Диссертация (1136178), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

(4.418)(ex− + x0 )3Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ (4.414), (4.387), ïîëó÷àåìK 2√xx0 x + x0Z 4xx0 /(x+x0 )2 2pxe− x0 dK √−K=( b) db = δK1 + δK2 .xe− + x04ex− x0 /(ex− +x0 )2 dbÇäåñüdefδK1 =Z4xx0 /(x+x0 )2o11+ ln(1 − b) db,84ex− x0 /(ex− +x0 )2 2(1 − b)Z 4xx0 /(x+x0 )2 nh E(√b)i K(√b) ln(1 − b) o1defδK2 =−1 −−db,b2b84ex− x0 /(ex− +x0 )2 2(1 − b)δK1 ñîäåðæèòïðè b → 1.ïðè÷åìíîñòü÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ (4.414), èìåþùèå îñîáåí-Âû÷èñëèì âõîäÿùèé âδK1 =nnδK1èíòåãðàë:o4xx0 /(x+x0 )211− ln(1 − b) − (1 − b)[ln(1 − b) − 1] =4ex− x0 /(ex− +x0 )228418 x − x0 h 1e− − x0 ix0 (ex− − x0 ) xe− )−ln = − ln + (x − x +xe− − x0xe− + x0(ex− + x0 )3xe− + x0 (x − x e− )20 +O,x→xe− .x− − x |1 + ln |e(ex− + x0 )2Äàëåå, ðàçëàãàÿδK2ïî ôîðìóëå Òåéëîðà, íàõîäèì, ÷òî ïðèx→xe−pe− x0 (e(x − xe− )4x0 (x0 − xe− ) n 1 (ex− + x0 )2 h 2 xx− + x0 )2δK2 =E−(ex− + x0 )32 (ex− − x0 )2xe− + x04ex− x0p (x − xe− x0 1 xe− − x0 oe− )2(ex− + x0 )2 2 xK− ln ×−1 − +O8ex− x0xe− + x04xe− + x0(ex− + x0 )2 × 1 + ln |ex− − x0 | .iÒàêèì îáðàçîì, 2√xx0 2 12x−xe−−+K=000π(x + x )x+xπ xe− + x(ex− + x0 )2p x − x0 (x − xe− x0 e− )2 n 2 x+OK− ln e− )× + (x − x0300(ex− + x )xe− + xxe− − x 2pxh 1e− x0 (ex− + x0 )(ex− − x0 )+E+××xe− − x0 2ex− (x0 − xe− )xe− + x02ex− (ex− + x0 ) 2px (x − xoe− x0 ie− )20 ×K1 + ln |ex− − x |+O, x→xe− ,xe− + x0(ex− + x0 )2à, çíà÷èò, ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå (4.418), ãäåF−çàäàåòñÿ ñîîòíî-øåíèåì (4.416).

Ëåììà äîêàçàíà.Ðàâåíñòâà (4.418), (4.384) ïîçâîëÿþò çàïèñàòü óðàâíåíèå (4.389)âáëèçè òî÷êèxe−â âèäå2h1/3+h∂ 2g n 0++ U (ex− )(x − xe− )+∂x2 ∂y 2 ∂ 2gZ(x − xe− )0∞0F− (x , xe− )Z∞−∞g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 −419∞Z ∞ h1(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 i 2 0 01/3−hlng (x , y ) dy 0 dx0 +002π(ex− + x ) −∞(ex− − x )0Z∞11/3×+O h (x − xe− )(ex− + x0 )20Z ∞ h(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 i 2 0 000×lng (x , y ) dy dx +(ex− − x0 )2−∞Z ∞Z ∞ 2 0 0(y − y 0 )20001/31 + ln |x − x | g (x , y ) dy dx ++O h0 )3(ex+x−0−∞o21+1/572+O (x − xe− ) + O hln 1/h + O(y ) g = 0.(4.419)ZÐàçëàãàÿ çàòåì ïî ôîðìóëå Òåéëîðà âõîäÿùèé â (4.419) èíòåãðàë,èìååìZ0∞1π(ex− + x0 )Z∞ln−∞h (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 i(ex− −x0 )2g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 g(x, y) =n 1 Z Z ∞ h (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 i2lng−=(x0 , y 0 ) dy 0 dx0 +022πex−(ex− − x )−∞ZZ ∞ h(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 i1ln×+π(ex− − x0 )2−∞ θ(x0 )2g−(x0 , y 0 ) 0 0 o2 0 0×g (x , y ) −dy dx g(x, y) =xe− + x02ex−n 1 Z Z ∞ h (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 i2lng−=(x0 , y 0 ) dy 0 dx0 −022πex−(ex− − x )−∞ZZ2(x0 , y 0 ) i 0 02(x − xe− ) ∞ (1 − χ∗− (x0 , ε)) ∞ h g 2 (x0 , y 0 ) g−−−dy dx +π(x0 − xe− )e− + x02ex−xe− +ε−∞ xZ ∞Z(1 − χ∗− (x0 , ε)) ∞ h g 2 (x0 , y 0 )2−+O (x − xe− )(x0 − xe− )2e− + x0−∞ xxe− +εZ ∞ hZ ∞2g−(x0 , y 0 ) i 0 0 (y − y 0 )2 i∗0−dy dx +O1−χ− (x , ε)ln 1+×0 )22ex−(x−xxe− +ε−∞h g 2 (x0 , y 0 ) g 2 (x0 , y 0 ) i−00×−dy dx +xe− + x02ex−420Çäåñüxe− +2ε∞h (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 i×+Oln(ex− − x0 )2−∞−∞ θ(x0 )2g−(x0 , y 0 ) 0 0 o2 0 0×g (x , y ) −dy dx g(x, y).(4.420)xe− + x02ex−defχ∗− (x, ε) = χ (x − xe− )/2ε , à θ(x) îïðåäåëåíà ôîðìóëîéZχ∗− (x0 , ε)Z(4.105).gÁóäåì ñ÷èòàòü ðåøåíèåïîäñòàâëÿÿ â (4.419), (4.420) ïðèg− ,g−äëÿ íàõîæäåíèÿ2hh1/3−2πex−ZZx > xe− + ε èçâåñòíûì.

Òîãäà,|x − xe− | < 2ε âìåñòî g ôóíêöèþïðèïîëó÷àåì óðàâíåíèå∂ 2 g− n++ Ω− (x − xe− )−∂y 2 ∂ 2g−2∂x∞h (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 io20 000lng− (x , y ) dy dx g− = 0,(x0 − xe− )2−∞(4.421)ãäå2(x0 , y 0 ) 0 0g−dy dx + h1/3−2ex−∞(1 − χ∗− (x0 , ε))(x0 − xe− )xe− +ε2h1/3Ω− = U 0 (ex− ) +πZ∞Z0F− (x , xe− )0ZZ∞−∞ g 2 (x0 , y 0 )xe− + x0−∞−∞2χ∗− (x0 , ε)g−(x0 , y 0 ) + (1−Zh1/3 ∞dy dx = U (ex− ) +1 − χ∗− (x0 , ε) ×πex− xe− +εZ ∞ nh 2px 2pxe− x0 e− x0 i 2 0 011EK×−g (x , y )−x0 − xe−xe− + x0(ex− + x0 )xe− + x0−∞2g−(x0 , y 0 ) o 0 014/9+20/171− 0dy dx + O hln .(4.422)x −xe−h−χ∗− (x0 , ε))g 2 (x0 , y 0 )000Ïðè ýòîì â óðàâíåíèè (4.419) âîçíèêàåò íåâÿçêàn21+1/57r− = O (x − xe− ) + O h114/9+20/171ln+O hln (x − xe− ) +hh421∞Z ∞ 2 0 0∗0(1−χ(x,ε))g (x , y )−+O(y 2 ) + O h1/3 (x − xe− )2−0−x20(xe)xe+x−−xe− +ε−∞ZZ∞2 ∞ hg−(x0 , y 0 ) 0 0 1/3∗0dy dx + O h1 − χ− (x , ε)ln 1+−2ex−xe− +ε−∞Z xe− +2ε2(x0 , y 0 ) 0 0 (y − y 0 )2 i g 2 (x0 , y 0 ) g−1/3+−dy dx +O hχ∗− (x0 , ε)×020(x − x )xe− + x2ex−−∞Z ∞ 1 2 0 0(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 θ(x0 )00×ln−g (x , y ) dy dx +(ex− − x0 )2xe− + x0 2ex− −−∞Z ∞Z ∞ 1(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 1/3+O h (x − xe− )×ln(ex− + x0 )2 −∞(ex− − x0 )20 ∗ 0 2 0 0 0 020 0∗0× χ− (x , ε)g− (x , y ) + 1 − χ− (x , ε) g (x , y ) dy dx +Z ∞Z ∞(y − y 0 )22 ln |x−x0 | χ∗− (x0 , ε)g−+O h1/31+(x0 , y 0 )+03x− + x )0−∞ (e 2 0 0 0 0 o∗0+ 1 − χ− (x , ε) g (x , y ) dy dx g− (x, y).(4.423)ZÍàêîíåö, ñäåëàâ â (4.421) çàìåíó (4.413), (4.232), ïîëó÷àåìËåììà 4.60.íåíèþÔóíêöèÿ G− (ξ, η) óäîâëåòâîðÿåò ìîäåëüíîìó óðàâ-(0.45).Àíàëîãè÷íî, ïðè|x − xe+ | < 2ε1/6 2 ∂G+g = g+ (x, y) + O h+O h−1/6+1/57ξ∂ξg+ (x, y) =èη1 G+ −1/6+1/57+O hln+h (1 + |ξ|)1 ∂G+ 1 ∂G+ −1/18+20/171ln+O hln ξ,h ∂ξh ∂ξãäåξàñèìïòîòèêó èùåì â âèäå2/3Ω+p√2πex+ G+ (ξ, η)/ h,(4.424)çàäàíû ôîðìóëîé (4.239), à êîíñòàíòàh1/3Ω+ = −U 0 (ex+ ) +πex+Zxe+ −ε−∞1 − χ∗+ (x0 , ε)Z∞−∞nh1×(ex+ − x0 )422 2px 2pxe+ x0 e+ x0 i 0 2 0 01+Kθ(x )g (x , y )−×Exe+ + x0(ex+ + x0 )xe+ + x02(x0 , y 0 ) o 0 0g+14/9+20/171dy dx + O hln .(4.425)−xe+ − x0hdef∗Çäåñü χ+ (x, ε) = χ (ex+ −x)/2ε , h → 0.

Òîãäà, åñëè G+ (ξ, η) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (0.45), òî ïîñëå ïîäñòàíîâêè â (0.65) âìåñòî g ôóíêöèèg+ ïðè |x − xe+ | < 2ε âîçíèêàåò íåâÿçêàn1121+1/572r+ = O (ex+ −x) +O hln+O(y )+O h4/9+20/171 ln (ex+ −hhZ(1 − χ∗+ (x0 , ε)) ∞ h θ(x0 )g 2 (x0 , y 0 )−0 )20(ex−xxe+x++−∞−∞ZZxe+ −ε2 ∞ h(x0 , y 0 ) i 0 0 g+1/3∗0−dy dx + O h1 − χ+ (x , ε)ln 1+2ex+−∞−∞2(x0 , y 0 ) i 0 0 (y − y 0 )2 ih θ(x0 )g 2 (x0 , y 0 ) g++−dy dx + O h1/3 ×020(x − x )xe+ + x2ex+Z ∞Z ∞ e+ − x0 (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 x∗0×χ+ (x , ε)ln×(ex+ − x0 )2xe+ + x0xe+ −2ε−∞Z ∞120 0001/3××g+ (x , y ) dy dx + O h (ex+ − x)0 )2(ex+x+0Z ∞ (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 ∗ 020 0∗0×lnχ(x,ε)g(x,y)+1−χ(x,ε)×+++(ex+ − x0 )2−∞Z ∞Z ∞ 0 0(y − y 0 )22 0 01/3 ln |x − x0 | ××g (x , y ) dy dx + O h1+x+ + x0 )30−∞ (e ∗ 0 2 0 0 0 0 o20 0∗0× χ+ (x , ε)g+ (x , y ) + 1 − χ+ (x , ε) g (x , y ) dy dx g+ (x, y).Z−x) + O h1/3 (ex+ − x)2xe+ −ε(4.426)Äàëåå â ôîðìóëàõ äëÿ àñèìïòîòèê ôóíêöèé+∞, η = O(ξ 1/6 (ln ξ)2/3 )G± (ξ, η)ïðèξ→áóäóò óêàçàíû çíà÷åíèÿ âõîäÿùèõ â íèõêîíñòàíò.

Çàäàíèå ýòèõ àñèìïòîòèê ïîçâîëÿåò âûáðàòü ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùèå ïðèG− (ξ, η), G+ (ξ, η)g+ .|η| → +∞,à òàêæå ïðèξ → −∞ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (0.45), ÷åðåç êîòîðûå âûðàæàþòñÿg− ,423 Ÿ1 ãëàâû 4 äëÿ ðåøåíèé (0.45) áûëè ïîñòðîåíû àñèìïòîòè÷å-ξ → +∞, η = O(ξ 1/6 (ln ξ)2/3 ) ðàçëîæåíèÿ âèäà (4.242) ( ñì.eèϕëåììó 4.34.). Ôîðìóëû äëÿ Te â (4.242) ïðèâåäåíû ⠟1 ãëàâû 4.Äëÿ îäíîçíà÷íîãî çàäàíèÿ àñèìïòîòèêè G äîñòàòî÷íî óêàçàòü ÷èñëîi, óïîðÿäî÷èâàþùåå ðåøåíèÿ çàäà÷è (0.46), (0.47), à òàêæå çíà÷åíèåïàðàìåòðà ek .  çàâèñèìîñòè îò òîãî, âáëèçè îò êàêîé èç òî÷åê xe− ,xe+ ñòðîèòñÿ àñèìïòîòèêà, áóäåì âìåñòî ek ïèñàòü ek− èëè ek+ .ñêèå ïðèÀíàëîãè÷íî Ÿ2 ãëàâû 4 ïîòðåáóåì, ÷òîáû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿξ → +∞, η = O(ξ 1/6 (ln ξ)2/3 ) èìåëèàñèìïòîòèêè (4.242) ñ òåì æå íîìåðîì i, ÷òî è ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ(4.176).

Êðîìå òîãî, ïóñòü äëÿ G− (ξ, η) ïàðàìåòðG− (ξ, η), G+ (ξ, η)(0.45)à äëÿÇäåñüG+ (ξ, η)ïðè4/3ek− = k/(2πex− Ω− ),(4.427)4/3ek+ = k/(2πex+ Ω+ ).(4.428)k âõîäÿùàÿ â (4.176) êîíñòàíòà (ñì. (4.188)), à Ω− , Ω+îïðå-äåëåíû ôîðìóëàìè (4.422), (4.425).3.5.Çàäà÷à äëÿ ôàçûÏîäñòàâèì â ðàâåíñòâà (4.397), (4.400), (4.384), (4.422), (4.425)âáëèçè òî÷åêøåíèég− , g+xe− , xe+âìåñòîgâûðàæåíèÿ äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðå-è âûðàçèì âîçíèêàþùèå èíòåãðàëû ÷åðåçSe0 (ξ)è âõî-äÿùèå â (4.244) êîíñòàíòû.  ðåçóëüòàòå áóäåò ïîëó÷åíà çàäà÷à äëÿíàõîæäåíèÿ îïðåäåëÿþùåé ôàçó ÂÊÁ-ðàçëîæåíèÿ (4.193) ôóíêöèèS(x, h),à òàêæå êîíñòàíòk, xe− , xe+ , Ω− , Ω+ .Íà÷íåì ñ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (4.400).

Ïóñòü ôóíêöèÿH(ξ)èìååò âèä (4.253). Òîãäà â ñèëó (4.243), (4.244) è ôîðìóëû1/Se0 (ξ) = H(ξ)+O(ξ −8/3 ), ξ → +∞.0Ôóíêöèÿ H(ξ) â îòëè÷èå îò 1/S0 (ξ) íå èìååò îñîáåííîñòåé ïðè ξ > 0.Îïðåäåëèì D−1 (ek± ) ôîðìóëîé (4.254). Àíàëîãè÷íî ëåììå 4.35.Òåéëîðà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîäîêàçûâàåòñÿ424Ëåììà 4.61.Ïðè h → 0 ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàxe− +εZχ− (x, ε)−∞01/3=h2/3x−Ω− 2πee−ZhD−1 (ek− ) +∞Z(4.429)∞2g+(x, y) dydx =χ+ (x, ε)xe+ −ε=h1/32/3x+Ω+ 2πeh−∞e+Z2g−(x, y) dydx =iek− ξ χH(ξ) dξ + O(h13/9 /ε5/3 ),2e−1Z∞ZD−1 (ek+ ) +1iek+ ξ χH(ξ) dξ + O(h13/9 /ε5/3 ),2e+(4.430)ãäå e± çàäàíû ôîðìóëîé(4.257),à χ = χ(ξ) ∈ C ∞ (R1 ) íåîòðèöà-òåëüíàÿ ôóíêöèÿ, òàêàÿ, ÷òî χ(ξ) ≡ 1 ïðè ξ < 1/2, χ(ξ) ≡ 0 ïðèξ > 1.Ñ ó÷åòîì (4.429), (4.430) ñîîòíîøåíèå (4.400) ïðèíèìàåò âèä1/3h2/3x−Ω− 2πehZe−D−1 (ek− ) +1Z+xe+ −ε/21 − χ− (x, ε) − χ+ (x, ε)xe− +ε/21/3+h2/3Ω+ 2πex+hZD−1 (ek+ ) +113/9+O(h/ε5/3iek− ξ χH(ξ) dξ +2e−)+OZxe+ −ε/2e+kdx+2S 0 (x, h)iek+ ξ χH(ξ) dξ = 1+2e+1 − χ− (x, ε) − χ+ (x, ε) ×xe− +ε/2Z∞×T (x, τ1 , h) cos 2Φ(x, τ1 , h) dτ1 dx ,2h → 0.(4.431)−∞Èñêëþ÷àÿ èç (4.431) ðàçáèåíèå åäèíèöû, à òàêæå èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì â ñîäåðæàùåì2/3h1/3 Ω− 2πex−cos 2Φèíòåãðàëå, îêîí÷àòåëüíî èìååìZhD−1 (ek− ) +1e−i Z xe+ −ε k dxek−H(ξ) dξ ++0 (x, h)22Sxe− +ε4251/3+h2/3x+Ω+ 2πehZe+D−1 (ek+ ) +1iek+H(ξ) dξ = 1 + O(h2/3+1/57 ), h → 0.2(4.432)Äàëåå ïðåîáðàçóåì ñîîòíîøåíèÿ (4.384).

Характеристики

Список файлов диссертации