Авторефат (1136218), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Но другие авторы понимали под функциями {qi(t), vi(t), pi(t)}моментные показатели {qi*(t), vi*(t), pi*(t)} и на этом основании характеризовали индексыДивизиа как теоретическую конструкцию, которую невозможно наполнить реальными21данными. Существование не согласующихся интерпретаций индексов Дивизиа делаетпроблему определения показателей, используемых в конструкциях индексов, важнейшейдля динамической версии теории.Определение средней цены по группе продуктов для периода, в течение которогоцены заведомо изменялись, и метод ее расчета по данным статистики, заслуживаетизучения независимо от того, какая версия теории индексов принимается за основу.3.1.2.
Динамические индексы для дискретных последовательностей состоянийНеобходимость учета динамики цен и количеств в течение периода достаточнойпродолжительности признается в рамках классической теории, когда она рассматриваетцепные индексы, определяемые для дискретной последовательности состояний. Периодымогут трактоваться как последовательности периодов меньшей продолжительности. Этоприводит к тому, что индексы Дивизиа предлагалось понимать как предельный случайцепных индексов для периодов со стремящимися к нулю продолжительностями.
При этомиспользуется трактовка индексов Дивизиа, базирующаяся на плотностях. Трактовка, связанная с потоками для скользящих периодов, игнорируется.При анализе цепных индексов выяснено, что их некорректно использовать, «когдацены колеблются или скачут», и их применение допустимо, «когда речь идет о примерномонотонных изменениях цен и количеств» [Hill, 1988. 1993]. Применение цепных индексов приводит к необходимости учета ограничений на динамику цен и количеств, при выполнении которых индексы согласуются с целями их расчета.Подход к исчислению индексов, состоящий в использовании цепных индексов,столкнулся с определенными трудностями. Практика имеет дело с ситуациями, когда она нерасполагает частью данных из троек {qit, vit, pit}.
Поэтому приходится искать конструкциииндексов, в которых используются только имеющиеся в данной ситуации данные. На этупроблему первым обратил внимание Триплет [Triplett, 1989], предложивший «Обобщенныйиндекс цен Фишера для временных рядов», обозначаемый IPFTG(t; 0; T), если он рассчитывается для пары сравниваемых состояний в периоды с τ=0 и τ=t по данным для периодов с τ= 0, 1, …, T. Триплет предполагал, что известны цены pit, t = 1, …, T, и количества qi0, qiT, ноне наблюдались количества qiτ при 0 < t < T.
В аналогичной ситуации Балк [Balk, 1990]предположил, что ненаблюдаемые доли расходов sit = pit qit/Vt при 0 < t < T хорошо аппроксимируются линейными комбинациями долей si0, siT и ввел рассчитываемые по имеющимсяданным доли si*t = [t siT + (T – t) si0]/T, t = 0, 1, …, T. Это позволило определить квази-индекс−1цен Фишера IPFQ ( t ; 0; T ) = ⎛⎜ ⎡ ∑ si0 ( pit pi0 ) ⎤ × ⎡ ∑ si*t ( pi0 pit ) ⎤ ⎞⎟⎥⎦ ⎢⎣ i⎥⎦ ⎠⎝ ⎢⎣ iТорнквиста IPToQ ( t ; 0; T ) = ∏ ( pit pi0 )s ( t ; i ; *)0,5и квази-индекс цен, где s(t; i; *) ≡ 0,5(si0 + si*t).i22Авторы работы [de Haan, Balk, Hansen, 2009] заменили среднее взвешенное геометрическое средними взвешенными арифметическими индексов цен для товаров и ввеликвази-арифметический индекс цен Фишера1−t 2TIPFQA ( t ; 0; T ) = ⎡ ∑ si0 ( pit pi0 ) ⎤⎢⎣ i⎥⎦⎡ ∑ si*t ( pit pi0 ) ⎤⎢⎣ i⎥⎦t 2T,аппроксимирующий динамику обычных индексов Фишера.Индексы цен, аппроксимирующие цепные индексы, вводились потому, что предположение о возможности использования статистических данных для последовательности периодов, соединяющих базовое и текущее состояния, далеко не всегда оказываетсяоправданным.
В этих условиях делаются попытки недостающие данные заменить искусственно конструируемыми данными. Исходные предположения о характере данных дляпромежуточных периодов при статическом подходе и при динамическом подходе близки,признают существование ситуаций, в которых отсутствует часть необходимых данных. Поэтому важно выявление и учет отклонений реально доступных, предполагаемыхизвестными статистических данных от характера рассматриваемых теорией величин.3.1.3. Динамические индексы для непрерывных траекторий цен и количеств: конструкции индексов Дивизиа и МонтгомериДля траекторий цен pi(t) и количеств qi(t), i = 1, …, n, соединяющих задаваемыеначальную и конечную положительные точки (p0, q0) ≡ (pi0, qi0) и (p1, q1) ≡ (pi1, qi1), и являющихся дифференцируемыми функциями параметра t, интерпретируемого как время,Дивизиа [Divisia, 1925–1926] предложил следующее определение индексов ценIP(p0, q0; p1, q1) и количеств IQ(p0, q0; p1, q1):⎧ 1 q (t )⎫IPDπ(p0, q0; p1, q1) = exp ⎨∑ ∫ i p& i (t )dt ⎬ ,⎩ i 0 V (t )⎭⎧ 1 p (t )⎫IQDπ(p0, q0; p1, q1) = exp ⎨∑ ∫ i q&i (t )dt ⎬ .⎩ i 0 V (t )⎭001100Путь π(t) ≡ π(t; p , q ; p , q ) ≡ {p (t), q (t); p1(t), q1(t)} в этом определении соединяет два сравниваемых состояния изучаемой системы, реализующиеся в периоды или дажемоменты времени, которым сопоставлены значения непрерывного параметра t.
Возможнаиная параметризация траекторий, то есть переход к параметру τ = g(t), где g(t) – монотоннаяи функция действительного переменного, удовлетворяющая условиям g(0) = 0, g(1) = 1.Монтгомери [Montgomery,1929] в качестве исходного тождества рассматривалследующее представление для разности V(1) – V(0):1V (1) − V (0) = ∑ ∫ vi (t )i 01d ln pi (t )d ln qi (t )dt + ∑ ∫ vi (t )dt ,dtdti 0в котором производные от логарифмов переменных суммируются со стоимостямиvi(t) ≡ pi(t) qi(t), а не с долями расходов si(t) ≡ vi(t)/V(t).23Второе тождество Монтгомери выбрал в видеln{V(1)/V(0)} = {V(1) – V(0)}/ L(V(1), V(0)),где непрерывная функция L(x, y) = L(y, x)) положительных переменных x,y определенаследующим образом: L(x, y) = (x – y)/ln(x/y), если x ≠ y, и L(x, x) = x.Монтгомери отождествил слагаемые в тождестве ln IP + ln IQ = [V(1) – V(0)]// L(V(1), V(0)) и получил определение индекса цен в предлагаемой конструкции:1ln IPM =d ln pi (t )dtdt0.L (V (1) , V ( 0 ) )∑ ∫ vi (t )iПри V(1) ≠ V(0) имеем ln IPM = (ΔpV/ΔV) ln IV, ln IQM = (ΔqV/ΔV) ln IV и логарифм индекса стоимости ln IV разделяется на слагаемые ln IPM и ln IQM с помощью долей факторовцен и количеств в ΔV = V(1) – V(0).
{IPM, IQM} – это семейство индексов, в котором формулы получаются при задании граничных состояний и траекторий.Обоснование отождествлений слагаемых в использующих интегралы разностях[ln V(1) – ln V(0)] и [V(1) – V(0)]/L(V(1), V(0)) было дано Мэланеем [Malaney, 1996] и Балком [Balk, 2005].Показано, что, конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери порождают индексные формулы, обладающие различающимися свойствами.
Следовательно, в рамкахдинамического направления теории требуется решить проблему выбора и траекторий иконструкции индексов.3.1.4. Динамические индексы для кусочно-постоянных траекторий с граничнымизначениями цен и количествПостоянство цен при переходе от базового состояния (p0, q0) к конечному или текущему состоянию (p1, q1) воспринималось многими экономистами и статистиками какудобное допущение, помогающее интерпретировать предложенные «моментные» индексные формулы. Рассмотрение «псевдо-динамических» индексов для дискретных последовательностей состояний представляет собой попытку преодолеть такое предположение.Другое направление такого преодоления было намечено в динамической теории.
Оно допускало возможность того, что рассматриваемый период состоит из последовательностипериодов, в каждом из которых искомые индексы определяются непрерывными траекториями цен и количеств. Но траектории могут не быть дифференцируемыми.Переход к не дифференцируемым в конечном числе точек траекториям приводитк существенному расширению индексных формул, порождаемых конструкциями индексовДивизиа и Монтгомери.
Но остается необходимым так выбрать траектории цен и количеств для периодов меньшей продолжительности, чтобы получить приемлемые и интерпретируемые результаты.24Полученные в этом подходе результаты были систематизированы Балком [Balk,2005]. В периоде с t∈[0;1] предполагались заданными два момента времени t(1) и t(2) такие, что 0 < t(1) < t(2) < 1. Чтобы определить траектории цен и количеств при t ∈ [0; t(1)],t ∈ [t(1); t(2)] и t ∈ [t(2); 1], вводятся специальные векторы цен p* = (pi*) и количествq* = (qi*), используемые в конструкциях индексов Лоу.Траектории цен и количеств при 0 ≤ t ≤ 1 определяются следующим образом:путь С(p*), соответствующий задаваемым ценам p* = (pi*);для t ∈ [0; t(1)] pi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям pi(0) = pi0, pi(t(1)) = pi*, qi(t) = qi0 (i = 1, …, n);для t ∈ [t(1); t(2)] qi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевымусловиям qi(t(1)) = qi0, qi(t(2)) = qi1, pi(t) = pi* (i = 1, …, n);для t ∈ [t(2); 1] pi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям pi(t(2)) = pi*, pi(1) = pi1, qi(t) = qi1 (i = 1, …, n);путь С(q*), соответствующий задаваемым количествам q* = (qi*),для t ∈ [0; t(1)] qi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям qi(0) = qi0, qi(t(1)) = qi*, qi(t) = qi0 (i = 1, …, n);для t ∈ [t(1); t(2)] pi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевымусловиям pi(t(1)) = pi0, pi(t(2)) = pi1, qi(t) = qi* (i = 1, …, n);для t ∈ [t(2); 1] qi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям qi(t(2)) = qi*, qi(1) = qi1, pi(t) = pi1 (i = 1, …, n).Такой выбор путей, для которых при всех остающихся постоянными на выделяемых периодах ценах или количествах изменяются все количества и цены, не согласуется с исходными предположениями экономического и траекторного направлений классической теории индексов, в которых отражаются связи между этими показателями.Постулируемые траектории оказываются не соответствующими существу динамичесской концепции индексной теории, хотя предлагаются для использования в динамическойконструкции индексов.Заметим, что пути интерпретируются как траектории мгновенных показателейцен и количеств (плотностей) и при t = 0, t(1), t(2) и 1 используемые данные именно к моментам времени, а не к периодам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
