Авторефат (1136218), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Предполагается, что переменныеx1, …, xm разделены на K непересекающихся групп с номерами k (k = 1, …, K; 1 ≤ K ≤ m).В k-й группе переменным xi даны обозначения: xik, i = 1, …, m(k). Набор переменных xi приi ∈ θ(k), где θ(k) – множество номеров переменных из k-й группы, обозначен Xk.33Функция F(x) ≡ F(X1, …, Xk, …, XK) предполагается представленной в видеF(x) ≡ G(g1(X1), …, gk(Xk), …, gK(XK)), где gk(Xk) –гладкая функция от m(k) переменных.Переменные zk = gk(Xk) называют обобщенными аргументами для F(x).
Предполагается,что для функции F(x) и точек x0 ≡ (X10, …, Xk0, …, XK0) ∈ ωF, x1 ≡ (X11, …, Xk1, …, XK1) ∈ ωF,где ωF – нормальное множество для F(x), существует медиал (λ; x(t))F. На множестве ωFрассматривается взаимно-однозначное, гладкое преобразование x = f(u), u = h(x) переменных xi, включенных в каждую из K групп, то есть Xk=fk(Uk), Uk=hk(Xk) или()()xik = fi k u1k , ..., umk ( k ) , uik = hik x1k , ..., xmk ( k ) , k = 1, …, K, i = 1, …, m(k).
Тогда величиныμk ≡ ∑ λ ik ( x 0 , x1 ) F , k = 1, …, K, инвариантны относительно согласованных с обобщенi∈θ ( k )ными аргументами, взаимно-однозначных преобразований переменных.Свойства A–D названы медиальной инвариантностью. Возможность нахождениямедиала, соответствующего Аксиоме ненаблюдаемости путей, дает апостериорное обоснование отождествлению вклада ∆Fi(x0, x1) с i-м слагаемым в интегральном тождестве для(F(x1) – F(x0)).
Доказательства формулируемых утверждений приводятся в Приложении 6.Медиальное факторное разложение ΔF ( x 0 , x1 ) = ∑ λ i ΔF ( x 0 , x1 ) для функцииiF(x) определяет факторное представление темпа изменения функции F(x) в следую-λi Δ ( x , x )( 1 ) ( x0 )=щем виде: F x − F.∑iF ( x0 )F ( x0 )013.2.2. Аксиоматическое определение суперсовершенных траекторий цен и количеств для скользящих периодов, порождающих совпадающие индексы Дивизиа и МонтгомериДлясемействамедиальныхпутей,соответствующихфункциямF(p, q) = ∑ pi qi ≡ p q и ln F(p, q), получены формулы, совпадающие с формулами траектоiрий цен и количеств для семейства путей SDME{π), рассмотренного в пункте 3.1.5.
Найдены медиальные доли факторов:λ ip = giгдеgi =ln pi1 − ln pi0ln ( pi1qi1 ) − ln ( pi 0 qi 0 ), λ iq = giln qi1 − ln qi0ln ( pi1qi1 ) − ln ( pi 0 qi 0 ),pi1qi1 − pi0 qi0.p1q1 − p 0 q 0В силу свойства С медиального факторного разложения индексы МонтгомериВартиа, одновременно являются суперсовершенными индексами Дивизиа, соответствующими той же системе путей. Это позволяет индексные формулы Монтгомери–Вартиа называть индексами Дивизиа–Монтгомери и считать, что именно эти индексы представляютсобой для такой ситуации решение проблемы выбора путей и конструкции индексов.34В Приложении 7 доказывается, что из медиальной инвариантности индексов Дивизиа–Монтгомери следует их согласованность при агрегировании.3.2.3. Единственность факторно-идентичных индексов Дивизиа и МонтгомериПроанализировано существование семейств путей, для которых полностью совпадали бы индексы, порождаемые конструкциями Дивизиа и Монтгомери.
Определено то,как предлагается понимать полное совпадение траекторных индексов. Доказано, что этимтребованиям удовлетворяет только семейство путей, порождающих индексы Монтгомери–Вартиа.3.2.4. Цепные индексы Дивизиа–Монтгомери для последовательностей состоянийВ теории индексов обсуждается обоснованность применения индексных формулдля сравнения состояний системы цен и количеств в двух достаточно далеко отстоящихдруг от друга периодах.
Граничные периоды будем различать по начальным моментамвремени: t = 0 – для начального периода с параметром времени τ ∈ [0; 1], t = T – для конечного периода с τ ∈ [T; T + 1]. Рассматривается последовательность промежуточных состояний с начальными моментами времени t1 < t2 < … < tT–1 (0 < t1, tT–1 < T) и для них рассчитываются цепные индексы цен и количеств. Принимается tk = k, k = 1, …, T – 1.Для соседних состояний рассчитываются обычные или сцепленные индексыIP(k – 1; k), IQ(k – 1; k), а затем соответствующие им цепные индексыTTs =1s =1IP[0; k ] = ∏ IP ( s −1; s ), IQ[0; k ] = ∏ IQ( s − 1; s ), k = 1, …, T.При расчетах сцепленных индексов фактически используется предположение ободнородности процесса перехода от k-го состояния в (k + 1)-е.Анализ выполнения Аксиомы транзитивности (циркулярности) для индексов Дивизиа–Монтгомери должен базироваться на строгом определении этого свойства для траекторных индексов.
Достаточно рассмотреть определение для трех состояний, характеризуемых известными значениями n цен и количеств: (p0, q0), (p1, q1) (p2, q2). Индексы Дивизиа и индексы Монтгомери превращаются в индексные формулы, если при любых положительных значениях переменных (p*, q*) и (p**, q**) определен соединяющий эти два состояния, положительный и дифференцируемый путь π(t; p*, q*; p**, q**) из семейства путейSπ.
Для путей из Sπ используются упрощающие обозначения:π(t; p0, q0; p1, q1) = π0;1, π(t; p0, q0; p2, q2) = π0;2, π(t; p1, q1; p2, q2) = π1;2.Траекторные индексы IP, IQ, порождаемые семейством путей Sπ, удовлетворяютаксиоме транзитивности, если для любых допустимых состояний (p0, q0), (p1, q1) (p2, q2)выполняются соотношенияIP(π0;1) × IP(π1;2) = IP(π0;2), IQ(π0;1) × IQ(π1;2) = IQ(π0;2).35Для семейства путей Sπ, не удовлетворяющего специальным ограничениям, онине выполняются.
Но можно ограничиться рассмотрением только транзитивных семействпутей, для которых путь π0;2 является объединением путей π(t; p0, q0; p*, q*) иπ(t; p*, q*; p2, q2), если точка-состояние (p*, q*) принадлежит пути π0;2. Тогда условия транзитивности будут выполняться для индексов Дивизиа, порождаемых семейством транзитивных путей, при условии, что состояние (p1, q1) принадлежит путиπ(t; p0, q0; p2, q2) = π0;2.
Такое свойство траекторных индексов названо условной транзитивностью относительно семейства транзитивных путей Sπ. Показано, что индексыМонтгомери не являются условно транзитивными относительно любого семейства порождающих их путей, но семейство путей SDME{π} транзитивно. Поэтому индексы Дивизиа–Монтгомери, являясь частным случаем индексов Дивизиа, условно транзитивны относительно этого семейства.Однако индексы IP[0; T], IQ[0; T], получаемые из индексов Дивизиа–МонтгомериIPDM(k; k + 1) и IQDM(k; k + 1) и обозначаемые IPDM[0; T] и IQDM[0; T], не являются индексами Дивизиа, поскольку в общем случае последовательность состояний (pk, qk+1),k = 0, 1, …, T,непринадлежитпутиπ(t; p0, q0; pT, qT).ФормулыTTk =1k =1ln IPDM [0; T ] = ∑ ln IPDM ( k − 1; k ), ln IQDM [0; T ] = ∑ ln IQDM ( k − 1; k ) базируются натождествеT∑ lnk =1TtV (k )= ∑ ln IPD π• (k − 1; k ) + ∑ ln IQD π• (k − 1; k ) = IPD π• [0; T ] + IQD π• [0; T ],V (k − 1) k =1k =1в котором используются пути π• ( t ; p k −1 , q k −1 ; p k , q k ) , генерирующие индексы Дивизиа–Монтгомери.
В нем реализуется конструкция индексов Дивизиа, применяемая к последосоединяемыхпутямивательностисостояний{(p0, q0), (p1, q1), …, (pT, qT)},π• ( t ; p k −1 , q k −1 ; p k , q k ) . Поэтому индексы IPDM[0; T] и IQDM[0; T] можно называть цепными индексами Дивизиа и обозначать IPDπ•[0; T], IQDπ•[0; T].Для той же последовательности состояний и путей конструкция индексов Монтгомери базируется на другом тождествеTTk =1k =1{}V(T) – V(0) = ∑ {V (k ) − V (k − 1)} = ∑ Δ πp•V (k ) + Δ πq •V (k )и определяет индексы IPMπ•[0; T] и IQMπ•[0; T].
Следовательно, конструкции индексовДивизиа и Монтгомери при их распространении на последовательность состояний{(p0, q0), …, (pT, qT)}, определяют различные пары индексов цен и количеств:IPDM[0; T] = IPDπ•[0; T] ≠ IPMπ•[0; T], IQDM[0; T] = IQDπ•[0; T] ≠ IQMπ•[0; T]. ИндексыМонтгомери IPMπ•[0; T], IQMπ•[0; T] для последовательностей {R0T} не удовлетворяют Аксиоме условной транзитивности, Но цепные индексы Дивизиа–Монтгомери IPDM[0; T],IQDM[0; T] или индексы IPDπ•[0; T], IQDπ•[0; T] удовлетворяют этой Аксиоме и их применение в рассматриваемых ситуациях этим оправдано.363.2.5.
Гипотеза однородности периода с непостоянными ценами и аксиоматическое определение средних для периода ценДля рассматриваемых периодов-состояний теория и статистическая практика полагают известными количества и средние для периода цены товаров и услуг. В ситуациях,когда цены не постоянны, средняя для периода цена зависит от динамики его количества,которая, как правило, не наблюдаема статистически.
Для такой ситуации решена задачанахождения средних для периодов цен по статистическим данным.Рассматривается ситуация, в которой базовой период с t ∈ [0; 1] предполагаетсяоднородным и статистическими методами получены граничные (при t = 0 и t = 1) значенияpi0 и pi1 цены i-го товара и его суммарная для периода стоимость Vi[0]. По этим даннымтребуется, используя выдвигаемые гипотезы, определить количество i-го товара Qi[0] иего среднюю для периода цену Pi[0], удовлетворяющие аксиоме стоимостиQi[0] × Pi[0] = Vi[0].
Величины Vi[0] и Qi[0] предполагаются представимыми в интеграль1100ном виде Vi[0] ≡ V[0; 1] = ∫ vi (t )dt , Qi[0] = ∫ qi (t ) dt , где vi(t) и qi(t) – соответствующие функции плотности. Предполагается, что vi(t) = qi(t) × pi(t), где pi(t) – так называемые мгновенные цены, и pi(0) = pi0, pi(1) = pi1.Гипотезу однородности двух периодов c t = 0 и t = 1 предлагается понимать так,что при определении индексов цен и количеств для сравниваемых состояний не требуетсядругая информация, кроме величин Vi[0], Qi[0], Pi[0],2211Vi[1] ≡ V[1; 2] = ∫ vi (t )dt , Qi[1] = ∫ qi (t )dt , Pi[1] = Vi[1]/Qi[1], i = 1, …, n.Гипотезу однородности базового периода (или текущего периода с t = 1) в ситуации изменяющихся цен, то есть при pi(t) ≠ const, pi0 ≠ pi1, предлагается формализовать какаксиоматический выбор функций плотности vi(t), qi(t) и функции мгновенной цены pi(t) втом виде, в котором получены траектории количеств и средних цен, порождающих индексы Монтгомери.Однородность периода предлагается определять одним из двух способов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
