Авторефат (1136218), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Функция fn(t1; …; tn) симметрична по всем аргументам.А к с и о м а I I I . Для функций fn(t1; ...; tn) выполнены тождества fn(t; t; ...; t) ≡ t.гдеА к с и о м а I V . Функции fn(t1; ...; tn) удовлетворяют соотношениямfn (t1; …; tm; tm+1; …; tn) ≡ fn(t; ...; t; tm+1; …; tn),t = fm(t1; …; tm) (m = 2, 3, …, n – 1).А к с и о м а V . Функция fn(t1; …; tn) – положительно-однородная функция пер-вой степени однородности, т.е. fn(k t) ≡ k fn(t) при k > 0).АксиомаVI.Дляфункцийfn(t1;...;tn)выполняютсясоотношенияfn(1/t1; ...; 1/tn) × fn(t1; ...; tn) = 1.Известен результат А.Н. Колмогорова [Kolmogorov, 1930], согласно которомуфункции fn(t1; …; tn), удовлетворяющие аксиомам с I по IV и называемые правильнымиn⎛⎞средними, имеют вид: f n ( t1; ...; tn ) ≡ g −1 ⎜ n −1 ∑ g ( ti ) ⎟ , где g–1 – функция, обратная непре⎝ i =1⎠рывной, возрастающей функции g(t) одного аргумента.
Добавление аксиомы V приводит[Nagumo, 1930] к степенным средним, для которых g(t) = tr. Добавленная Аксиома VI,формулирующая естественное при расчетах индексов требование, определяет среднюю1⎛ n ⎞nгеометрическую функцию f n ( t1; ...; tn ) = ⎜ ∏ ti ⎟ .⎝ i =1 ⎠Проблема определения индекса цен именно для первичной группы проявляется втом, что искомый индекс предполагается зависящим только от индивидуальных цен индексов и не может быть более адекватно определен с использованием разбиений товаровгруппы на подгруппы.
Эта особенность первичных групп товаров характеризуется ввиде Аксиомы IV.В классической теории индексов геометрические индексы, использующие произведения индексов индивидуальных цен, противопоставляются агрегатным индексам,представимым в виде индекса ЛаспейресаIP 0,1 =∑ pi1qi0i∑ pi0 qi0=∑ ti vi0iV0= ∑ ti ui0iiи индекса, обратного к индексу Пааше13IP1,0 =∑ pi0 qi1i∑ pi1qi1=∑ t1 vi1iiV1= ∑ 1 ui1 ,i tiiгде ui0 , ui1 (i = 1, …, n) − положительные веса и ∑ ui0 = ∑ ui1 = 1 . Для первичной группы этиiiвеса статистически не измеримы. Доказана возможность определения таких весов ui0 и ui1(i = 1, …, n), что индексы IP0,1 и IP1,0 равны индексам Джевонса Gn(t1, …, tn), Gn(t1, …, tn)–1( )и удовлетворяют требованиям ∑ ti ui0 = ∏ tiii1n(, ∑ (1 ti ) ui1 = ∏ 1 tiii)1n. Доказано, что исполь-зование среднего геометрического индекса цен может рассматриваться как оправданное, если приближенно идентичны «количественные» или стоимостные структуры изучаемого показателя для первичной группы, получающихся в результате объединения товаров с близкими отношениями цен в сравниваемых состояниях.2.3.
Моментные индексы цен и количествВ Главе 7 с позиций ситуационной теории характеризуются важнейшие ситуации,постулируемые и изучаемые статистическим и экономическим направлениями классической теории.2.3.1. Аксиоматическое определение индекса цен для корзины товаров и услугДано аксиоматическое определение агрегатного индекса цен для корзины продукназываемогоиндексомценЛоуиопределяемогоформулойтов,∑ pi aiIP ( p , p ) =0i∑ipi0 ai≡ IPB ( p 0 , p; a ) ≡ IPB ( p 0 , p ) с фиксированными весами−количествамиаi > 0 (i = 1, …, n).
Этот и только этот индекс удовлетворяет трем требованиям [Eichhorn,1978]: IP(p, p) = 1 (аксиома идентичности), IP(p0, p1 + p2) = IP(p0, p1) + IP(p0, p2),1/IP(p01 + p02, p) = 1/IP(p01, p) + 1/IP(p02, p). Первое из требований не нуждается в комментариях, но два других требования, должны быть пояснены с использованием реалий, связанных с ценами.В цене pi i-го продукта выделяются ее элементы, например, оптовая цена, торгово-посреднические и транспортные наценки, налоги.
Цены представляются в виде суммэлементов: pi0 = ∑ pi0α , pi = ∑ piα (α = 1, …, m). Проанализировано то, как за счет соαставляющихцену(αэлементовIPB ( p 0 , p ) ≡ IP ∑ p 0α , ∑ pβαβ)образуетсяполученоискомыйразложениеиндекспоцен.ДляэлементамценB ( p 0 , p ) = ∑ IPB ( p 0α , p α ) U ( 0; α ) , где IPB(p0α, pα) − индекс α-го элемента цен, U(0; α) −α14доля α-го элемента цен в стоимости корзины в базовом состоянии. Доказано, что разло-(жение искомого индекса цен IP ∑ p 0 α , ∑ p ααα) по элементам цен, представимое в видеаксиомыIP ( p 0 , p ) = ∑ IP ( p 0α , p α ) × IP ( p 0 , p 0α ) ,αв которой используется только искомая функция IP(p0, p) в сочетании с аксиомами однородности первой степени по p и обратимости индекса цен по состояниям, однозначноопределят индекс IPB.
В Аксиоме разложения индекса по элементам цены выражена цель,с которой применяется индекс для корзины.2.3.2. Моментные индексы Ласпейреса и Пааше и их свойстваПара индексов цен Ласпейреса IPL и Пааше IPP систематически применялась иприменяется статистическими органами СССР и России. Целесообразно найти достаточнопростое аксиоматическое определение класса индексов цен, включающего эти индексыкак «мгновенные» индексы по корзине с количествами аi, i = 1, …, n, которые являютсяфункциями только от количеств q 0j и q1j , j = 1, …, n, в сравниваемых состояниях.
ИндексыЛаспейреса и Пааше естественно рассматривать как индексы по корзине. Аксиома 1 постулирует представление искомого индекса цен в виде индекса цен по корзине с количествами аi = hi(q0, q1): IP0,1(p0, q0; p1, q1) = ∑ pi1hi ( q 0 , q1 ) ∑ pi0 hi ( q 0 , q1 ) . Она предложенаiiФунке [Funke, 1988], назвавшим такие индексы индексами цен, линейными относительноцен. Аксиоматическое определение этого класса индексов дано теоремой [Balk, 1995]:Функция IP(p0, q0; p1, q1) 4n положительных переменных pi0, qi0, pi1, qi1 (n ≥ 2) удовлетворяет Аксиоме идентичности P(p0, q0; p0, q1) = 1 и уравнениямIP(p0, q0; p1 + p2, q1) = IP(p0, q0; p1, q1) + IP(p0, q0; p2, q1),1/IP(p0 + p2, q0; p1, q1) = 1/IP(p0, q0; p1, q1) + 1/IP(p2, q0; p1, q1)тогда и только тогда, когда принадлежит классу линейных индексов цен.Аксиому 2 сформулируем в виде требования к функциям hi(q0, q1) ≡ hni(q0, q1) от2n аргументов, обобщая то, как индексы цен Ласпейреса IPL и Пааше IPP зависят от количеств в сравниваемых состояниях.
Предполагаем, что семейство функций hi(q0, q1),i =1, …, n,n = 2, 3, …,определяетсявыборомфункциидвухаргументов:hi(q0, q1) ≡ h(qi0, qi1). От функции h(x1, x2) естественно требовать положительности при положительных аргументах и дифференцируемости. Аксиомам 1 и 2 удовлетворяют многиеиндексы, для которых функция h(qi0, qi1) − некоторая средняя для величин qi0 и qi1.Предложена Аксиома согласованности индекса цен относительно агрегирования(Аксиома 3), которая определяет вместе с Аксиомами 1 и 2 именно индексы цен Ласпейреса–Пааше.
Пусть множество номеров товаров и услуг Ω ≡ {1, 2, …, n} представлено в15видеобъединениядвухнепустыхинепересекающихсямножествтаких,чтоdim (Ω1) = n(1), dim (Ω2) = n(2) и n(1) + n(2) = n. Для наборов товаров и услуг с номерами i,принадлежащими множествам Ω, Ω1 и Ω2, по известным ценам и количествам p0, q0; p1, q1изаданныминдекснымформуламнайденыиндексыIPn(p0, q0; p1, q1) ≡ IPn(Ω),IPn(1)(p0, q0; p1, q1) ≡ IPn(1)(Ω1) и IPn(2)(p0, q0; p1, q1) ≡ IPn(2)(Ω2), а также стоимости V0(Ω),V1(Ω), V0(Ω1), V1(Ω1), V0(Ω2), V1(Ω2), индексы стоимостей IV0,1(Ω) ≡ V1(Ω)/V0(Ω), IV0,1(Ω1),IV0,1(Ω2) и индексы количеств IQn(Ω) ≡ IV0,1(Ω)/IPn(Ω), IQn(k)(Ωk) ≡ IV0,1(Ωk)/IPn(k)(Ωk),k = 1, 2.
Для состояний с t = 0 и t = 1, вводятся количества Qk0, Qk1 и цены Pk0, Pk1 для двух«агрегированных» товаров (k = 1, 2), сопоставляемых множествам товаров с номерамиi ∈ Ωk. Цены P0k, P1k и количества Qk0, Qk1 определяются в следующих двух вариантах Аксиомы 3: Вариант «L»: Pk0 = 1, Qk0 = Vk0, Pk1 = IPn(k)(Ωk), Qk1 = Vk1/IQn(k)(Ωk:); Вариант «P»:Pk1 = 1, Qk1 = Vk1, Pk0 = 1/IPn(k)(Ωk), Qk0 = Vk0 × IPn(k)(Ωk). В варианте «L» количества Qk0 и Qk1измеряются в ценах базового состояния, а в варианте «P» − в ценах текущего состояния.Аксиома 3 состоит в том, что при любых допустимых исходных данных, то естьположительных ценах pi0, pi1 и количествах qi0, qi1 (i = 1, …, n), при любом n ≥ 2 и при любомпредставлении001множестваΩвΩ = Ω1 ∪ Ω2 значениевидеиндексацен1IPn(p , q ; p , q ) ≡ IPn(Ω), вычисляемого непосредственно по исходным данным, равно индексу цен IP2(P10, Q10; P11, Q11), вычисляемому по данным для «агрегированных товаров»:IPn(p0, q0; p1, q1) ≡ IP2(P10, Q10; P11, Q11).
Если аксиома выполняется в такой формулировке,то она выполняется и в предположении о выделении m групп товаров (1 < m < n). Отличиеэтой Аксиомы от определения согласованности индексов при агрегировании [Balk,1996]рассмотрено в Приложении 4. Доказано, что Аксиомы 1–3 определяют семейство линейных индексов цен Ласпейреса–Пааше, определяемое формулойIP ( p 0 , q 0 ; p1 , q1 ) =∑ pi1 ( λqi0 + (1 − λ ) qi1 )i∑ pi0 ( λqi0 + (1 − λ ) qi1 ).iВ Аксиоме согласованности индексов относительно агрегирования отражаетсяпрактическая необходимость использования для ряда групп товаров не натуральных единиц измерения, а некоторых задаваемых цен, и расчета согласованной иерархическойсистемы индексов.2.3.3.
Аксиоматические и эвристические определения моментных индексов Фишера и их свойстваИспользование в статистике индексов Фишера потребовало объяснить то, почемукорень квадратный из произведения двух простейших индексов может рассматриватьсякак заменяющий их моментный индекс. Аксиоматическое определение индекса цен Фишера дал Ван Изерен [Van Ijzeren, 1952]. Он доказал, что положительная функция16f(p0, q0; p1, q1) 4n положительных переменных, удовлетворяющая Аксиомам линейной однородности по ценам текущего периода и обратимости факторов, представимая в видефункции F(x1, x2, x3, x4) четырех переменных (при n ≥ 2), аргументами которой являютсястоимости x1 = v0,0 = p0 q0, x2 = v0,1, x3 = v1,1, x4 = v1,0 – это индекс цен Фишераf(p0, q0; p1, q1) = IPF, и только этот индекс.Иное определение индекса цен Фишера предложено в [Ершов, 1965]. Первый вариант постулировал то, что искомый индекс цен IP представляется в виде положительнойфункции двух положительных переменных f(x1, x2), аргументами которой являются индексцен Ласпейреса x1 = IPL и индекс количеств Пааше x2 = IQP (Аксиома 1).Функция f предполагалась положительно однородной первой степени (Аксиома 2).
Аксиома 3 выражаласвойство индекса быть обратимым относительно состояний. Доказано, что этим аксиомамудовлетворяет только функция f(x1, x2) = (x1 x2)0,5. Аналогично формулируются аксиомы,определяющие индекс количеств Фишера. При таких определениях Аксиома стоимостиявляется их следствием.Второй вариант аксиоматического определения индексов Фишера постулирует(как Аксиому 1) представление искомого индекса цен IP в виде положительной функциичетырех положительных переменных F(x1, x2, x3, x4), где x1 = v0,0 = p0 q0, x2 = v0,1, x3 = v1,1,x4 = v1,0. Аксиома 2 выражает требование положительной однородности функцииF(x1, x2, x3, x4) относительно пропорционального и автономного изменения цен и количеств. Аксиома 3 выражает требование обратимости состояний.
Это определение индексов Фишера более естественно по сравнению с определением Ван Изерена, поскольку оноиспользует «бесспорную» Аксиому обратимости состояний, а не спорную Аксиому обратимости факторов.Обнаружено свойство индексов Фишера: индекс цен IPF не изменяется, если всравниваемых состояниях поменять местами количества; индекс IQF не изменяется приобмене ценами. Аргументация, обосновывающая это свойства, в работах по теории индексов отсутствует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
