Диссертация (1136178), страница 50
Текст из файла (страница 50)
 ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, ò. å. â êîêàñàòåëüíîìíà R+ × R, ôðîíòîì îñöèëëÿöèé ýòèõ ôóíêöèé ñëóæèòïîäìíîãîîáðàçèå ïëîñêèé äèñê D (0.61).ïðÿìîéðàññëîåíèèèçîòðîïíîå4333.7.Ãëàâíîå ïðèáëèæåíèå ê ôàçåÏîñòðîèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ ãëàâíîãî ïðèáëèæåíèÿ ê ôàçå. Ýòà çàäà÷à âîçíèêàåò ïðè íàõîæäåíèè ãëàâíîãîïðèáëèæåíèÿ äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êîãäà âçàäà÷å äëÿ ôàçû, à òàêæå â ïðàâèëå êâàíòîâàíèÿ (4.301) ìîæíî îòáðîñèòü ðÿä ïîïðàâîê.
Îíà ïðîùå, ÷åì çàäà÷à äëÿ ôàçû. Èç íååïîìèìî ãëàâíîãî ïðèáëèæåíèÿ ê ôàçå ÂÊÁ-ðàçëîæåíèÿ íàõîäÿòñÿòàêæå ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ êîíñòàíòk, xe− , xe+ .Ïîëó÷èì çàäà÷ó äëÿ ãëàâíîãî ïðèáëèæåíèÿ ê ôàçå. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ (4.432), (4.437) (4.440), (4.447) (çàäà÷à äëÿ ôàçû).Èç (4.439), (4.440) âûòåêàåò, ÷òî èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (4.310).Ïîñêîëüêó äëÿ çàäàííîé ôîðìóëîé (4.253) ôóíêöèèH(ξ)ñïðàâåä-ëèâû ðàâåíñòâà (4.311), òî èç (4.437), (4.438) ïîëó÷àåì:1/3U (ex− ) + 2hn1/3−h√2/3k− e−Ω− e ε ln−2 +8ex−xe+ −ε 2pxe− x0 k dx01+K+x− + x0 )xe− + x0 2S 0 (x0 , h)xe− +ε π(e 2pxe+ xe− 2/3e √ o12ex+2/31/3KΩ+ k+ e+ = O h ln , (4.449)+hxe+ + xe−xe+ + xe−hn 2pxe− xe+ 2/3e √2ex−1/31/3U (ex+ ) + 2hhKΩ− k− e− +xe+ + xe−xe− + xe+Z xe+ −ε 2pxe+ x0 k dx01+K−x+ + x0 )xe+ + x0 2S 0 (x0 , h)xe− +ε π(e ε o12/31/3 2/3 e √−2= O h ln .−h Ω+ k+ e+ ln(4.450)8ex+hZe± , ek±h26/57 , h → 0.Çäåñüîïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (4.257), (4.427), (4.428),ε =434Äàëåå, òàê êàê â ñèëó (4.253), (4.254) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî(4.314), òî óñëîâèå íîðìèðîâêè (4.432) ïðèíèìàåò âèä1/3h2/3x− [A−1 (ek− )Ω− 2πe√+ek− e− ] +Zxe+ −εxe− +ε1/3+h2/3x+ [A−1 (ek+ )Ω+ 2πek dx0+2S 0 (x0 , h)1√1/3+2/19e+ k+ e+ ] = 1 + O hln , h → 0.h(4.451)Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, óðàâíåíèå (4.447).Ëåììà 4.64.ñòâàZΩ−Ïðè h → 0, x ∈ (ex− + ε, xe+ − ε) èìåþò ìåñòî ðàâåí-xe− +ε√xe− +h2/3 / 3 Ω−√√2ex− 2 xx0 e (x0 − xe− ) 3 Ω− 0dx +Kk− Hx + x0x + x0h2/3pn 2pxe2/3 2/3x− 2/3x− 4exhΩh2/3 4ex− 2 xe−−e+Ω− D−1 (k− ) =K×Kx+xe−x+xe−x+xe−x+xe−Z e− dξ 0 oekξ 0 h2/3√−ee√×[A−1 (k− ) + k− e− ] −ln 1 −√ +32 0(x − xe− ) Ω− ξ 012/3+2/19e− | | ,(4.452)+O hln 1 + | ln |x − xh√√Z xe+ −h2/3 / √3Ω+2ex+ 2 xx0 e (ex+ − x0 ) 3 Ω+ 0Ω+Kdx +k+ Hx + x0x + x0h2/3xe+ −εpn 2pxe2/3 2/3x+ 2/3x+ h2/3 4ex+ 2 xe4exhΩ++e+KΩ+ D−1 (k+ ) =K×x+xe+x+xe+x+xe+x+xe+Z e+ dξ 0 oekξ 0 h2/3√+ee√×[A−1 (k+ ) + k+ e+ ] −ln 1 −√ +32 0(ex+ − x) Ω+ ξ 012/3+2/19+O hln (1 + | ln |x − xe+ | |) ,(4.453)hk 2/3h8/9h8/98/9h ρ=O+O.(4.454)(2πxS 0 )2/3(x − xe− )1/3(ex+ − x)1/3Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçîâàâøèñü (4.441), (4.314), à òàêæå ñîîòíîøåíèåì (4.316), ïðèõîäèì ê (4.452). Àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿ435(4.453). Òàê êàê ïðèx→xe± , S 0 (x, h) ∼pU 0 (x± )(x − xe± ), òî îöåíêà(4.454) òàêæå ñïðàâåäëèâà. Ëåììà äîêàçàíà. ñèëó (4.452) (4.454) óðàâíåíèå (4.447) ïðèíèìàåò âèä−(S 0 )2 + U (x) + h1/3Zxe+ −εxe− +ε 2√xx0 k dx01K+π(x + x0 )x + x0 S 0 (x0 , h)p2/3x− x− n 2 xeh2/3 Ω− 4e√K[A−1 (ek− ) + ek− e− ]−+x+xe−x+xe−Z dξ 0 oek− e− ξ 0 h2/3√−ln 1 −√ +2 0(x − xe− ) 3 Ω− ξ 0p2/3x+ x+ n 2 xeh2/3 Ω+ 4e√+K[A−1 (ek+ ) + ek+ e+ ]−x+xe+x+xe+Z dξ 0 oeξ 0 h2/3k+ e+ √ln 1 −− √ 0 = R∗ ,32 0(ex+ − x) Ω+ ξ(4.455)ãäå∗2/3+2/19R =O h1ln 1 + | ln |x − xe− | | + | ln |x − xe+ | | +hh8/9h8/9+O.+O(x − xe− )1/3(ex+ − x)1/3e± , ek± îïðåäåëåíû(ex− + ε, xe+ − ε).Çäåñü(4.257), (4.427), (4.428),(4.456)ε = h26/57 , x ∈Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíà çàäà÷à äëÿ ãëàâíîãî ïðèáëèæåíèÿ êôàçå.
Îíà ñîñòîèò èç óðàâíåíèé (4.449) (4.451), (4.455), ãäåΩ±çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (4.310).Ïåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è äëÿãëàâíîãî ïðèáëèæåíèÿ ê ôàçå. Òî÷íîñòü àñèìïòîòèêè ñîîòâåòñòâóåòòî÷íîñòè, ñ êîòîðîé ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ (4.449) (4.451), (4.455).Íî ïðåæäå ââåäåì ðÿä ôóíêöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿðàçëîæåíèé, è èçó÷èì èõ ñâîéñòâà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñðåäèýòèõ ôóíêöèé èìåþòñÿ íåãëàäêèå (Ω(x) íå äèôôåðåíöèðóåìà ïðèx=xe± ),÷òî ïðèâîäèò ê âåñüìà íåñòàíäàðòíûì àñèìïòîòèêàì.436Ïóñòük0îïðåäåëåíî (4.322), àdefΩ(x) =Zx+x−Ëåììà 4.65. 2√xx0 dx01pK.π(x + x0 )x + x0U (x0 )(4.457)Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà√x− − xθ(x− − x) + (x − x− )Φ− +Ω(x) = Ω(x− ) − px− U 0 (x− )U 00 (x− )1+ 2p(x− − x)3/2 θ(x− − x)+03/2012x− (U (x− ))3x− U (x− )+O (x − x− )2 , x → x− ,(4.458)√x − x+Ω(x) = Ω(x+ ) − pθ(x − x+ ) + (x+ − x)Φ+ +x+ −U 0 (x+ )U 00 (x+ )1+ −+ 2p(x − x+ )3/2 θ(x − x+ )+03/2012x+ (−U (x+ ))3x+ −U (x+ )+O (x+ − x)2 ,x → x+ ,(4.459)+ −ãäå1 h ∗Φ− =Φ −2πx− −Z1 h ∗Φ+ =Φ −2πx+ +Zx+x−x+x−i 1dx0p+2(x0 + x− ) U (x0 )Zi 1dx0p+2(x0 + x+ ) U (x0 )Zx+x−x+x−F− (x0 , x− )dx0p,U (x0 )F+ (x0 , x+ )dx0p.U (x0 )ÇäåñüΦ∗−Z∞=x−x+ θ(x − x0 )11+p−pdx0 ,0000(x − x− )U (x )U (x− )(x − x− ) θ(x0 − x )11−p−pdx0 ,=0)000(x−xU (x )U (x+ )(x − x+ )+−∞√2 h 1 1 2 x+ x0 1 0F+ (x , x− ) =E−+π x+ − x0 2x+x+ + x0x+ + x0Φ∗+Z437 2√x x0 i1+K,+2x+ (x+ + x0 )x+ + x0à ôóíêöèè θ, F− çàäàþòñÿ(4.105), (4.416).Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó (4.418)1Ω(x) = Ω(x− ) −2πx−x+ZZx+x− x − x0 dx0(x − x− )p+×ln x− − x02U (x0 )x+ x − x0 dx0(x0 − x− )F− (x , x− ) p+ln +p00x− − xU (x0 )U (x0 )x− 2πx− (x− + x )Z x+ x − x0 dx01+(x − x− )ln +p020x− − xU (x0 )x− π(x− + x )0×x−dx0Z+O((x − x− )2 ),x → x− .(4.460)Èçó÷èì âõîäÿùèå â (4.460) èíòåãðàëû. Òàê êàê√ x − x0 dx02π x− − x= pθ(x− − x) − (x − x− )Φ∗− +ln p000x− − xU (x )U (x− )x+Zx−π U 00 (x− )+(x− −x)3/2 θ(x− −x)+O((x−x− )2 ),03/26 (U (x− ))x → x− ,(4.461)òî, èìååìZ√ x − x0 dx01x− − xppln=θ(x− − x)+π(x− + x0 )2x− − x0U (x0 ) 2x2− U 0 (x− )x+x−+O(x− − x),x → x− .(4.462)Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà (4.334), (4.335), ïîëó÷àåì:Zx+x−Zx+×x− x − x0 dx0(x0 − x− )(x − x− )pln=−×2πx− (x− + x0 )x− − x02πx−U (x0 )dx01p− 2p(x− − x)3/2 θ(x− − x)+000(x− + x ) U (x ) 6x− U (x− )+O((x − x− )2 ),x → x− .(4.463)438Ðàâåíñòâî (4.458) âûòåêàåò èç (4.460) (4.463).
Ñîîòíîøåíèå (4.459)ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ëåììà äîêàçàíà.ÎïðåäåëèìdefW0 (x, h) = U (x) + h1/3 k0 Ω(x)+√n √x − xox − x+−1/3p+h k0θ(x− − x) + pθ(x − x+ ) +x− U 0 (x− )x+ −U 0 (x+ )nU 00 (x− )11/3p+h k0−(x− − x)3/2 θ(x− − x)+12x− (U 0 (x− ))3/2 3x2− U 0 (x− )o1U 00 (x+ )3/2p+−(x − x+ ) θ(x − x+ ) ,12x+ (−U 0 (x+ ))3/2 3x2+ −U 0 (x+ )k0 , Ω(x) çàäàþòñÿ ðàâåíñòâàìè (4.322), (4.457).
Ïóñòü z− , z+ ,z− ∼ x− , z+ ∼ x+ òå òî÷êè, â êîòîðûõ W0 (z± , h) = 0. Òîãäà äëÿ z− ,z+ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ (4.327), (4.328), ãäåãäåx−,1 = −k0 Ω(x− )/U 0 (x− ),x+,1 = k0 Ω(x+ )/U 0 (x+ ).Èç ëåììû 4.65. âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿöèðóåìà â òî÷êàõx− , x+ .W0äâàæäû äèôôåðåí-Îíà èìååò ñëåäóþùèå àñèìïòîòèêè:W0 (x, h) = W00 (z− , h)(x − z− ) + W000 (z− , h)(x − z− )2 /2++O (x − z− )3 ,x → z− ,W0 (x, h) = −W00 (z+ , h)(z+ − x) + W000 (z+ , h)(z+ − x)2 /2++O (z+ − x)3 , x → z+ .ÇäåñüW00 (z− , h) = U 0 (x− ) + h1/3 k0 Φ− + h1/3 x−,1 U 00 (x− ) + O(h2/3 ),W000 (z− , h) = U 00 (x− ) + O(h1/3 ),W00 (z+ , h) = U 0 (x+ ) − h1/3 k0 Φ+ − h1/3 x+,1 U 00 (x+ ) + O(h2/3 ),439W000 (z+ , h) = U 00 (x+ ) + O(h1/3 ),ïàðàìåòðh → 0.Íàêîíåö, îïðåäåëèì2/3def0b− = U (x− )2πx− A−1k04/32πx− U 0 (x− )2/3def0b+ = − U (x+ )2πx+ A−1,k0(4.464)(4.465)4/3 ,2πx+ − U 0 (x+ )−1 Z z+dxdef1/3p,k1 = 2(1 − h [b− + b+ ])W0 (x, h)z−Z z+ 2√xx0 1dx0defpW1 (x, h) = U (x) + h1/3 k1K+0x + x0W0 (x0 , h)z− π(x + x ) 2√xz 2√xz i2h2/3 h b−b+−++K+K.π x + z−x + z−x + z+x + z+Àíàëîãè÷íî òåîðåìå 4.10.
äîêàçûâàåòñÿÒåîðåìà 4.16.Ôóíêöèÿ(4.358),à òàêæå êîíñòàíòûþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷èÀ èìåííî, çàäàííûå ôîðìóëàìè(4.359)ÿâëÿ-(4.449) (4.451), (4.455).(4.358), (4.359)êîíñòàíòû k , xe± óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþôóíêöèÿ S 0 (x, h) è(4.455)ñ òî÷íîñòüþR∗ , ãäå R∗ èìååò âèä (4.456), óñëîâèþ íîðìèðîâêè (4.451) ñ òî÷íîñòüþ O(h1/3+2/19 ln 1/h), à òàêæå ñîîòíîøåíèÿì (4.449), (4.450) ñòî÷íîñòüþ O(h2/3 ln 1/h).3.8.Àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. ÃëàâíîåïðèáëèæåíèåÏîëó÷èì, íàêîíåö, óðàâíåíèå, èç êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿïðèn→∞λn (h) = O(1) c òî÷íîñòüþ O(n−7/10 )(ãëàâíîå ïðèáëèæåíèå). Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ òàêîé òî÷-íîñòüþ, òî â ïðàâèëå êâàíòîâàíèÿ (4.301) ôóíêöèþìåíèòü åå àñèìïòîòèêîé ïðèξ → +∞ (S0,0ìîæíî çà-ñì.
ôîðìóëó (4.364)). Òîãäàñ ó÷åòîì (4.310) ïðàâèëî (4.301) ïðèìåò âèä (4.365).  (4.365) ôóíê-440S 0 (x, h), à òàêæå êîíñòàíòû k , xe− , xe+ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è26/57(4.449) (4.451), (4.455); ε = h.öèÿÄàëåå ïîäñòàâèì ôîðìóëû (4.358), (4.359) â (4.365) è ðàçëîæèìh1/3 . Àíàëîãè÷íî 2 ïðèõîäèìλn (h). Çäåñü n öåëûå,ïîëó÷èâøååñÿ âûðàæåíèå ïî ñòåïåíÿìê óðàâíåíèþ (0.69) äëÿ íàõîæäåíèÿ∞n θ(x − x )θ(x − x)θ(x − x− )Ω(x− )−+P1 =Ω(x) −−3/23/203/2−∞U (x)U (x− )(x − x− )Zoθ(x+ − x)Ω(x+ )dx,−3/2− U 0 (x+ )(x+ − x)3/2(4.466)∞n θ(x − x )θ(x − x)θ(x − x− )Ω(x− )−+P2 =Ω(x)Ω(x) −−3/23/203/2−∞U (x)U (x− )(x − x− )oθ(x+ − x)Ω(x+ )−dx,(4.467)3/2− U 0 (x+ )(x+ − x)3/2Z ∞nθ(x − x− )θ(x+ − x) 2θ(x − x− )Ω2 (x− )P3 =Ω (x) −−3/23/203/2−∞U (x)U (x− )(x − x− )oθ(x+ − x)Ω2 (x+ )dx,(4.468)−3/2− U 0 (x+ )(x+ − x)3/2Z 2√xx 1 x+1 n2 h b−−pP =− k0 (b− + b+ )Ω(x) +K+2 x−π x + x−x + x−U (x) 2√xx iob+++Kdx;(4.469)x + x+x + x+ZU (x), k0 , Ω(x), θ(x), b− , b+çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (0.55), (4.322),(4.457), (4.105), (4.464), (4.465).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
