Авторефат (1136218), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для ее оптимального реqiшения qit* имеем ∑ pit qit* ≡ С(1; pt)ut, где С(1; pt) ≡ с(pt) – затраты на «единицу полезности».iТакое представление функции затрат потребителя С(ut; pt) постулируется Дивертом и Балком сначала для дискретной последовательности периодов с t = 1, …, T, а затемраспространяется на случай непрерывного времени.
Поскольку при целых значениях t завсеми переменными сохраняются их определения, то фактически рассматриваются скользящие периоды, для которых параметр t интерпретируется как момент начала периода.Для «скользящих периодов» с начальными моментами времени t ∈ [0; 1], предполагаютсязаданными траектория полезности u(t) и цены pi(t) как функции времени.При каждом t∈[0;1] «потребитель» минимизирует затраты в текущих ценах призаданном уровне полезности. Диверт и Балк формулируют соответствующие задачи в ихстатической постановке, то есть для каждого t-го периода. При этом не учитывается, чтопериоды с и t = t1 и t = t2 при условии 0 ≤ t1 < t2 < 1, имеют непустое пересечение, и соответствующие задачи не могут решаться как независимые.
Недостаток этого подхода к ин29терпретации связи экономического и траекторного направлений теории преодолевается вследующей простой модели, соединяющей черты статистического, экономического и динамического направлений в их дискретных вариантах.Поведение потребителя моделируется в период времени, для которого непрерывное время τ изменяется от 0 до T (τ∈[0;T]). Этот «агрегированный» период представим ввиде последовательности T периодов равной продолжительности с τ ∈ [t – 1; t], t = 1, ..., T.В качестве функции полезности используется однородная первой степени, дифференцируемая функция f(x) ≡ f(x1,. …, xn), определенная при xi ≥ 0, i = 1, ..., n, для которой матрицавторых производных с элементами ∂2f(x)/∂xi∂xj отрицательно определена и потому не вырождена.TРешение «динамизированной» оптимизационной задачи max ∑ At f ( xt1 , ..., xtm )t =1nпри ограничениях ∑ xti pit = Vt , xti ≥ 0, t = 1, ..., T, i = 1, ..., n, в которых цены pit и параметi =1ры At, Vt заданы и положительны, находится.
Задача распадается на T несвязанных междусобой задач, их единственные оптимальные решения xtiopt = (λt/At) hi(pt), i = 1, ..., n, существуют как решения систем уравнений fi(xt1 At/λt, ..., xtn At/λt) = pit, i = 1, ..., n. Функции hi(p),i = 1, ..., n, существуют в силу невырожденности матрицы (∂2f(x)/∂xi∂xj) и определяютсятолькоагрегаторнойфункциейf(x).Множительλt находится:λ topt = At Vt/ψ(pt),ψ(pt) ≡ ∑ pit hi ( p t ) ; находится и оптимальное решение задачи для t-го периодаixtiopt = Vt hi ( p t ) ψ ( p t ) ≡ Vt φi(pt) и ∑ xtiopt = ∑ Vt ϕi ( p t ) ∑txoptti=∑tVtφi(pt), где φi(p) = hi(p)/ψ(p) –ttдоли затрат, определяемые только ценами и не зависящие от суммарных расходов.
Этидоли традиционно вводятся для линейных однородных функций полезности. Тогдаf ( xtopt ) = ∑ xtiopt fi ( xtopt ) = ( λ topt At ) ∑ pit xtiopt и найдено максимальное значение критерияii∑ At f ( xtopt ) = ∑ At (Vt ) ψ( pt ) как функция от экзогенных параметров задачи A = (At),2ttV = (Vt) и (p ) = (pit). Аналогичная задача рассматривается для агрегированного периода сtτ ∈ [0; T]. В такой однопериодной, то есть статической, задаче максимизируется критерий f(X1, ..., Xn) при ограничениях Xi ≥ 0 и ∑ X i pi = V , в которых цены и V заданы.
Её реiшение очевидно: X iopt = V ϕi ( p ) , f ( x opt ) = V 2 ψ ( p ) .Сравнение решений этих двух задач при упрощающих предположениях о постоянстве цен (pit = pi) и равенстве функций полезности Ft(xt) = At(ξt) f(xt) в агрегируемых периодах At(ξt) = A, t = 1, ..., T; ξt – набор экзогенно заданных параметров), показывает, чтопри таких предположениях сумма (по периодам) оптимальных решений многопериодной30задачи совпадает с решением однопериодной задачи, если в этих задачах совпадают суммарные расходы.Предположение о линейной однородности и неизменяемости в агрегированномпериоде функции полезности вместе с постоянством цен приводит при заданной суммерасходов и допустимых динамиках расходов к совпадению «интегрального» поведенияпотребителя в однопериодной и многопериодной моделях. Так обосновывается возможность рассматривать индексы для агрегированного периода без учета динамик цен и расходов.Из решений для многопериодной и однопериодной задач видны различия экономического, по своей сущности статического направления, и траекторного, принципиальнодинамического направления теории индексов.
Траекторное направление считает необходимым рассматривать ситуации, в которых цены для периодов могут не оставаться постоянными и учитывать динамику расходов даже в случае использования функции полезности, которая не изменяется. Если цены не постоянны, то становится очевидна необходимость учета динамического характера изучаемых процессов.3.2. Аксиоматическое определение согласованных траекторий стоимостей,количеств и средних для периодов ценПо отношению к конструкциям динамических индексов, критическая по- зициясторонников классического направления теории индексов базировалась на казавшейся имочевидной невозможности обоснованного выбора непрерывных и дифференцируемыхтраекторий цен и количеств. Проблема выбора семейства траекторий, решение которойприводит к обоснованию выбора динамических индексов, оставалась нерешенной.
Она неимела простой формулировки, выходящей за рамки рассмотрения противоречивых системтестов, предъявляемых к индексным формулам. Трудности поиска такой формулировкибыли осознаны, когда были обнаружены примеры существования нескольких семействтраекторий, порождающих имплицитную пару индексов цен и количеств. Выбор путейоказался более общей проблемой, чем выбор индексных формул, поскольку необходимовыбрать конструкцию индексов.
В этих условиях обоснование выбора путей, определяющих динамические индексы как индексы Дивизиа или Монтгомери, естественно связыватьс неявным постулатом классической теории о том, что искомые индексы для сравниваемыхпериодов могут быть определены и рассчитаны с использованием только «итоговых»данных для однородных периодов. Предложена следующая формулировка этого предположения, позволяющая не иметь дело с наблюдениями за непрерывными траекториямицен и количеств.313.2.1 Проблема факторного разложения конечного приращения функции многихпеременных и ее медиальное решениеПусть F(X) = F(x1, ..., xm) – гладкая и монотонная функция m действительных переменных, не являющаяся сепарабельной и определенная на Rm.
Требуется представить конечное приращение ΔF(x0; x1) ≡ F(x1) – F(x0) в виде m слагаемых называемых вкладами аргументов в ΔF(x0; x1), то есть определить факторное разложение ΔF(x0; x1) = ∑ Δi F(x0; x1).i∂F ( x(t ) ) dxk (t )⋅⋅ dt , если задан соедиdt∂xk0 k =11 mВоспользуемся тождеством F ( x1 ) − F ( x 0 ) = ∫ ∑няющий точки x0 и x1 путь π(t) = {x(t)} с дифференцируемыми функциями xk(t), k = 1, ..., m.Это тождество выполняется при всех допустимых функциях F(X) и путях и допускает∂F ( x(t ) ) dxi (t )dt .⋅dt∂xi01единственную интерпретацию: Если путь π(t) выбран, то ΔFi ( x 0 ; x1 ) = ∫Необходимо предложить принцип задания пути или использующую функцию F задачу,решением которой будет семейство S(π) путей. Предлагается выбор семейства S(π) основывать на формализации следующего Тезиса: Искомое факторное разложение применяется только при условии отсутствия какой-либо информации о процессе фактическогоили гипотетического преобразования исходного состояния x0 в состояние x1.
Этот Тезисназовем аксиомой ненаблюдаемости путей. Аксиому ненаблюдаемости путей предлагается понимать не как недостаток используемой системы мониторинга за рассматриваемым процессом, анализируемым в терминах переменных xi и y=F(X)), и не как неполноту существующей теории этого процесса, а как свидетельство того, что процесспроходил без существенных отклонений от реализующихся тенденций или не полностьюизвестных закономерностей, без отклонений, свидетельствующих о непредсказуемыхвоздействиях на него и требующих проведения нерегламентных наблюдений и измерений.Если нет сведений о том, как происходила трансформация состояния x0 в x1, то предлагается согласиться с тем, что для получения факторного разложения они не нужны, и промежуточные состояния между x0 и x1 равноправны.Гипотезу равноправия точек искомого пути, не совпадающих с исходной точкойx0, предлагается формализовать следующим образом.
Для τ ∈ (0;1] при заданном путиπ(t; x0; x1) определим 2m функций от τ :∂F ( x(t ) ) dxi (t )ΔF ( x 0 ; x(τ) )⋅,dt , λ i (τ) = i 0∂xidtΔF ( x ; x(τ) )0τΔFi ( x 0 ; x(τ) ) = ∫где λi(τ) – доля вклада i -го фактора в ΔF(x0; x1).Гипотеза равноправия точек пути интерпретируется как имеющая следствиемпостоянство вектора-функции λ(τ) = (λi(τ)). Факторное разложение для функции F(x), соответствующее аксиоме ненаблюдаемости путей и гипотезе равноправия его точек, пред32лагается искать, используя гипотезу dλi(τ)/dt = 0, i = 1, ..., m , как решение следующей задачи: найти вектор λ = (λi), ∑ λ i = 1 , такой, что система дифференциальных уравнений дляiфункций xi(t)m∂F ( x(t )) dxi (t )∂F ( x(t )) dx j (t )⋅⋅= λi ∑, i = 1, ..., m ,dt∂x jdt∂xij =1где параметр t, t ∈ [0; 1], связан с функцией F(x) соотношениемF ( x(t ) ) − F ( x 0 )F ( x1 ) − F ( x 0 )=t,имеет решение{λ; xi(t; x0; x1)}, удовлетворяющее граничным условиям xi(0) = xi0, xi(1) = xi1,i = 1, ..., m.
Вектор λ обозначим λ(x0,x1)F. Такой выбор параметра t возможен, если функцияF(x) монотонна как функция одного аргумента, задающего параметризацию пути.π(τ) = {xi(τ)}. В таком случае переменная t определяется как следующая явная функция от τ:t=F ( x(τ) ) − F ( x 0 )F ( x1 ) − F ( x 0 )≡ g(τ).Факторное разложение ΔFi ( x 0 ; x1 ) = λ i ( x 0 ; x1 ) F ΔF ( x 0 ; x1 ) названо медиальнымразложением (медиалом), чтобы отличать его от других возможных факторных разложений.
При естественных предположениях доказаны следующие свойства медиальныхфакторных разложений.А. Существование для монотонных функций. Медиальное решение ( λ; x(t ) ) F существует, если x 0 ∈ ωF , x1 ∈ ωF , ωF ≡ Rm++ ⊂ Ω F , F ( x) – гладкая монотонная функция иRm++ : xi > 0 , i = 1, ..., m .В. Инвариантность относительно выбора параметризации пути. Медиальныйвектор λ F инвариантен относительно взаимно-обратного преобразования параметра t впараметр u, то есть при t = g(u).С. Инвариантность относительно монотонного преобразования функции F(x).Медиальное решение (λ, x(t))F является медиальным решением (λ; x(t))H для функцииH(x) = G(F(x)), если G(z), z∈R1, гладкая монотонная функция, для которой F(x) ∈ ΩG приx ∈ ωF, ωF – нормальное множество для F(x), и ωF является нормальным множеством дляH(x).D. Инвариантность относительно взаимно-обратных преобразований переменных, образующих обобщенные аргументы функции F(x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
