Авторефат (1136218), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Первыйвариант основывается на том, что однородность определяется как постоянство долей факторов количества и цены в изменениях плотности для стоимости {vi(t) – vi0} и для её логарифма{ln vi(t) – ln vi0}.Вэтомслучаеvi(t) = vi0 + t(vi1 – vi0), qi (t ) = qi0 ⎡⎣1 + ( vi1 − vi0 ) t ⎤⎦αi(q) =ln ( qi1 qi0 )ln (vi1vi0), αi(p) =ln ( pi1 pi0 )ln (vi1vi0)используютсяαi ( q )при0≤t≤1, pi (t ) = pi0 ⎡⎣1 + ( vi1 − vi0 ) t ⎤⎦αi ( p )уравнения, в которых. Наблюдаемыми считаются цены pi1, pi0 и стоимостьVi[0]. Интегрированием получаем:3701Vi[0] = 0,5(vi + vi ), Qi[0] =qi0 ⎡⎣( vi1 vi0 )αi ( q ) +1− 1⎤⎦( vi1 vi0 − 1) (1 + αi (q) )0,5 ( vi0 + vi1 )( vi1 vi0 − 1) (1 + α i (q) )Pi[0] =.0⎡ 10 α ( q ) +1⎤qi ⎣( vi vi )− 1⎦,iiВ этих формулах используются неизвестные значения qi1, qi0 или vi1, vi0.
Они связаны соотношением 2Vi[0] = vi0 + vi1. Чтобы по данным Vi[0], pi0 и pi1 рассчитать величиныqi0, qi1, сформулирована гипотеза, позволяющая получать еще одно соотношение для параметров и исходных данных.Исследованы два случая, в которых эта задача должна быть решена. Для типичного случая начальное значение количеств qi0 можно считать найденным в результате решения аналогичной задачи, но для предшествующего периода с t ∈ [–1; 0]. Если для такогопериода найдены величины Qi[–1], Pi[–1], то по известным величинам уже рассчитаны qi–1и qi0. Поэтому Qi[0] и Pi[0] вычисляются. В особом случае значение qi0 неизвестно, поскольку отсутствуют данные для периода, предшествующего рассматриваемому состоянию.
Для этого случая представим Pi[0] как функцию переменных pi0, pi1, qi0, qi1. Перейдяк переменной xi = 2 zi – ai, где ai = ln(pi1/pi0), и опуская для упрощения индекс товара у показателя ai и переменной xi, получаем( e x + a − 1) xPi [0]=≡ f ( x; a ).( e x − 1) ( x + a )pi0Таким образом, отношение средней и начальной для периода цены в принимаемых предположениях определяется отношениями vi1/vi0 и (pi1/pi0).В качестве характерного значения аргумента x для функции f(x; a) при a ≠ 0 предлагается рассматривать x* − решение уравнения d2f(x; a)/dx2 = 0 или его приближенноезначение x = 0.
Аргументу x* соответствует точка перегиба функции f(x; a) и наибольшеезначение первой производной этой функции. В Приложении 8 рассмотрены свойствафункции f(x; a) и показано, что d2f(0; a)/dx2 ≠ 0. Для применения предлагаемого способаоценивания средней цены Pi[0] важно, что x* не зависит от параметра ai и очень мало. Этопозволяет использовать значение exp(x*) ≈ 1, x* = 0.Для функции F(x; a) = sign(a)[f(x; a) – 1]/(ea – 1), интерпретируемой (при a ≠ 1) какфункция распределения для случайной величины x, значение x* определяет ее моду. Доказано, что функция F(x; a) монотонно возрастает и её можно рассматривать как функциюраспределения случайной величины x, принимающей значения от − ∞ до + ∞ .
В случае,когда используется приближенное значение x* ≅ 0, получаем zi = (pi1/pi0)0,5 и Pi0[0] == (pi1 – pi0)/ln(pi1/pi0). При найденном значении x* величины qi0 и qi1 находятся.Второй вариант определения однородного периода с изменяющимися ценами связан с традиционной для экономической теории и статистики гипотезой постоянства тем38пов роста для рассматриваемых показателей. Траектории моментных количеств, цен истоимостей задаются в видеqi(t) = qi0 (qi1/qi0)t, pi(t) = pi0 (pi1/pi0)t, v(t) = vi0(vi1/vi0)t ≡ pi0 qi0{(pi1 qi1)/(pi0 qi0}t,где 0 ≤ t ≤ 1, i = 1, …, n.
Величины Vi[0] и Qi[0] находятся интегрированиемVi[0] = (vi1 – vi0)/ ln(vi1/vi0), Qi[0] = (qi1 – qi0)/ ln(qi1/qi0)и для средней (для периода) цены получаемPi[0] =ln ( qi1 qi0 / )pi1qi1 − pi0 qi0×.qi1 − qi0ln ( pi1qi1 pi0 qi0 )В этой формуле предполагаются известными мгновенные цены pi0, pi1 и статистически не наблюдаются мгновенные количества qi0, qi1. Вводя параметр a = ln(pi1/pi0) и переменную x = ln(qi1/qi0), получаем формулу P[0]/pi0 = f(x; a), которая совпадает с формулой,полученной в первом варианте. Это позволяет, используя результаты анализа свойствфункции f(x; a), выбрать для переменной x значение x*, являющееся решением уравненияd2f(x; a)/dx2 = 0, и его приближение x = 0. Если используется значение x = 0, то qi1 = qi0,Qi[0] = qi0, Pi[0] = (pi1 – pi0)/ ln(pi1/pi0) и qi0 = Vi[0]/Pi[0].
Выбор варианта определения однородности периодов не влияет на Pi[0] и Qi[0], так как используется общие значения стоимости Vi[0] и параметра ai = ln(pi1/pi0).Традиционно применяемая в практической статистике формула для средней (дляпериода) цены Pi[0] ≈ 1/2(pi0 + pi1) представляет собой приближение к полученному, исходя из теоретических соображений, значению. Для оценок средних цен при pi1 > pi0 выполняется неравенство Pi[0] ≡ (pi1 – p0i/ ln(pi1/pi0) < 1/2(pi0 + pi0).
В начальном периоде при использовании оценки P̃i[0] = 1/2(pi0 + pi1) происходит занижение оценки количества Qi[0] посравнению с оценкой Vi[0]/{(pi1 – pi0)/ ln(pi1/pi0)}. Предложенный метод расчета среднейцены не противоречит применяемому в статистической практике методу, корректируя егов ситуации быстрого роста моментных цен.3.2.6.
Индексы для периодов, состоящих из однородных периодов меньших продолжительностейСоседние периоды, для которых уже определены сцепленные индексы, названыпервичными периодами. Под первичными периодами можно понимать, например, месяцыили кварталы, объединяемые в периоды большей продолжительности – кварталы или годы. Такие периоды назовем агрегированными периодами или А-периодами.
Для них определяются те же показатели стоимостей и количеств, что и для первичных периодов. Допустимо считать, что они равны суммам показателей для входящих в А-периоды первичных периодов. Для соседних А-периодов оказываются определенными те же индексы, чтои для первичных периодов. Но требует ответа вопрос: можно ли ограничиваться для двухсоседних А-периодов, которым присвоены шифры «0» и «1», расчетом индексов, в которых используются только суммарные показатели стоимости V(0), Q(0), V(1), Q(1) и сред39ние цены P(0) ≡ V(0)/Q(0), P(1) ≡ V(1)/Q(1)? В этих индексах не используются сведения осовместной динамике показателей для первичных периодов.
Такую возможность классическая теория принимает на веру, постулируя, что индексы IQ(0; 1) и IP(0; 1) представляют собой функции от 4n аргументов Pi(0), Pi(1), Qi(0), Qi(1). Для первичных периодов этопредположение оправдывается. Но применение индексов, оперирующих суммарными показателями для А-периодов, означает согласие оставаться в рамках статического подхода.Использование данных для первичных периодов, а не только их сумм, означает переход креализации динамического подхода.Предполагается, что для соседних первичных периодов с шифрами (t – 1) и (t),включенных в сравниваемые А-периоды, уже выбраны индексные формулы IP(t – 1; t),IQ(t – 1; t) и IP(t; t – 1), IQ(t; t – 1).
И для этих индексов выполняются Аксиома стоимостии Аксиома обратимости во времени. Пусть базовый А-период имеет шифр «0», а следующий за ним А-период – шифр «1». А0- и А1-периоды состоят из T первичных периодов сномерами t = 1, ..., T, T+1, ..., 2T. Стоимости, количества и цены для i-й группы продуктовв t-м первичном периоде будем обозначать vit, qit, pit, считая, что pit =vit/qit. ИспользуютсяTTTTt =1t =1t =1t =1обозначения: V t = ∑ vit , Vi (0) = ∑ vit , Qi (0) = ∑ qit , Vi (1) = ∑ viT +t , Qi (1) = ∑ qiT +t . Цепныеiиндексы для базового периода τ и текущего периода t определяются обычным способом.Для них выполняются соотношения IP[τ; t] × IQ[τ; t] = Vt/Vτ, IP[t; τ] × IQ[t; τ] = Vτ/Vt и определены стоимость V[t; τ] ≡ IP[τ; t] × Vτ = Vt/IQ[τ; t] = Vτ/IP[t; τ] = Vt × IQ[t; τ] для периодаτ в ценах периода t и стоимость V[τ; t] для периода t в ценах периода τ.Рассмотрены следующие варианты индексов цен IP(0; 1) и количеств IQ(0; 1) длядвух А-периодов.
В традиционном варианте индексов i-й продукт в каждом из T первичных периодов рассматривается как один из Tn «продуктов». Получаемые индексы используют данные для всех продуктов и всех первичных периодов. Очевидным недостаткомэтого подхода является то, что такие индексы не изменяются при любой перестановке Tn«продуктов», в том числе при изменении порядка следования первичных периодов. В ситуации, когда порядок периодов отражает процесс совместного изменения стоимостей,количеств и цен продуктов, такая инвариантность является недостатком, не имеющим оправдания.
Проанализированы возможности использовать пересчет количеств для первичных периодов из А1-периода в цены А0-периода или какого-нибудь другого периода и получить на этом пути индекс количеств IQ(0; 1), а затем имплицитный ему индекс ценIP(0; 1). Такой пересчет возможен в нескольких вариантах.Во-первых, объемы Qi(1) можно рассчитать в ценах А0-периода, используя среднюю цену i-го продуктов Vi(0)/Qi(0). Тогда индекс IQ(0; 1)I естественно определить какотношение ∑ IPi (0)Qi ∑ V (0) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
