Диссертация (1136178), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Íàêîíåö, ïî ñîîáðàæåíèÿìñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòèóñëîâèåì∞Z ∞Zz = 0,äîïîëíèì (4.380), (4.381)z 0 p2 (ρ0 , z 0 ) dz 0 dρ0 = 0.(4.382)−∞0Λ = λε−ωα , m = M ε−ν , ãäå M óäîâëåòâîðÿåò (4.379), à0 < c2 ≤ λ(ε) ≤ c3 . Çäåñü c2 , c3 íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Òîãäà ïîñëåÏóñòüçàìåíû (0.64) çàäà÷à (4.380) (4.382) ïðèíèìàåò âèä (0.65), (0.66),(0.68), ãäå ÿäðîWçàäàåòñÿ ôîðìóëîé (0.67),èíòåãðàëîì â (0.65) ñòîèò ìàëûé ïàðàìåòðh → 0.h1/3 ,Òàê êàê ïåðåäòî íåëèíåéíîñòü â(0.65) äîñòàòî÷íî ñëàáàÿ.Ââåäåì ôóíêöèþòî ôóíêöèÿV (x)defV (x) = M 2 /x2 +axα . Ïîñêîëüêó a > 0, α > 0,èìååò åäèíñòâåííóþ òî÷êó ìèíèìóìàx0 = 2M 2 1/(α+2)αa.λ > V (x0 ).
Òîãäà ó ôóíêöèè (0.55) èìååòñÿ ðîâíî äâåòî÷êè x− , x+ , x− < x+ , ãäå U (x± ) = 0, ïðè÷åì U (x) > 0 ïðè x ∈(x− , x+ ), U (x) < 0 ïðè 0 < x < x− , x > x+ . Òàêèì îáðàçîì, −U (x)Ïóñòü íèæåÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ÿìîé.Àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (0.65) áóäåì ñòðîèòü ñëåäóÿ îáùåé èäåîëîãèè ñîãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèéxe− , xe+ òî÷êèòî÷åê x− , x+ . Â[27]. Ïóñòüïîâîðîòà, ðàñïîëîæåííûå, ñîîòâåòñòâåí-íî, îêîëîîáëàñòè ìåæäó òî÷êàìèxe− , xe+äëÿ íà-õîæäåíèÿ àñèìïòîòèêè èñïîëüçóåòñÿ âàðèàíò ìåòîäà ÂÊÁ. Âáëèçèæå îò òî÷åê(ex− , 0), (ex+ , 0) àñèìïòîòèêà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðåøåíèÿìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ.404Íèæå, çàôèêñèðîâàâM,äëÿ íàõîæäåíèÿ äèñêðåòíîé ñåðèèàñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé çàäà÷è (0.65), (0.66), (0.68)λ = λn (h)áóäåò çàïèñàí àíàëîã ïðàâèëà êâàíòîâàíèÿ òèïà ÁîðàÇîììåðôåëüäà (ñì.
(4.301)).  ýòî ïðàâèëî âîéäåò îïðåäåëÿþùàÿôàçó ÂÊÁ-ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèÿS(x, h),çàäà÷à äëÿ êîòîðîé èìååòäîñòàòî÷íî ñëîæíûé âèä (ñì. (4.432), (4.437) (4.440), (4.447)).λn (h) = O(1)n èìååò ïîðÿäîê h−1 (Îãðàíè÷èìñÿ íàõîæäåíèåìO(n−7/10 )ïðèh → 0,ãäåëèøü ñ òî÷íîñòüþãëàâíîå ïðèáëèæå-íèå). Òîãäà ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ (4.301) óïðîñòèòñÿ è ïðèâåäåò êáîëåå ïðîñòîìó óðàâíåíèþ (0.69) äëÿ ÷èñåëλ = λn (h).Íåèçâåñòíîåλ âõîäèò â ýòî óðàâíåíèå ÷åðåç çàäàííóþ ôîðìóëîé (0.55) ôóíêöèþU è ÷åðåç òî÷êè x± , â êîòîðûõ U (x± ) = 0.Âû÷èñëåíèÿ äàííîãî ïàðàãðàôà ñóùåñòâåííî îïèðàþòñÿ íà ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõ 1 è 2 ÷åòâåðòîé ãëàâû.
Óðàâíåíèå (0.69)ñîäåðæèò íåãëàäêóþ ôóíêöèþΩ(x)è âûâîä ïðàâèëà êâàíòîâàíèÿ(0.69) òðåáóåò î÷åíü ñêðóïóëåçíûõ îöåíîê. Ïî ñðàâíåíèþ ñ äâóìåðíûì ñëó÷àåì. ðàññìîòðåíûì â 2, èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð â òðåõìåðíîé çàäà÷å îáëàäàåò áîëåå ñëîæíûì ÿäðîì è ýòî òðåáóåò ìîäèôèêàöèè è óòî÷íåíèÿ âñåõ ïîñòðîåíèé èç 2.3.2.ÂÊÁ-àñèìïòîòèêà. Óðàâíåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû èôàçûÁóäåì ñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿg = g(x, y)â âèäåτ1 , Φ(x, τ1 , h) çàäàíû ôîðìóëàìè (4.177). Ôóíêöèè S , T ,ϕ â (4.176), (4.177) ãëàäêèå, âåùåñòâåííûå; ïðè τ1 → ±∞ ôóíêöèÿ Týêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à ϕ èìååò ñòåïåííîé ðîñò.
Äëÿ óïðîùåíèÿîáîçíà÷åíèé íå áóäåì ÿâíî óêàçûâàòü çàâèñèìîñòü g îò ïàðàìåòðà h.(4.176), ãäåÔîðìóëû (4.176), (4.177) ñïðàâåäëèâû ïðèxe− + ε < x < xe+ − ε.(4.383)405Çäåñü òî÷êèxe± ∼ x±U (ex± ) + h1/3∞Z0îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿZ 2pxe± x0 ∞ 2 0 02Kg (x , y ) dy 0 dx0 =00π(ex± + x )xe± + x−∞= O(h1+1/57 ln 1/h),ε = ch26/57 ,ãäåc>0h → 0;(4.384) ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.Äàëåå ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ àìïëèòóäûTè ôóíêöèéSèϕ, çàäàþùèõ ôàçó (4.176). Ïîñêîëüêó ïîñòðîåíèå ÂÊÁ-àñèìïòîòèêèäëÿ (0.65) àíàëîãè÷íî 1 è 2 ãëàâû 4, ìåòîä ÂÊÁ áóäåò èçëîæåíêðàòêî.Òàê êàê ðåøåíèÿ0,gïîmod O(h∞ )ðàçëîæèì çàäàííîå ñîîòíîøåíèåì (0.67) ÿäðîñòåïåíÿìy =W (x, x0 , y, y 0 ) ïîëîêàëèçîâàíû âáëèçèy − y0.Ëåììà 4.50.Ïðè y − y 0 → 0 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî 2√xx0 1(y − y 0 )2 200K−ln 1 ++W (x, x , y, y ) =π(x + x0 )x + x0π(x + x0 )(x − x0 )2+O (y − y 0 )2(x + x0 )3 0 1 + ln |x − x | .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ÷åñêóþ îñîáåííîñòü ïðèWκ→1K(κ)(4.385)èìååò ëîãàðèôìè-( ñì. (3.15)), òî íåïîñðåäñòâåííî êôîðìóëà Òåéëîðà íå ïðèìåíèìà. Ïîýòîìó ïðåäñòàâèìih 2√xx0 200W (x, x , y, y ) =K+ δK +π(x + x0 )x + x0 2√xx0 +OK,(x + x0 )3x + x0 (y − y 0 )2ãäå√2 xx0(4.386) 2√xx0 δK = K p−K.x + x0(y − y 0 )2 + (x + x0 )2406Äëÿ äàëüíåéøåãî ðàçëîæåíèÿδKâîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì[4]dK11=E − K,db2b(1 − b)2bãäåb = κ2 ,àE(κ)(4.387) ïîëíûé ýëëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà.Ó÷èòûâàÿ àñèìïòîòèêóE(κ) = 1 + O (1 − κ2 ) ln(1 − κ2 ) , κ → 1,àòàêæå (3.15), èìååìZδK =4xx0 /[(y−y 0 )2 +(x+x0 )2 ] n4xx0 /(x+x0 )2√√ o11E( b) − K( b) db =2b(1 − b)2b (y − y 0 )2 1 (y − y 0 )2 0 = − ln 1 ++O1 + ln |x − x | .2(x − x0 )2(x + x0 )2(4.388)Îñòàåòñÿ ïîäñòàâèòü (4.388) â (4.386).
Ïðèõîäèì ê ôîðìóëå (4.385).Ëåììà äîêàçàíà. ñèëó (0.65), (4.385), à òàêæå ðàâåíñòâàO(y 2 xα−2 ), y → 0,h2(x2 + y 2 )α/2 = xα +ïîëó÷àåì∂ 2g n+ 2 + U (x) + h1/32∂x∂y ∂ 2gZ0∞ 2√xx0 2K×π(x + x0 )x + x0Z ∞ (y − y 0 )2 12 0 0001/3×ln 1 +×g (x , y ) dy dx − hπ(x + x0 ) −∞(x − x0 )2−∞0 h2 2 0 000×g (x , y ) dy dx + O 2 + O(y 2 xα−2 )+xZZo∞∞(y − y 0 )21/30 2 0 000+O h1 + ln |x − x | g (x , y )dy dx g = 0.0 30−∞ (x + x )Z∞Z∞(4.389)ÇäåñüU (x)çàäàíî (0.55).
Ïîäñòàâèì çàòåì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøå-íèå (4.176), (4.177) â óðàâíåíèå (4.389).  ðåçóëüòàòå, áóäóò ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà (4.178), (4.179).χ = χ(ξ) ∈ C ∞ (R1 ) íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, òàêàÿ÷òî χ(ξ) ≡ 1 ïðè ξ < 1/2, χ(ξ) ≡ 0 ïðè ξ > 1. Îïðåäåëèì ôóíêöèèχ− , χ+ ñîãëàñíî (4.180). Òàê êàê ε ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíóþ êîíñòàíòó c, ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå (4.176) áóäåò ñïðàâåäëèâî è â áîëåå øèðîÏóñòü407x ∈ (ex− + ε/2, xe+ − ε/2). Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òîxe+ òî÷íîå ðåøåíèå g èçâåñòíî, ïîëó÷àåì:êîé, ÷åì (4.383), îáëàñòèâáëèçè òî÷åêh1/3xe− ,∞nZ0 2√xx0 Z ∞2Kg 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 −00π(x + x )x+x−∞Z ∞ o(y − y 0 )2 2 0 0100ln 1 +g (x , y ) dy dx T (x, τ1 , h) =−π(x + x0 ) −∞(x − x0 )20Z xe+ −ε/2n 2√xx0 1= h1/3 j− (x, h) +K1 − χ− (x0 , ε)−00x+xxe− +ε/2 π(x + x )Z ∞o02 0 000−χ+ (x , ε)T (x , τ1 , h) dτ1 dx + j+ (x, h) T (x, τ1 , h)−Z∞−∞h8/9−2xÇäåñüZ∞−∞|τ1 − τ10 |T 2 (x, τ10 , h) dτ10 T (x, τ1 , h) + r.(4.390)x ∈ (ex− + ε, xe+ − ε),Z ∞ 2√xx0 2Kχ− (x0 , ε)g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 ,00π(x + x )x+x−∞0(4.391)√ Z ∞Z ∞022 xxdefj+ (x, h) =Kχ+ (x0 , ε)g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 ,00x+xxe+ −ε π(x + x )−∞defj− (x, h) =Zxe− +ε(4.392)à îñòàòî÷íûé ÷ëåí13/9Zräîïóñêàåò îöåíêó∞r=O hv.p.−∞∞(τ1 − τ10 )2 h001−χ(x,ε)−χ(x,ε)×−+0 2−∞ (x − x )ZiT 2 (x0 , τ10 , h)1 2000×− T (x, τ1 , h) dx dτ1 T (x, τ1 , h) + +O h1/3 ×0x+x2xZ xe− +εZ ∞1(y − y 0 )202 0 000×χ (x , ε)g (x , y ) dy dx T (x, τ1 , h) +0)0 )2 −(x+x(x−x0−∞ZZ ∞∞1(y − y 0 )21/3+O hχ+ (x0 , ε)g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 ×002xe+ −ε (x + x ) −∞ (x − x )Z xe+ −ε/2 Z ∞h 2√xx0 1×T (x, τ1 , h) + O h1/32K−0x + x0xe− +ε/2−∞ (x + x )408 2 0 0− τ10 )2 i001−χ(x,ε)−χ(x,ε)T (x , τ1 , h)×−+(x − x0 )20 000× cos 2Φ(x , τ1 , h) dτ1 dx T (x, τ1 , h) .(4.393)10/3 (τ1− ln 1 + hÍàêîíåö, ïîäñòàâëÿÿ (4.178), (4.179), (4.390) â (4.389), èìååìÏðè x ∈ (ex− + ε, xe+ − ε) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîËåììà 4.51.
∂ϕ 2 ih210/90 ∂ϕ10/90 28/9 ∂ T+ 2h T S+h Tcos Φ−− (S ) T − h∂τ12∂x∂τ1ih ∂T ∂ϕ∂T 0∂ 2ϕ00+ T 2 + 2 S + T S sin Φ+−h 2∂τ1 ∂τ1∂τ1∂xZ xe+ −ε/2nh 2√xx0 1+ U + h1/3 j− +1 − χ− (x0 , ε)−K00x+xxe− +ε/2 π(x + x )Z ∞i02 0 000−χ+ (x , ε)T (x , τ1 , h) dτ1 dx + j+ −−∞h8/9−2xZ∞|τ1 −−∞τ10 |T 2 (x, τ10 , h) dτ10oT cos Φ + r∗ = 0,(4.394)ãäå2T19/9 ∂T ∂ϕ19/9 ∂ϕ+O h+O h T 2 +r =O h∂x2∂x ∂x∂x∗20/9+O hZ×T2−∞×T (x02 ∂ϕ 2 xe+ −ε/2 Z ∞xe− +ε/22∂∂x+ O(r) +O(h10/9 τ12 T )2+ O(h T ) + O h13/9 ×τ12 +(τ10 )2 1+ ln |x−x0 | 1−χ− (x0 , ε)−χ+ (x0 , ε) ×, τ10 , h) dτ10 dx0 T (x, τ1 , h)+O h1/3Z0xe− +ε Z ∞(y − y 0 )2 ×−∞0 02 0 000× 1 + ln |x − x | χ− (x , ε)g (x , y ) dy dx T (x, τ1 , h) +Z ∞ Z ∞(y − y 0 )2 ×+O h1/3xe+ −ε−∞0020000× 1 + ln |x − x | χ+ (x , ε)g (x , y ) dy dx T (x, τ1 , h) .(4.395)409Ïðèðàâíÿåì â (4.394) ê íóëþ âûðàæåíèå ïåðåäsin Φ.
Ïîëó÷àåì|τ1 | → ∞ ôóíêöèÿ Týêñïîíåíöèàëü-óðàâíåíèå (4.187). Òàê êàê ïðèíî óáûâàåò, àϕèìååò ëèøü ñòåïåíîé ðîñò, òî óñëîâèåì ðàçðåøèìî-ñòè (4.187) áóäåò ðàâåíñòâî (4.188), ãäåk êîíñòàíòà.Îáðàòèì, äàëåå, â (4.394) â íóëü âûðàæåíèå ïåðåäT (x, τ1 , h)èL(x, h)cos Φ. Ïóñòüóäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþZ ∞∂ 2T 10200−|τ1 − τ1 |T (x, τ1 , h) dτ1 + L T =∂τ122x −∞2/9=hh ∂ϕ 2∂τ1+ 2S0 ∂ϕ∂xiT,(4.396)à òàêæå óñëîâèþ (4.188). Òîãäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿîïðåäåëåíèÿS(x, h)(óðàâíåíèå äëÿ ôàçû)−(S 0 )2 + U (x) + h1/3hZxe+ −ε/2xe− +ε/20−χ+ (x , ε) 2√xx0 11 − χ− (x0 , ε)−K00π(x + x )x+xik0dx + j− (x, h) + j+ (x, h) + h8/9 L(x, h) = 0.00S (x , h)(4.397)Çäåñüj− , j+çàäàíû ôîðìóëàìè (4.391), (4.392),x ∈ (ex− + ε, xe+ − ε).ÄîêàçàíàÒåîðåìà 4.12.Ïóñòü ôóíêöèè S(x, h), T (x, τ1 , h), ϕ(x, τ1 , h),L(x, h) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (4.187), (4.188), (4.396), (4.397).Òîãäà ïðè x ∈ (ex− + ε, xe+ − ε) ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå (4.176), (4.177)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (0.65) ñ òî÷íîñòüþ r∗ , ãäå r∗ èìååòâèä (4.395).Äàëåå îïðåäåëèìcos-àìïëèòóäó è sin-àìïëèòóäó ñ ïîìîùüþ ñî-îòíîøåíèé (4.191), (4.192).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
