см, 2 карандашей длиной по 5см, 2 карандашей длинной по 7 см.
Каждый карандаш из одного58набора сравнили с каждым карандашом из других наборов.Карандаши из какого набора чаще оказывались длиннее остальных?»«Существуют тройки команд, из которых каждая выигрывает уоднойизсоперниц,нопроигрываетдругой(отсутствиетранзитивности). Доказать что, для команд из двух игроковцикличность невозможна.
Доказать, что при количестве различныхрейтингов игроков k 3 цикличность невозможна в соревнованияхкоманд любого размера» [Ильков, 2009, с.44–45].2.4.3 Комплексная модель нетранзитивности отношенийпревосходстваВ 1785 году маркиз Кондорсе предложил такой выборныйметод, при котором индивидуальные ранжированные предпочтениякаждого индивида превращаются в циклические групповые. Чтобыпонять суть этого парадокса, представим себе 3 альтернативы (а, b, c)и 3-х выборщиков (A, B, C), ранжирующих эти альтернативы постепенипредпочтительности.ИндивидАальтернативуaпредпочитает альтернативе b, b предпочитает с (a b c). Индивид Вальтернативу b предпочитает альтернативе с, с предпочитает а(b c a).
Индивид C альтернативу c предпочитает альтернативе a, aпредпочитает b (c a b). В результате при общем подсчете ни одна изальтернатив не может быть признана лучшей, поскольку каждая изних проходит большинством голосов (a b при двух голосах противодного, аналогично b c и c a). Количество выборщиков иальтернатив может быть и больше, сути это не меняет. 10 Пустьвыборы проходят в городе с населением 10000 человек. Результатыголосования показали, что 3950 человек предпочли кандидата Акандидату В, а кандидата В кандидату С (a>b>c); 3350 человекМатематически строго это доказано лауреатом Нобелевской премии К.
Эрроу в теоремео невозможности «коллективного выбора» [Arrow, 1950].1059предпочли кандидата В кандидату С, а кандидата С кандидату А(b>c>a); оставшиеся 2750 человек предпочли кандидата С кандидатуА, а кандидата А кандидату В (c>a>b). В результате ни один изкандидатов не может выиграть эти выборы, так как при общемподсчете 61% жителей предпочитают кандидата С кандидату А, 73%жителейпредпочитаюткандидатаВкандидатуС,но67%предпочитают кандидата А кандидату В [Roberts, 2004].В действительности представленная ситуация была официальнозадокументирована 28 ноября 2004 года в кантоне Берн в Швейцариипри проведении референдума по поводу изменений трудовогозаконодательства.
Голосование на референдуме проводилось с цельювыбора одной из трех альтернатив: а) правительственная версиязакона, б) версия этого закона с поправками Общественной палаты, в)статус-кво. Избирательный бюллетень содержал в себе 3 вопроса:1) правительственный закон лучше, чем статус-кво (да/нет)?2) «общественный» закон лучше, чем статус-кво (да/нет)?3) какая из двух предложенных версий закона лучше?Согласно регламенту, принимается та версия закона, котораяокажется предпочтительнее, чем статус-кво. Если обе версииоказываются предпочтительнее, чем статус-кво, тогда конфликтмежду ними решается 3 вопросом. По итогам референдумаправительственныйзакон,вотличиеот«общественного»,большинством голосов оказался предпочтительнее, чем статус-кво.Согласно регламенту, он и был принят, что привело к серьезномуобщественному резонансу, так как большинством голосов по третьемувопросу он оказался хуже «общественного».
Общий результатреферендумаоказалсяцикличным:правительственныйзаконбольшинством голосов предпочтительнее, чем статус-кво, статус-квобольшинством голосов предпочтительнее, чем«общественный» закон,60но «общественный закон большинством голосов предпочтительнее,чем правительственный закон [Bochsler, 2010].Несмотря на то, что Кондорсе рассматривал только ситуациюполитических выборов, область проявления этого парадокса ими неограничивается.
В более общей формулировке под ним можнопонимать любую выборную форму, в результате которой образуетсяцикл между альтернативами ввиду того, что каждая из нихпревосходитпоказателей.другую,Сэтимноуступаетпарадоксомтретьейпобольшинствувстречаютсяпсихологи,использующие метод репертуарных решеток, когда в импликативныхматрицахмеждуконструктамиподоминантностивозникаетцикличность импликаций: A имплицирует B, B имплицирует С, Cимплицирует A [Бодалев, 2000]. В повседневной жизни с ним можновстретиться, когда оценка при выборе того или иного объектапроводится по нескольким критериям. Пусть перед человеком стоитзадача выбора позиции в одной из компаний: A, B, С, D. Для принятиярешения он выделил 4 критерия (уровень заработной платы, степеньпрестижности, затраты на дорогу, перспективы карьерного роста), покоторым проранжировал все альтернативы так, как это показано втаблице 2.Таблица 2.
Ранжирование альтернатив (потенциальных мест работы)по принципу Кондорсе (большее число означает более высокуюпредпочтительность).Позиция АПозиция ВПозиция СПозиция DУровеньзарплаты4321Степеньпрестижности3214Затраты надорогу1432Перспективыкарьерного роста2143При следовании «правилу большинства» вновь получается, чтопозиция А лучше позиции В по трем показателям из четырех (по61уровню зарплаты, престижности и перспективе карьерного роста),позиция В лучше позиции С по трем показателям из четырех (поуровню зарплаты, престижности и временным затратам на дорогу),позиция С лучше позиции D по трем показателям из четырех (поуровню зарплаты, временным затрат на дорогу и перспективекарьерного роста), позиция D лучше позиции А по трем показателямиз четырех (по престижности, временным затратам на дорогу иперспективе карьерного роста).
Аналогичные примеры приводятся вработах [May, 1954; Baumann, 2005; Seip, Wenstøp, 2006; Токарев,2001].Задачи, построенные по Кондорсе-принципу, способствуютразвитию комбинаторного мышления у учащихся. При этом в нихмогут быть использованы как количественные, так и качественныепоказатели, на основании которых проводится сравнение:«В городе N с населением 1000 человек выбирают мэра.Используется ранжирующая система выборов, при которой каждыйизбиратель ранжирует всех кандидатов по их предпочтительности.Мониторинг показал, что 395 человек предпочли кандидата Акандидату Б, а кандидата Б – кандидату В; 335 человек предпочликандидата Б кандидату В, а кандидата В – кандидату А; 275 человекпредпочли кандидата В кандидату А, а кандидата А – кандидату Б.Какой из кандидатов является наиболее предпочтительным длябольшинства жителей?»«Есть три вида ценных бумаг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
