Диссертация (1136178), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Îíè ïîçâîëÿþò çàïèñàòü ðàâåíñòâî(4.176) â âèäå (4.193). ÏóñòüS(x, h)óäîâëåòâîðÿåò (4.397). Òîãäà,àíàëîãè÷íî 1 è 2 ãëàâû 4 ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó äëÿ íà-410õîæäåíèÿcos-sin-àìïëèòóä:èZ ∞ 0∂ 2B 102020−|τ1 − τ1 | B (x, τ1 , h) + I (x, τ1 , h) dτ1 + L(x, h) B+∂τ122x −∞1/9+h2S0 ∂I∂x00+ S I = 0,(4.398)Z ∞ 0∂ 2I 102020−|τ1 − τ1 | B (x, τ1 , h) + I (x, τ1 , h) dτ1 + L(x, h) I−∂τ122x −∞ ∂B1/9000−h2S+ S B = 0,(4.399)∂xà òàêæå (4.196).Òåîðåìà 4.13.íèÿ(4.397),Ïóñòü ôóíêöèÿ S(x, h) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíå-à B(x, τ1 , h), I(x, τ1 , h), à òàêæå L(x, h) ÿâëÿþòñÿ ðå-øåíèåì çàäà÷è(4.398), (4.399), (4.196).ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ(4.193)íîñòüþ r∗ , ãäå r∗ èìååò âèäÒàê êàêgÒîãäà ïðè x ∈ (ex− +ε, xe+ −ε)(0.65)ñ òî÷-(4.395).äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü òàêæå óñëîâèÿì (0.66), (0.68),òî â ñèëó (4.176), (4.177), (4.188), (4.191), (4.192) èìååìxe− +εZZ∞Z2χ− (x, ε)g (x, y) dydx +−∞0k dx× 0+2S (x, h)Zxe+ −ε/21 − χ− (x, ε) − χ+ (x, ε) ×xe− +ε/2∞∞Z2χ+ (x, ε)xe+ −εg (x, y) dydx = 1 + O−∞−χ− (x, ε) − χ+ (x, ε)Z∞Zxe+ −ε/21−xe− +ε/2T (x, τ1 , h) cos 2Φ(x, τ1 , h) dτ1 dx ,2(4.400)−∞Zh5/9 xe+ −ε/2χ− (x, ε)yg (x, y) dydx +1 − χ− (x, ε)−2 xe− +ε/20−∞ZZ ∞ ∞−χ+ (x, ε)τ1 B 2 (x, τ1 , h) + I 2 (x, τ1 , h) dτ1 dx +χ+ (x, ε)×Zxe− +εZ∞2−∞Z∞×2xe+ −ε5/9yg (x, y) dydx = O h−∞Zxe+ −ε/2xe− +ε/21 − χ− (x, ε) − χ+ (x, ε) ×411∞Z2×τ1 T (x, τ1 , h) cos 2Φ(x, τ1 , h) dτ1 dx .(4.401)−∞3.3.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿcos-èsin-àìïëèòóäÏîñòðîèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (4.398), (4.399),x ∈ (ex− + ε, xe+ − ε), τ12 (j = 0, 1, 2, 3), Ij (j = 0, 1, 2),(4.196) â âèäå (4.199) (4.201), ãäåh−1/9 |S 0 (x, h)|, h → 0.
Ôóíêöèè Bj`j (j = 0, 1, 2, 3) â (4.199) (4.201) âåùåñòâåííûå, ãëàäêèå; ïðè÷åì,ïðè |τ1 | → ∞ Bj (ξ, τ1 ) è Ij (ξ, τ1 ) ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþò, à `3 (x)óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå (4.202). Ïðè ýòîì îãðàíè÷èìñÿ ëèøü ôîðìóëèðîâêîé ðåçóëüòàòîâ (áîëåå ïîäðîáíî, ñì. 1 è 2 ãëàâû 4 ).Íà÷íåì ñ ôîðìóë äëÿ ãëàâíîãî ïðèáëèæåíèÿâèì ðàçëîæåíèÿ äëÿB0 , I0 , `0 . Ïîäñòà-B , I , L â (4.398), (4.196).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìóðàâíåíèåZ ∞∂ 2 B0 (x, τ1 ) 10200−|τ1 − τ1 |B0 (x, τ1 ) dτ1 + `0 B0 (x, τ1 ) = 0,∂τ122x −∞(4.402)à òàêæå óñëîâèå (4.204), êîòîðûì óäîâëåòâîðÿåò ãëàâíûé ÷ëåíàñèìïòîòèêècos-àìïëèòóäû.Íàðÿäó ñ (4.402), (4.204) ðàññìîòðèìíåçàâèñÿùóþ îò äîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ó (0.46), (0.47)(îäíîìåðíàÿ ìîäåëü ïîëÿðîíà).
Ðåøåíèå èìåííî ýòîé çàäà÷è îïðåäåëÿåò ïîâåäåíèå àìïëèòóäû ÂÊÁ-ðàçëîæåíèÿ.Ïóñòüt = ti (τ ), ρ = ρi < 0 (i = 1, 2, . . . ) ñîáñòâåííûå ôóíê-öèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (0.46), (0.47). (Èíäåêñiäëÿ êðàòêîñòèôîðìóë áóäåì íèæå îïóñêàòü.) Ðåøåíèå (4.402), (4.204) èùåì â âèäå(4.205), (4.206).Ëåììà 4.52.Åñëè k 2/31y=,(2πx)1/6 S 0k 1/3β=,2πxS 0(4.403)412òî çàäàííàÿ ôîðìóëàìè(4.205), (4.206)ôóíêöèÿ B0 , à òàêæåk 2/3`0 = ρ2πxS 0ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è(4.404)(4.402), (4.204).Äîêàçàòåëüñòâî. Ñðàâíèâàÿ (4.402), (4.204) è (0.46), (0.47), èìååìy2= π,2xβ 4y2k= 0,βS`0= ρ,β2îòêóäà ñëåäóþò ôîðìóëû (4.403), (4.404). Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ìûk > 0, S 0 > 0, y > 0.
Ëåììà äîêàçàíà.Ïîëîæèì κ(x) ≡ 0. Òîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå (4.209), ÷òî ïîç5/9âîëÿåò îáðàòèòü â íóëü ñëàãàåìîå ïîðÿäêà hâ (4.401). Êðîìå òîãî,òàêîé âûáîð κ(x) îáåñïå÷èâàåò ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è äëÿ ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ B0 (x, τ1 ) ïîëíîñòüþñ÷èòàëè, ÷òîîïðåäåëåíà.Ïîäñòàâèì òåïåðü ðàçëîæåíèÿ äëÿB, I , Lsin-àìïëèòóäûb èìååò âèäîïåðàòîð Räëÿ ãëàâíîãî ÷ëåíà àñèìïòîòèêèíèå (4.210), ãäå ëèíåéíûéâ (4.399).
Òîãäàïîëó÷àåì óðàâíå-1 Z ∞2∂Idef0020bRI0 =−|τ1 − τ1 |B0 dτ1 + `0 I0 .∂τ122x −∞Çàìå÷àíèå(4.405)4.26. Äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé â (4.405), à òàêæå âïîñëåäóþùèõ ôîðìóëàõ ï. 3.3 èç 3 ãëàâû 4, íå áóäåì âûïèñûâàòüàðãóìåíòû ó ôóíêöèéBj (j = 0, 1, 2), ϕ0 , I0 , I1 , T1 , T1,0 , è èõ ïðîèç-âîäíûõ.  óêàçàííûõ ôîðìóëàõ ïåðâûé àðãóìåíò äàííûõ ôóíêöèéðàâåíx,à âòîðîé ðàâåí ëèáîτ1 ,åñëè ôóíêöèÿ íå ñòîèò ïîä çíàêîìèíòåãðàëà, ëèáî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ñîâïàäàåò ñ ïåðåìåííîé, ïîêîòîðîé ïðîèçâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå.Îïðåäåëèìϕ0 (x, τ1 ) = S + S /x τ12 /6.000(4.406)413Àíàëîãè÷íî ëåììå 4.4.
äîêàçûâàåòñÿËåììà 4.53.Ôóíêöèÿ(4.41)óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþÏåðåéäåì ê âûâîäó ôîðìóë äëÿ ïåðâûõ ïîïðàâîêðàâíèâàÿ ê íóëþ â (4.398), (4.196) ñëàãàåìûå ïîðÿäêàõîæäåíèÿB1 , `11bN B1 =2xZB1 , `1 . Ïðèh2/9 , äëÿ íà-ïîëó÷àåì çàäà÷ó, ñîñòîÿùóþ èç óðàâíåíèÿ∞|τ1 −−∞τ10 |I02 dτ10B0 + `1 B0 − 2S 0è óñëîâèÿ (4.213). Çäåñü îïåðàòîð1def ∂ 2 B1bN B1 =−∂τ122x1−xÂìåñòî(4.210).ZbN|τ1 −−∞(4.407)çàäàí ôîðìóëîé∞|τ1 −−∞∞Z∂I0− S 00 I0∂xτ10 |B0 B1 dτ10τ10 |B02 dτ10B1 −B0 − `0 B1 .(4.408)B1 áóäåì èñêàòü ôóíêöèþ (4.48). Èç (4.407), (4.213) âû-òåêàåòËåììà 4.54.Ôóíêöèè T1 (x, τ1 ), `1 (x) óäîâëåòâîðÿþò çàäà÷å(4.215), (4.216).Ïåðåéäåì ê èçó÷åíèþ çàäà÷è (4.215), (4.216). Äèôôåðåíöèðóÿïîτ1óðàâíåíèå (4.402), íàõîäèì, ÷òî ÿäðî îïåðàòîðàãëàäêóþ, ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùóþ ïðè∂B0 /∂τ1 .|τ1 | → ∞bNñîäåðæèòôóíêöèþÏðåäïîëîæèì, ÷òî âûáðàíî òàêîå ðåøåíèå çàäà÷è (0.46),(0.47), ïðè êîòîðîì ÿäðî îïåðàòîðàbNîäíîìåðíî.
Òîãäà óñëîâèåìðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (4.215) áóäåò óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè âïðîñòðàíñòâåL2 (R1 )ôóíêöèè∂B0 /∂τ1ïðàâîé ÷àñòè (4.215). Îíîèìååò âèä (4.217).  ñèëó (4.209), (4.406) ðàâåíñòâî (4.217) âûïîëíåíî. Ïîýòîìó óðàâíåíèå (4.215) ðàçðåøèìî.Äëÿ îïðåäåëåíèÿΨ(x, τ1 )`1 (x)âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì (4.216).
Ïóñòüèìååò âèä (4.219). Òîãäà, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (4.55), íàõî-äèìS 0 0 oσ 2πxS 0 2/3 n 00 S 0 2000`1 (x) = −S ++ 3S S +,27kxx(4.409)414ãäå êîíñòàíòàσçàäàíà ôîðìóëîé (4.58).Äîïîëíèì (4.215), (4.216) óñëîâèåì (4.221), ÷òî ïîçâîëÿåò îáðàòèòü â íóëü ñëàãàåìîå ïîðÿäêàh7/9â (4.401). Êðîìå òîãî, óñëîâèå(4.221) îáåñïå÷èâàåò ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è äëÿ ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ (ñì. 1 ãëàâû 4 ).Çàäà÷à (4.215), (4.216), (4.221) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòT1è`1 .T1,0 (x, τ1 ) íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå (4.215),b îáùåå ðåøåíèå (4.215) èìååò âèäîäíîìåðíîñòè ÿäðà NÄåéñòâèòåëüíî, åñëèòî â ñèëó(4.222), ãäå çàäàííàÿ ôîðìóëîé (4.223) ôóíêöèÿíàõîäèòñÿ èçκ1óñëîâèÿ (4.221).Ëåììà 4.55.Cïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(4.224),ãäå(2πx)7/6 S 0 2/3 h 00 S 0 2S 0 0 i000S +,y1 (x) =+ 3S S +9kxxà p = p(τ ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çaäà÷è(4.63)îïðåäåëåí ôîðìóëîé(4.63), (4.64).(4.65).Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, ôîðìóëû äëÿ ïîïðàâîêíàõîæäåíèÿ ôóíêöèéB2 , I1è`2τ = β(x)τ1 ,Îïåðàòîð nbâB2 , I1 , `2 .Äëÿèç (4.398), (4.399), (4.196) ïîëó÷àåìçàäà÷ó, ñîñòîÿùóþ èç óðàâíåíèé1 Z ∞∂B1020bRI1 =|τ1 − τ1 |(I0 + 2B0 B1 ) dτ1 + `1 I0 + 2S 0+ S 00 B1 ,2x −∞∂x(4.410)1 Z ∞b B2 =N|τ1 − τ10 |(I02 + 2B0 B1 ) dτ10 + `1 B1 +2x −∞Z1∞∂I1020+|τ1 − τ1 |(B1 + 2I0 I1 ) dτ1 + `2 B0 − 2S 0− S 00 I1 ,2x −∞∂x(4.411)à òàêæå óñëîâèÿ (4.227).
Çäåñü îïåðàòîðûbèNbRçàäàíû ôîðìóëàìè(4.405), (4.408), à àðãóìåíòû ó ôóíêöèé îïóùåíû â ñîîòâåòñòâèè ñçàìå÷àíèåì 4.26.Ïîòðåáóåì òàêæå, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå (4.228). Òîãäàóðàâíåíèÿ (4.410), (4.411), (4.227), (4.228) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòêàêI1 ,òàê èB2 .Ñïðàâåäëèâà415Ëåììà 4.56.Ôóíêöèÿ I1 èìååò âèä(4.229),ãäåS 0 00 S 0 0 i2 2πxS 0 2 n 1 h 00 S 0 3000S ++ 3S S +S ++ψ(x) =9k3xxx1 h 0 00 S 0 2S 0 0 i0 o0 200+ x S S ++ 3(S ) S +,xxxà z = z(τ ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (4.77), (4.80). Îïåðàòîð rb â(4.77) îïðåäåëåí ôîðìóëîé (4.78).`2Äëÿ íàõîæäåíèÿâîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì (4.227).
 ñèëó(4.55) ïîëó÷àåì4 S 0 2/3 y12 u`2 (x) = −.3 k(2πx)1/3Çäåñü êîíñòàíòàu(4.412)çàäàíà ôîðìóëîé (4.99).ÑïðàâåäëèâàËåììà 4.57.Ôóíêöèÿ B2 ïðåäñòàâèìà â âèäå(4.82),ãäå√T2 (x, τ1 ) = y12 t2,1 (τ )/y + 2S 0 ψ 0 2πx t2,2 (τ ).Çäåñü τ = β(x)τ1 , à t2,1 (τ ) è t2,2 (τ ) ðåøåíèÿ çàäà÷(4.94), (4.95).3.4.Îïåðàòîð nbâ(4.92), (4.94)(4.92), (4.93)çàäàí ôîðìóëîéÀñèìïòîòèêà â îêðåñòíîñòè òî÷åêxe− , xe+ .è(4.65).ÌîäåëüíîåóðàâíåíèåÏîñòðîèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (0.65) â îêðåñò-xe− , à òî÷íåå íà èíòåðâàëå |x − xe− | < 2ε.c > 0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà, à òî÷êà xe−íîñòè ëåâîé òî÷êè ïîâîðîòàÇäåñüε = ch26/57 ,ãäåóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (4.384). Ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå1/6 2 ∂G−g = g− (x, y) + O h−1/6+1/57+O hξ∂ξ1 G− −1/6+1/57+O hln+h (1 + |ξ|)1 ∂G− 1 ∂G− −1/18+20/171+O hln ξ,lnh ∂ξh ∂ξ416ãäåg− (x, y) =àξèηñòàíòà2/3Ω−p√2πex− G− (ξ, η)/ h,çàäàíû ôîðìóëîé (4.232).
ÔóíêöèÿΩ− ,G− (ξ, η),(4.413)à òàêæå êîí-îïðåäåëÿþòñÿ â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòèêè. Äëÿóïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé íå áóäåì ÿâíî óêàçûâàòü çàâèñèìîñòüïàðàìåòðàg−îòh.Ðàçëîæèì ÿäðî èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà â (4.389) ïðèx→xe− .Äëÿ ýòîãî íàì íåîáõîäèìà áîëåå òî÷íàÿ, ÷åì (3.15), àñèìïòîòèêàK(κ)ïðèκ → 1.Ëåììà 4.58.Ïóñòü b = κ2 . Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî11ln 2 3dK(κ)=+ ln(1−b)−+ +O (1−b) ln(1−b) ,db2(1 − b) 828b → 1.(4.414)Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó (3.15), ðàçëîæåíèé [85]πb2K(κ) =1 + + O(b ) ,24πb2E(κ) =1 − + O(b ) ,24b → 0,à òàêæå ñîîòíîøåíèÿ Ëåæàíäðà [4]K(κ)E(κ0 ) + K(κ0 )E(κ) − K(κ)K(κ0 ) = π/2,ãäåκ0 =√1 − κ2 ,ïîëó÷àåì11E(κ) = 1 − (1 − b) ln(1 − b) + ln 2 − (1 − b)+44+O (1 − b)2 ln(1 − b) ,b → 1.(4.415)Äàëåå, ïîäñòàâëÿÿ (4.415), (3.15) â (4.388), íàõîäèìdK(κ)11ln 2 3=+ ln(1 − b) −+ + O (1 − b) ln(1 − b) , b → 1.db2(1 − b) 828Ëåììà äîêàçàíà.417Ââåäåì ôóíêöèþh 1 2pxe− x0 21 1def0F− (x , xe− ) =−−Eπ (x0 − xe− ) 2ex−xe− + x0xe− + x0 2pxe− x0 i1−K.2ex− (ex− + x0 )xe− + x0Îíà èìååò ëîãàðèôìè÷åñêóþ îñîáåííîñòü ïðèx0 → xe− :00F− (x , xe− ) = O ln |x − xe− | + 1 .Ëåììà 4.59.(4.416)(4.417)Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî 2√xx0 2pxe− x0 222K=K−×π(x + x0 )x + x0π(ex− + x0 )xe− + x0π(ex− + x0 ) x − x0 x − x0 e− )2 (x − x0ln× ln +(x−xe)F(x,xe)++−−−xe− − x0π (ex− + x0 )2xe− − x0 (x − x e− )20 0 +O1 + ln |x − x | + ln |ex− − x | , x → xe− .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
