Авторефат (1136218), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тем не менее важным представляется то, что индексыДивизиа для путей C(p*) и С(q*) в следующих частных вариантах специальных цен и количеств, совпадают с индексами, рассматриваемыми моментной теорией индексов:IPD{С(p1)} = IPD{C(q0)} = IPL – индекс Ласпейреса; IPD{C(p0)} = IPD{C(q1)} = IPP – индексПааше;⎧ ⎛ p 0 + p1 ⎞ ⎫ 1 + IPLIPD ⎨C ⎜⎟⎬ =⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎭ 1 + 1 IPP25–индексБенерджи(Banerjee);⎧ ⎛ q 0 + q1 ⎞ ⎫IPD ⎨C ⎜⎟ ⎬ = ∑ p1 ( q 0 + qi1 ) ∑ pi0 ( qi0 + qi1 ) –⎩ ⎝ 2 ⎠⎭ i i ii{(12IPD C ⎡⎣ q 0 q1 ⎤⎦)} = ∑ ( q q )0 1 12i iipi1 ∑ ( qi0 qi1 )12iиндексМаршалла–Эджворта;pi0 – индекс Уолша.В качестве специальных цен p*, было предложено использовать функции от p0, p1и даже от искомого индекса цен IP.
Для индекса цен Дивизиа IPD{C(p*)} Балк [Balk, 2005]иценпредложилиспользоватьсреднееарифметическоецен(pi0){}pi0 + pi1 IPD C ( p* ), в котором цены конечного состояния (p1i) дефлируются с по2мощью неизвестного индекса цен. В этом случае искомый индекс оказывается индексомцен Фишера. В [Van Ijzeren, 1952] показано, что индекс цен Фишера совпадает с индексомpi* ={}qi0 + qi1 IQD C ( q* )=. Икле [Iklé, 1972] предложилацен Дивизиа IPD{C(q )}, если2подход к определению индекса цен, в котором использовался вектор специальных цен*pi*=qi*pi0 qi0 + pi1qi1 (V 1 V 0 ){}qi0 + qi1 IPD C ( p* ).Отказ от рассмотрения только дифференцируемых траекторий имел следствием то,что формулы моментной теории индексов можно интерпретировать как динамические индексы, порождаемые специальными траекториями.
Выбор функций, задающих непостоянные «куски» траекторий, не отражается в получаемых индексах. Но проблема обоснованиявыбора путей С(p*), C(q*) и специальных значений цен и количеств не исследовалась.Охарактеризованные результаты полезны в свете сближения цепного вариантатеории с динамической теорией индексов. В них содержится идея, состоящая в том, чтовыделяемые подпериоды целесообразно характеризовать в терминах постоянствасвойств, присущих неизвестным траекториям цен и количеств. Целесообразно так определить характерные свойства траекторий цен и количеств на однородных периодах, чтобы они позволяли находить их траектории по доступным данным.3.1.5.
Моментные индексы Фишера и Монтгомери–Вартиа как динамические индексы Дивизиа и МонтгомериИнтеграция статистического, экономического и траекторного направлений в теории индексов, начинается с ответа на следующий вопрос: являются ли известные индексытраекторными индексами Дивизиа или Монтгомери? Эта проблема решена для индексовФишера и Монтгомери–Вартиа.Известно, что индексы Фишера порождаются как индексы Дивизиа разными путями. Следовательно, мало показать, что выбранные индексы есть индексы Дивизиа. Це-26лесообразно иметь задачу, которая определяет семейство путей, порождающих выбранные индексы как динамические индексы.Семейство путей S(π), порождающее индексы Фишера IPF и IQF, найдено в видедифференцируемых функций pi(t), qi(t) параметра t, t ∈ [0; 1], удовлетворяющих очевидным граничным условиям.
Параметризация пути выбирается так, что t представляет собойдолю прироста стоимости в текущих ценах по сравнению с V0 в таком же приросте, но приt ∈ [0; 1]. Такой выбор возможен, если стоимость V ( w ) = ∑ pi ( w ) qi ( w ) = ∑ vi ( w ) являетiiся монотонной функцией от w. Монотонность стоимости представляется естественным предположением, когда период считается однородным.Для того чтобы семейство путей порождало индексы Дивизиа, должны выполняться при заданных граничных точках уравненияd ln PF ( p 0 , q 0 ; p (t ), q (t ) ) = dpi (t ) q (t ) V (t ) ,∑idtdtid ln QF ( p 0 , q 0 ; p (t ), q (t ) ) = p (t ) dqi (t ) V (t ) ,∑ idtdtiотносительно 2n функций pi(t), qi(t). Эта система дополненная соотношениемV(t) – V0 = (V1 – V0)t при любом n ≥ 2 имеет неединственное решение, так как допускаетзадание части траекторий {pi(t), qi(t)} в виде произвольных, но дифференцируемых, положительных и удовлетворяющих граничным условиям функций от t.
Среди решений следует искать те, которые удовлетворяют требованиям, естественным в контексте теории индексов. Поскольку индексы Дивизиа и только они удовлетворяют системе аксиом, предложенной Рихтером [Richter, 1966], то требования к S(π) со стороны экономического направления можно считать учтенными.
Требования со стороны статистического направления естественно формулировать, используя тесты Фишера. Эти тесты не выражаются втерминах траекторий и не определяют, какими свойствами должно обладать семействопутей S(π). Но содержательная сторона тестов Фишера сохранена в формулировках 5предложенных траекторных аксиом. Семейство путей S(π), удовлетворяющих этим аксиомам, и порождаемые ими индексы Дивизиа и Монтгомери названы совершенными(perfect). При поиске семейства S(π), порождающего индексы, предлагается ограничитьсясовершенными путями.Для преодоления противопоставления статистического и экономиче-кого направлений траекторному направлению ключевую роль играет следующее утверждение:Индексы Фишера, Торнквиста и Монтгомери–Вартиа являются совершенными, так какпорождаются задаваемой совершенной системой путей.
Для индексов Фишера доказательство сводится к проверке того, что семейство путей SDFE{π} , задаваемое следующими формулами для траекторий {pi(t); qi(t)}, t ∈ [0; 1],27t⎧⎪⎡ pi1 pi0 ⎤ ⎫⎪001100pi ( t ; p , q ; p , q ) = ⎨vi ( t ) ( pi qi ) , ⎢ 1 0 ⎥ ⎬⎣ qi qi ⎦ ⎪⎭⎩⎪t⎧⎪⎡ qi1 qi0 ⎤ ⎫⎪001100qi ( t ; p , q ; p , q ) = ⎨vi ( t ) ( qi pi ) , ⎢ 1 0 ⎥ ⎬⎣ pi pi ⎦ ⎪⎭⎩⎪0,5,0,5,где vi(t) = ⎡⎣ pi0 qi0 + ( pi1qi1 − pi0 qi0 ) t ⎤⎦ , является совершенным и порождает индексы IPF и IQF[Ершов, 1990, 2003]. Характерное свойство этих путей состоит в том, что вдоль них постоянны значения логарифмических производных (по параметру t) отношений индивидуальных цен p1(t) и количеств qi(t) для каждого продуктаd ln pi (t ) = c , t ∈ [0;1] , i = 1, ..., n .idt qi (t )Другое свойство этих путей, присущее не только им, выражается в том, что длясуперсовершенных по определению путей имеемpi (t )qi (t ) = pi0 qi0 + ( pi1qi1 − pi0 qi0 ) t , t ∈ [0;1] , i = 1, ..., n ,и параметр t представляет собой равное для всех продуктов отношение прироста стоимости ( pi (t )qi (t ) − pi0 qi0 ) к приросту ( pi1qi1 − pi0 qi0 ) .Доказано, что индексы Монтгомери являются совершенными индексами Дивизиаи порождаются суперсовершенным семейством путей SDME{π}pi ( t; p , q ; p , q ) =pi0qi ( t; p , q ; p , q ) =qi000001111⎡ pi0 qi0 + ( pi1qi1 − pi0qi0 ) t ⎤⎢⎥pi0 qi0⎣⎢⎦⎥⎡ pi0 qi0 + ( pi1qi1 − pi0 qi0 ) t ⎤⎢⎥pi0 qi0⎢⎣⎥⎦αi ( p ),αi ( p )OW,где αi(p) + αi(q) = 1 и αi(p) = ln(pi1/pi0)/ln[(pi1 qi1)/(pi0 qi0)].3.1.6.
Индексы Торнквиста как динамические индексыИзучена возможность представления индексов цен и количеств Торнквиста в видеиндексов Дивизиа. Наибольший интерес представляет индекс цен ТорнквистаIPTo ≡ IPTo(p0, q0; p1, q1), определяемый как взвешенное среднее геометрическое индексовцен товаров весами si = –0,5 [vi0/V0 + vi1/V1]. Специфика вопроса заключается в том, чтоиндекс количеств Торнквиста IQTo(p0, q0; p1, q1) ≡ IPTo(q0, p0; q1, p1), получаемый из индекса IPTo в предположении выполнения теста обратимости факторов в сильной форме,образует вместе с индексом IPTo пару индексов, не удовлетворяющих Аксиоме стоимости. Такая пара не может быть получена в виде индексов Дивизиа и Монтгомери.
Но, еслииндексу IPTo сопоставлять имплицитный ему индекс количеств IQToP ≡ [V1/V0]/IPTo, топара индексов (IPTo; IQToP) удовлетворяет аксиомам стоимости и обратимости факторов28в слабой форме и для нее вопрос о представлении в виде индексов Дивизиа может рассматриваться.Для индексов Торнквиста (IPTo, IQToP) найдена система путей, порождающих ихкак индексы Дивизиа: qi(t) = qi0(qi1/qi0)h(t), pi(t) = pi0(pi1/pi0)h(t), i = 1, ..., n, гдеh(t) = t V1/V(t) ≡ t V1/{V0 + t(V1 – V0)}.3.1.7. Индексы Дивизиа с позиций экономического направления теории индексовПредставление индексов, традиционно рассматриваемых статистическим направлением теории в виде динамических индексов Дивизиа и Монтгомери, позволило преодолеть противопоставление этих двух направлений.
Многие моментные индексы оказываются соответствующими исходным положениям экономического направления с его агрегаторными функциями. Потребовалось дать динамическое обобщение постановок задач,образующих основу экономического направления теории индексов, то есть описать переход от сравнения базового и конечного состояний к рассмотрению непрерывной последовательности состояний, характеризуемых ценами pi(t), количествами qi(t), i = 1, …, n, и агрегаторной функцией F(q(t)).Такое обобщение с позиций теории индексов изложено Дивертом в «Руководствепо индексу потребительских цен» (Приложение 15.4.) и в статье Балка [Balk, 2005]. Цельюраспространения схем получения индексов из задач оптимизации на случай непрерывноговремени состояла в том, чтобы показать, что конструкция Дивизиа не противоречит идеямэкономического направления. Рассматривалась задача минимизации линейной по ценам иколичествам функции затрат потребителя, имеющего положительную, линейно однородную функцию полезности U(q), при заданных для t-го периода ценах pit, i = 1, …, n, иуровне полезности ut: min ∑ pit qit при условии U(qt) = ut, qit ≥ 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
