Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Зависимость модулей упругости от температуры. В случае квадратичной зависимости И'(г) в выражении (3.33) вторая про- !54 ЛД йТ ЫЛ/ с~я (3.37) где х — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности. В дифференциальной форме соотношение (3.37) связывает вектор плотности потока теплоты д (~су~ = 42/(с/5 „й)) и градиент температуры т/Т: (3.38) Для анизотропных сред, например кристаллов, коэффициент теплопроводности зависит от кристаллографического направления в кристалле.
В этом случае тензор х характеризуется матрицей— тензором 2-го ранга (см. 1.4). Такой тензор может быть приведен к диагональному виду; его максимальная компонента соответствует 155 изводная Ы И'(»)/Ы», равная 2с и также пропорциональная ког 2 эффициенту С„в формулах (3.6), (3.11), имеет одинаковое значение при любых значениях». В случае реальной зависимости И'(») производная И И'(»)И» и коэффициент пропорциональности в формулах (3.6), (3.11) будут уменьшаться при увеличении значения ». Модули упругости, зависящие от коэффициента пропорциональности, при этом должны уменьшаться при увеличении среднего значения», возрастающего при повышении температуры.
В этом состоит одна из главных причин уменьшения модулей упругости при повышении температуры. При распространении фононов в кристалле одни его участки сжимаются, другие — расширяются, причем, как это следует из рис. 3.13, на участках, где» <»о, коэффициент пропорциональности С„(см.
(3.5)) оказывается больше, чем на участках, где» >»о. Таким образом осуществляется модуляция величины С„упругими полями фонона. На такой модулированной решетке дифракция фононов, движущихся в кристалле, приводит к дополнительному рассеиванию фононов, уменьшению их длины свободного пробега и снижению теплопроводности твердого тела. Теплопроводность твердого тела. Закон Фурье гласит: количество переносимой энергии ЛД через единицу площади Л5 за единицу времени Лд определяемое как плотность теплового потока, пропорционально градиенту температуры г/Т/йх: ! 2 3 2 4 ! 2 2 4 Рис.
3.14. Схема установки экспериментального определения коэффициента теплопроводности при малых (а) и больших (б) значениях: ! — источник подвода теплоты; 2 — медные пластинки; 3 — образец; 4 — источник отвода теплоты максимальному значению коэффициента теплопроводности, а минимальная — минимальному значению. Для кристаллов с кубической кристаллической решеткой тензор зс представляет собой скалярную величину.
Далее рассмотрен именно этот случай. Формулу (3.37) используют при экспериментальном определении коэффициента теплопроводности веществ: измеряют все входящие в нее величины и рассчитывают значение х (рис. 3.14). Экспериментальные данные лля диэлектриков показывают, что при повышении температуры от 0 до 30...50 К коэффициент теплопроводности увеличивается, при температуре 30...50 К имеет размытый максимум и при дальнейшем росте температуры уменьшается.
При сравнительно высоких температурах (примерно при температуре Дебая) коэффициент теплопроводности убывает как ! )Т. Теоретическое объяснение такой зависимости основано на предположении, что в диэлектриках поток энергии переносят фононы, которые как упругие волны движутся свободно в идеальной кристаллической решетке и меняют направление своего движения лишь при взаимодействии с ее дефектами. К ним можно отнести границы зерен и другие дефекты кристаллической структуры (см. 156 „л, 2), а также неоднородные деформации кристаллической решетки, приводящие к модуляции упругих свойств кристаллической решетки.
Роль последних следует обсудить особо, поскольку они влияют на механизм взаимодействия фононов, похожий на механизм взаимодействия фотона с фононами (см. 3.1). Согласно гармоническому приближению силы, возвращающие атом в положение равновесия, линейно зависят от смещения атомов, т.е. в (3.5) коэффициент пропорциональности не зависит от смещения атомов. Обычно гармоническое приближение выполняется точно только при очень малых смещениях атомов. Именно благодаря отклонениям от гармонического приближения можно объяснить физические механизмы взаимодействия двух фононов, которые, согласно теории распространения упругих волн, в линейной однородной среде не должны, вообще говоря, взаимодействовать.
Возможность взаимодействия двух фононов можно объяснить следующим образом. Пусть в кристалле распространяется фонон, он деформирует кристаллическую решетку с периодом модуляции, равным длине волны фонона. Тогда в кристалле появится модуляция упругих постоянных с таким же периодом модуляции, напоминающая дифракционную решетку (см. рис.
3.1). Другой фонон, распространяясь через эту своеобразную дифракционную решетку, может рассеиваться на ней, в результате чего он изменит направление своего движения. В таком случае говорят о взаимодействии (столкновении) двух фононов. Необходимым условием такого взаимодействия является «нелинейный эффект» — искажение упругих постоянных кристаллической решетки при прохождении через нее фонона. Поэтому и принято считать процессы взаимодействия фононов проявлением ангармонизма. Рассмотрение фононов как редко взаимодействующих частиц почти идеального бозе-газа позволяет при расчете коэффициента теплопроводности использовать формулу, полученную для идеального газа: к = сг (и) 1,Ф, где сг — теплоемкость единицы объема идеального газа при постоянном объеме (в данном случае — бозе-газа); (ц) — средняя скорость движения переносчиков тепловой энергии газа (в рассматриваемом случае — скорость упругих волн или групповая скорость бозонов); 1,Ф вЂ” эффективная длина свободного пробега молекул идеального газа (бозонов).
157 Рис. 3.15. Схема движения частицы, испытывающей при взаимодействии фононов отклонения на малые (а) и большие (6) углы Величина 1,Ф зависит от частоты столкновений переносчиков теплоты и главное от того, насколько данный вид взаимодействия изменяет картину переноса потока энергии переносчиками теплоты. Очевидно, что взаимодействие фононов, которое приводит к отклонению частиц, переносящих поток энергии на малый угол (рис.
3.15, а), слабее влияет на перенос теплоты и 1,Ф, чем процессы, которые приводят к сильной переориентации направления движения частицы, переносящей тепловую энергию (рис. 3.15, б). Взаимодействие фононов вида К, + Кз — ь Кз и К, + Кз — ь — э К, + К4 (рис.
3.16), для которых выполняются законы сохранения энергии и импульса фононов, также несущественно влияют на уменьшение коэффициента теплопроводности. Их принято называть нормальными прог(ессами, или М-пройессами. Это обусловлено тем, что суммарный волновой вектор фононов (К, + К ) при таких процессах сохраняется, следовательно, сохраняется направление движения системы взаимодействующих фононов как целого и направление переноса тепловой энергии не изменяется. В твердом теле возможно взаимодействие фононов вида К2 Кз К4 е б Рис. 3.16. Схемы взаимодействия фононов вида К, +К, — з Кз (а) и К,+К,-+Кзч-К~ (б) !58 Рис. 3.17.
Схемы нормального (а) процесса н процесса переброса (б) К, +Кт — > Кз+Тьи (рис. 3.!7), для которого закон сохранения импульса без учета вектора Т„, не выполняется. При таком взаимодействии суммарный волновой вектор фононов (К, + Кт) оказывается за границей первой зоны Бриллюэна и к нему добавляется вектор Т „,, полученный от кристаллической решетки. В результате направление вектора Кз зародившегося фонона сильно отличается от направления суммарного вектора (К, + К ).
Процессы, при которых происходит существенное изменение направления движения системы фононов, а значит, и направление переноса тепловой энергии, оказывают очень сильное влияние на теплопроводность. Их принято называть процессами переброса (или (/-процессами). Отметим, что для появления процесса переброса модули векторов К, и Кт должны быть достаточно большими (К = Т„н /4 и выше). Процесс переброса происходит при сравнительно высоких температурах, когда велика вероятность образования фононов с большими значениями их волнового вектора и энергии.
Оценим зависимость коэффициента теплопроводности от температуры х(Т) при высоких температурах. В этом случае тепло- емкость с примерно постоянна, число фононов с К > Тьн /4 достаточно велико. Эффективная длина свободного пробега фонона обратно пропорциональна вероятности его взаимодействия с такими фононами. Такая вероятность пропорциональна их числу или 159 температуре, поскольку при высоких температурах (см.
3.3) число фононов пропорционально температуре. Следовательно, при высоких температурах х(Т) — 1! Т, что можно наблюдать экспериментально. Оценим зависимость коэффициента теплопроводности от температуры х(Т) при низких температурах. В этом случае теплоемкость ся пропорциональна Т (см. 3.3), число фононов с й > Т„и !4 очень мало и пропорционально ехр( — Ть„йи(4ИТ),т. е, при Т вЂ” >О стремится к нулю.
Эффективная длина 1,4 должна стремиться к бесконечности, но этого не происходит, поскольку начинает сказываться дифракция фононов крупными структурными неоднородностями (дефектами, границами зерен и т.п.). Отметим, что статические дефекты, эффективно рассеивающие фононы при низких температурах, должны по размерам быть сопоставимыми с характерной длиной волны фононов при низких температурах, которая велика. Таким образом, 1,4 определяется, в основном, концентрацией крупных дефектов, не зависящей от температуры, т.е. можно считать, что не зависит от температуры, а с (Т) — Т . Тогда н(Т) — Т', что можно наблюдать экспериментально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
