Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Модель Кронига — Пенни. Эта модель описывает одномерное движение электрона массой т в поле с периодическим потенциалом простой формы: в одномерной потенциальной яме шириной Е на одинаковом между собой расстоянии а располагаются У потенциальных прямоугольных барьеров; высота каждого из них (4, а ширина Ь (рис. 4.1). Ясно, что такая форма потенциальных барьеров далека от формы реального потенциала ионных остовов. Однако даже такая грубая модель позволяет предсказать основные закономерности энергетического спектра движущихся в твердом теле электронов.
Граничные условия на границах потенциальной ямы (х е (О; Ц) считают периодическими, причем в случае одномерного движения электронов из трех соотношений (4.2) используют только первое. Согласно теореме Блоха решение уравнения Шредингера для электрона, находящегося в потенциальной яме, можно представить в виде и-е» иэ и~ и-о Рне. 4.1. К пояснению модели Кронига — Пенни (начало): и — и(х); б — схема распределения уровней энергии электронов по шкале энергии )66 Рнс. 4.1. К пояснению модели Кроннга — Пенни (окончание): в — обоснование существования зазрешениых и разрешенных зон (Р— параме т р, характеризующий проницаемость барьеров) получим дифференциальное уравнение для периодической функ- ции и (х): ~2 й2) 2 (4.6) Рассмотрим случай, когда Е < (7.
В промежутке 1, где У(х) = О, решения уравнений (4.5) и (4.6) принимают вид Ч'и — — Аехр((ои)+ Вехр( — (их), (4.7) ин(х) = Ч'ехр( — йх) = Аехр[Х(а — й)х]+ Вехр[ — ((и+/с)х]. Здесь а=(2тЕ/й~)н . В промежутке 2, где У(х) = Уо, решения уравнения Шредингера (4.5) и уравнения (4.6) принимают вид Ч'2„= С ехр(]зх) + )) ехр( — [Зх), (4.8) из„(х) = Ч'2„ехр( — ()гх) = Секр[(]3 — й)х]+ 2)ехр[ — (]3+ й)х].
Здесь [2= [2пз(Уо Е)!й~]н . 1б7 Найдем коэффициенты А, В, С, 1). Так как функция и~(х) и ее производная по координате х непрерывны в точке х = па + с, а в силу периодичности функции щ(х) — и в точке х = па, то можно записать им(па) =им(па+а), им(па+с) =им(па+с), Вам (па) с(ин (па+ а) зим (па+ с) йи, (па+ с) (4.9) ах ах Их ах 1пп ~ — ) = Р = сонм. (Ьс~3' ) ь-ю~ 2 я — ~ (4.! 1) При этом Ь~З= — -+О, сй(Ь~З) — +1, й(Ь~З)-+Ь/3= —, !3 — а — + 2Р з з а!3 а!3 — э!3', с — эа. Тогда уравнение (4.10) принимает вид яп(аа) Р + сов(аа) = соз(lса).
аа (4.12) !68 Подставив уравнения (4.7), (4.8) в систему уравнений (4.9), получим однородную систему линейных уравнений относительно А, В, С, г), которая имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю. После преобразований найдем уравнение, связывающее энергию электрона и волновой вектор: р2 2 зп(!ЗЬ) з!п(ас) + с!з(!ЗЬ) соя(ас) = соя(йа), (4.10) 2а~3 которое можно решить только приближенными методами. В результате его решения получаем, что на шкале энергии имеются участки с разрешенными и запрещенными значениями энергии (рис. 4.1, б). Промежуток на шкале энергии, в котором нет разрешенных значений, называют запрещенной энергетической зоной, или запрещенной энергетической полосой, а промежуток, в котором есть разрешенные значения, называют разрешенной энергетической зоной, или разрешенной энергетической полосой.
Интересно проследить, как меняется картина распределения уровней по шкале энергии при увеличении высоты потенциальных барьеров (рис. 4.1, а). Рассмотрим предельный случай, когда Ь вЂ” ~ О, Уе — э, так, что выполняется соотношение Правая часть уравнения (4.12) может принимать значения в интервале от — 1 до +1 прн вещественных значениях к. Тогда и в левой его части величина аа может принимать значения, при которых левая часть уравнения по модулю не превышает единицу. На самом деле разрешенных значений аа будет меньше, поскольку соя(ка) =1 только в отдельных точках. На рис. 4.1, в указаны интервалы значений аа, в которых уравнение (4.12) может иметь рещения для вещественных значений й. С параметром аа связаны значения энергии электрона в соответствии с (4,6).
При увеличении параметра Р интервалы, соответствующие разрешенным энергетическим зонам, сужаются. Разрешенные значения распределены по шкале энергии, как на рис. 4.1, б. На этом же рисунке показано, как при увеличении высоты потенциальных барьеров изменяются положения границ разрешенных и запрещенных энергетических зон: запрещенные энергетические зоны расширяются за счет разрешенных. В пределе при практически полной непроницаемости потенциальных барьеров разрешенная энергетическая зона сужается почти до одного дискретного уровня.
Такая ситуация характерна для изолированных атомов — электрон локализован вблизи своего атома, что соответствует приближению сильной связи. При Р— э высота потенциальных барьеров Ус -+, поэтому прохождением электрона сквозь них можно пренебречь. Ширина разрешенных энергетических зон стремится к нулю; разрешенными окажутся только значения аа = лп (л — целое, не равное (лпл) нулю, число), которым соответствует Е = . Следовательно, 2та имеет место задача о движении электрона в одномерной потенциальной яме шириной с=а — Ь=а, в которой электрон локализован, как бы у «своего» атома. Эта задача подробно рассмотрена в курсах квантовой механики.
Распределение уровней энергии электрона по шкале энергии показано на рис. 4.1, б, где М-вырожденные разрешенные значения изолированы друг от друга. Проанализируем частный случай: полностью прозрачные (фактически отсутствующие) потенциальные барьеры. Эта задача аналогична задаче о движении электрона в одномерной потенциальной яме шириной Е с периодическими граничными условиями для волновой функции Ч'(х). Подробно она рассмотрена в курсах квантовой механики. Разрешенные значения энергии распределены по шкале энергии почти равномерно и влияние потенциальных 169 (М) барьеров на зависимость ЕЯ) =, характерную для свобод2т ных электронов, оказывается малым.
Этот случай соответствует приближению почти свободных электронов. Рассмотрим теперь случай, когда Е > (7ж Здесь, как и ранее, воспользуемся формулами (4.6)-(4.10). Заменим вещественный параметр 1з на комплексный, мнимый параметр 1Т. Тогда уравнение (4.10) примет вид а +у . яп(са) — сяп(ТЬ) + соя(ТЬ) соя(са) = соя(йа). (4.13) 2у са Анализируя уравнение (4.13), приходим к выводу, что и при Е> (7а энергетический спектр электронов разделяется на разрешенные и запрещенные зоны. Приближение сильной связи. Это приближение базируется на предположении, что энергия связи электрона в изолированном атоме превышает энергию взаимодействия этого электрона с полями, создаваемыми другими атомами. В таком случае электронные состояния в конденсированном веществе (твердое тело или жидкость) должны иметь сходство с электронными состояниями изолированных атомов, поскольку взаимодействие между атомами не может радикально изменить систему электронных состояний атома.
Приближение сильной связи используют для описания системы уровней энергии электронов в случае, когда атомы хорошо удерживают свои электроны, например, в ионных и ковалентных кристаллах. Примерный вид системы энергетических уровней можно предсказать, учитывая, что атомы воздействуют друг на друга создаваемыми ими электрическими и магнитными полями, которые приводят к расщеплению отдельного вырожленного уровня атома на несколько подуровней. При этом вместо дискретных уровней изолированных атомов в конденсированном веществе появляется набор уровней в некотором интервале значений энергии. Рассмотрим Ф атомов, расположенных между собой на большом расстоянии.
Взаимодействием атомов можно пренебречь и считать, что каждый из них имеет одинаковые уровни энергии. Уровни энергии электронов всей системы М атомов окажутся 2М- кратно вырожденными, т.е. каждому невырожденному уровню отвечают два электронных состояния с разной ориентацией спина электрона. При сближении атомов энергия электронов будет 170 Рис.
42. Зависимость энергии электронов в атоме от расстояния д между атомами уменьшаться, так как уменьшается энергия атомов вследствие их взаимного притяжения. Кроме того, уровни энергии будут расщепляться и тем сильнее, чем ближе находятся атомы, поскольку создаваемые ими поля усиливаются при приближении к атому.
При расстоянии между атомами, приблизительно равном периоду кристаллической решетки а, наблюдаются минимальные значения энергии уровней, так как при дальнейшем сближении атомы отталкиваются и энергия их парного взаимодействия сильно возрастает (см. рис. 4.2). Очевидно, что наибольшему расщеплению подвергнутся уровни, соответствующие внешним валентным электронам. Из рис.
4.2 ясно, что общее число электронных состояний, отвечающих невырожденному уровню и принадлежащих М атомам, как изолированным, так и сформировавшим кристалл, сохраняется и оказывается равным 2Ф. Таким образом, число электронных состояний в одной разрешенной энергетической зоне оказывается равным 2%, Число электронных состоянии, отвечающих одному уровню энергии изолированного атома, может быть больше двух в случае вырождения этого уровня (как это происходит, например, для р-состояний атома водорода). Тогда общее число электронных состояний будет равно числу уровней 2)У, умноженному на кратность вырождения этого уровня энергии изолированного атома, т.е.
будет кратным 2М. 17! 2ппг л ь ' у г ' г ( (4.14) где и,, пг, пз — целые числа. Отметим, что шаг изменения проекций волнового вектора к„, 1~,й, достаточно мелкий вследствие большого значения Е. Поэтому функции, зависящие от й = = И„Й„, я, ), далее рассматриваются как непрерывные функции Й. Волновая функция свободных электронов имеет вид Г2л 1зг Ч' = Асехр(й, г), Ао =~ — ~ . (4.15) 1. Кинетическую энергию электронов (их потенциальная энергия Е, равна нулю) вычислим по формуле 172 Взаимодействие между атомами может привести к перекрытию двух отдельных энергетических зон, в этом случае получится одна зона с числом электронных состояний, равным сумме этих состояний в перекрывшихся зонах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
