Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поскольку они менее энергетически выгодные, их заполнение начинается после того, как будут заполнены элек- 177 й бхбр, > —. 2 (4.22) В этом случае можно говорить о нахождении электрона в некоторой области пространства размером Бх, движущегося со скол ростью, неопределенность которой примерно равна . Тогда г бх' волновой вектор электрона также должен иметь некоторую неоп- 1 ределенность Ьй„= —.
Поскольку волновой функцией свободно2бх го электрона является плоская волна вида (4.15), то электрону, имеющему значения ох, согласно теории волн, будет соответствовать пакет волн: 178 тронные состояния в точке 1 на рис. 4 4, б. Считают, что точке разрыва функции ЕЯ) соответствует окончание заполнения электронных состояний, напоминающих х-состояния, и начинается заполнение электронных состояний, близких к р-состояниям.
Энергии этих состояний должны заметно различаться. Таким образом, как в модели сильной связи, так и в модели почти свободных электронов на шкале энергии электронов имеются участки разрешенных и запрещенных значений энергии, причем число электронных состояний в каждой разрешенной энергетической зоне кратно удвоенному числу атомов кристалла. В пространстве волновых векторов разрешенным значениям х отвечают точки„заполняющие, согласно (4.16), это пространство, как кубические кирпичики с ребром гл/Е.
Эти точки при больших размерах кристалла располагаются очень густо, поэтому при изучении электронных состояний дискретностью значений энергии пренебрегают: в частности, поверхность Ферми рассматривают как гладкую поверхность, функцию плотности электронных состояний считают гладкой, а не ступенчатой, и т.д. Динамика электронов в кристаллической решетке. Важным результатом квантовой теории является вывод, что учет поля периодического потенциала кристаллической решетки радикально не меняет картину движения электрона в кристалле по сравнению с его движением в свободном пространстве. Отметим, что при рассмотрении движения электронов в кристалле следует учитывать соотношение неопределенности, согласно которому Ч' =,) Аехр(й,г).
(4.23) Скорость распространения максимальной амплитуды пакета волн, называемая групповой скоростью, равна доз дЕ 1 дЕ О, ч' д11, др и дА-„ дц„т д (1 дЕ '1 1 бзЕ бх 1 бзЕ бр 1 бтЕ д1 д~~л д/с ) л б~(з д~ йг бьз д1 йг льг которое можно записать как до — ~т =Е. д1 (4.26) 179 Эта скорость характеризует как процесс перемещения пакета волн, так и области пространства, где вероятность встретить электрон будет наибольшей. Групповая скорость (см.
рис. 4.4) соответствует тангенсу наклона касательной, умноженному на величину Й, к графику зависимости Е(х„). На границе первой зоны Бриллюэна, где происходит образование стоячей волны и энергия не переносится волной, групповая скорость равна нулю, и график зависимости Е(1с„) в точке А= — имеет горизонтальную касательную. В а этом случае функция Е();) должна иметь хотя бы одну точку перегиба (см. рис. 4.4, б). Понятие групповой скорости можно обобщить и на трехмерное распределение электронных состояний: в трехмерном А-пространстве вектор групповой скорости задается как градиент функ- ЕЯ) ции, перпендикулярный поверхности Ферми. А Рассмотрим движение электрона как полуклассической частицы под действием внешней силы Е. Вычислим, как будет изменяться вектор групповой скорости 6 . Для этого нандем ее производную по времени (аналог ускорения в классической механике) для случая, когда векторы Р и й, направлены вдоль одной оси.
Проекции векторов Е и й„на зту ось определяются соотношением Формула (4.26) аналогична второму закону Ньютона, причем й2 т о2Е/дк2 (4.27) 180 Величину т* называют эффективной массой электрона. В ее значении косвенно учитывается воздействие периодического поля кристалла на закон изменения энергии электрона от его волнового вектора.
Таким образом, периодическое поле кристалла радикально не меняет картину движения электрона по сравнению с вакуумом, а изменяет лишь эффективную массу электрона. Эффективная масса электрона отличается от массы электрона и имеет, согласно (4.27), различные значения для разных волновых векторов электрона. При малых значениях х„(см. рис. 4.4, б) ее значение, задаваемое второй производной функции Е(к„), оказывается положительным, а при значениях /1„, близких к границе первой зоны Бриллюэна, — отрицательным. В последнем случае внешняя сила не ускоряет, а тормозит электрон.
Парадокса здесь нет, так как торможение связано с влиянием периодического поля кристалла на движение электрона, который ведет себя во внешних электромагнитных полях как частица с отрицательной массой или как положительно заряженная частица. Считают, что электрон обладает либо отрицательной массой, либо зарядом противоположного знака, что эквивалентно, поскольку ускорение частицы под действием внешнего электромагнитного поля меняет свой знак как при изменении знака массы, так и при изменении знака заряда. Такие положительно заряженные частицы называют дырками.
На рис. 4.4, б точке перегиба соответствует, согласно (4.27), бесконечно большая эффективная масса электрона, который практически не меняет своей скорости под действием внешней силы. Для большей части электронов их эффективная масса, как правило, положительная. В частности, она положительная у всех электронов, если первая зона Бриллюэна заполнена наполовину или меньше, чем наполовину (см. рис.
4.4, б). Отрицательной эффективной массой обладают электроны в состояниях, близких к границе первой зоны Бриллюэна. Формулы (4.25)-(4.27) можно обобщить на случай трехмерного движения электрона. В них функции к„(/) и Е(/с„(/)) заменяют Волновым Векто)эом /С =(й (/), к„(/), к (/)) =(/~~(/), к2(/), кз(/)) И функцией Е(Й(О) = Е(й,(~), к„(!), /с,(1)), а их производные рассчитывают, используя правила вычисления сложной векторной функдд пи и. Получим соотношение для проекции — ~ на ось Ох,: а~ г.з эгэг э ~г э1 э 1 дЕ (11 Здесь — = ~ — ) — компоненты тензора эффективных об- ~' з~,з~, (, 1,, ратных масс электрона 5И в кристаллической решетке. Теизор 5И соответствует обратной эффективной массе в формулах (4.25)— (4.27) и учитывает зависимость эффективной массы от кристалло- графического направления. Поскольку тензор 5И является сим- метричным, его можно привести, согласно 1.4, к диагональному Г 1 ) виду: ~ — ) =0 при 1~ )'.
Наибольшему значению компоненты т к — этого тензора соответствует направление, вдоль которого Уп л (1) эффективная масса наименьшая, а наименыпему значению ~ — ~ т ,~ь направление с наибольшей эффективной массой. В случае произ- вольной ориентации векторов Р и Й направления векторов силы и ускорения в общем случае не совпадают (см. 1.4). Далее, для большей наглядности, все рассуждения будут касаться тензора 5И, приведенного к диагональному виду. Очевидно, что в трехмерном случае точке с нулевым вектором й =(й,(~),)1,(г),й,(г)) на рис. 4.4 соответствуют положительные значения эффективных масс. Следовательно, поверхность равной энергии ЕЯ„й„ lс, ) (а значит, и поверхность Ферми, если бы она оказалась в этом интервале энергий) будет представлять собой эл- липсоид, главные оси которого можно найти с помощью вектор- ной алгебры.
181 В точке 1 на границе первой зоны Бриллюэна (см. рис. 4.4), по крайней мере, вторая производная энергии электрона по )г„ и эффективная масса имеют отрицательные значения. Ситуация, когда тензор 5И имеет только отрицательные собственные значения отвечает случаю дырок. Тогда можно показать, что поверхность равной энергии окажется фрагментом эллипсоида. При некоторых значениях вектора )г тензор 5И может иметь и отрицательные, и положительные диагональные компоненты; тогда можно показать, что поверхность равной энергии будет фрагментом гиперболоида (этот сложный случай изучается в специальной литературе). В полупроводниках поверхность Ферми обычно имеет вид небольших эллипсоидов (или их фрагментов).
Однако и в этом случае анализ движения дырок и электронов осложняется зависимостью эффективной массы от волнового вектора, особенно — от его направления в кристалле. В дальнейшем будем считать, что эффективная масса как электронов, так и дырок не зависит от направления их движения и является скалярной величиной. 'т 182 Задача 4.1. Определите энергию Ферми одновалентного металла, имеющего параметр примитивной кубической кристаллической решетки а.
Найдите функцию распределения плотности электронных состояний по шкале энергии и функцию распределения электронов по длинам волн де Бройля. Сопоставьте минимальную длину волны де Бройля Ха „,„с параметром решетки а. Реи2еиие. Для определения энергии Ферми используем формулу 3 (4.17). Пусть л =1/а', поскольку на один свободный электрон (валентность атома равна единице) приходится объем одной элементарной кубической кристаллической решетки.
Минимальной длине волны де Бройля соответствуют максимальные импульс, волновой вектор и энергия электрона, т.е. энергия Ферми. Тогда, используя 2ял 23тЛ формулу (4.16), имеем: Хь„,„— — — = . Следовательно, вели- Р 3)2тЕ чины а и Хь „,„сопоставимы. Согласно теории ферми-газа (см. 4.1) функция плотности электронных состояний ферми-газа 2!3 я(Е) = У Е = СЕ, С= сопя!. лз 2 Чтобы получить функцию распределения электронов по длинам волн де Бройля, воспользуемся соотношением г)И(Е) = я(Е~йЕ= ° Ш11! 111Ш111111 1!11!! гл ~ =О%()с)=8()сь)сось и фоРмУлой )Сь = . Из последней фоР- ЛтЕ мулы выразим величины Е, 8(Е), г1Е через )ск, а затем найдем формулу для функции 8()с); 8к 8(~ )=М вЂ”.
а )4' Б 4.2. Проводники, полупроводники и диэлектрики Запрещенная зона Запрещенная зона 183 Характер заполнения энергетических зон электронами определяет механизм проводимости веществ, который и объясняет их деление на проводники, полупроводники и диэлектрики. Сначала заполняются зоны с меньшей энергией. Зону полностью заполненную, но обладающую наибольшей энергией, называеют волентной зоной. Следующая за ней зона, называемая зоной проводимости, может быть незаполненной или частично заполненной (рис. 4.5).
Незаполненная зона соответствует полупроводникам и диэлектрикам, а частично заполненная зона — проводникам. Проводники. Если зона проводимости заполнена частично, то занятые в ней электронные состояния будут находиться под поверхностью Ферми, которая имеет центр симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
