Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 22
Текст из файла (страница 22)
примерно равна (кТ) . Молярную теплоемкость можно найти как производную энергии по температуре: С (Т)= — -Тз. (3.32) Таким образом, модель Дебая сравнительно хорошо описывает зависимость С (Т) и при низких температурах. Поэтому часто ее используют для приближенного вычисления вклада в молярную теплоемкость от акустических ветвей дисперсионной зависимости фононов, особенно при очень низких температурах. Также ее применяют для прогнозирования рассеяния излучений веществом, взаимодействия нейтронов и фотонов с фононами. Для каждого вещества подобрана в сопоставлении с экспериментальными данными о теплоемкости индивидуальная температура Дебая, приводимая в различных справочниках. Приближенную аппроксимацию оптических ветвей дисперсионной зависимости фононов часто проводят с помощью модели 150 штейна или с помощью моделей, аналогичных модели Дебая, еняя в ней зависимость аз[К) на более сложные.
Эйн изм Задача 3.4. Получите закон Дюлонга и Пти, используя соотношения [3.31), а также поправки к закону Дюлонга и Пти при высоких тем- пературах, таких, что Т» О ~. Решение. Преобразуем подынтегральное выражение в формуле [3.31), разложив его в ряд по малому параметру х = Йоз! 1сТ, н вычислим его приближенное значение: 9гесТ ~~ ехр[х)х ох 9НИТ ~л х~ох О'„, [ехр[х) — Ц~ Оз [1+ х-1)з 9ИКТ [хл) — = ЗМ/с. О Для вычисления поправок к закону Дюлонга и Пти следует сохранить в разложении ехр[х) большее число членов. Для получения первой линейной поправки находим: 9НсТ "Г ехр[х)х Их ~г 3 2 О „[ехр[х) — 1[ 9ШТ 1 [1+ х)х гй 9МКТ (хд) Од о [1+х+х 1[2-1)[ Од 3 Результат не изменился, поскольку линейная по параметру х = лш! 'хТ поправка к закону Дюлонга и Пти равна нулю.
Отличной от нуля оказывается только квадратичная по параметру х = лш!кТ поправка. 3.4. Аигармоиическое приближение В предыдущих разделах кристалл рассматривался как система невзаимодействующих осцилляторов. В этом случае потенциальная энергия возрастает пропорционально квадрату смещения осциллятора относительно положения равновесия, а параметры, описывающие жесткость кристаллической решетки, не меняются при 15! увеличении отклонений осцилляторов от положения равновесия. Этот подход, называемый гармоническим приближением, позволяет рассчитать теплоемкость, но не позволяет вычислить многие другие параметры кристалла, связанные с взаимодействием фононов, например теплопроводность. Отметим, что гармоническая модель не предусматривает взаимодействия осцилляторов-фононов, поскольку изначально их выбирают как соответствующие нормальным, не- взаимодействующим колебаниям.
Как увидим далее, объяснение зависимости модулей упругости от температуры и теплового расширения требует учета ангармоничееких поправок, учитывающих отклонение от квадратичного закона изменения потенциальной энергии при смещении осцилляторов относительно положения равновесия. Такой подход называют ангармоничееким приближением. Тепловое расширение твердых тел. Все твердые тела и жидкости, за очень малым исключением, при повышении температуры в той или иной степени расширяются. Природа этого явления при детальном рассмотрении достаточно сложная. Считают, что тепловое расширение связано с увеличением средних расстояний между атомами кристалла, что может быть обусловлено многими причинами, в том числе, асимметрической зависимостью потенциальной энергии от смещения атомов относительно положения равновесия, изменениями сил взаимодействия между атомами при росте температуры, перегруппировками разных атомов, изменением преимущественных ориентаций их электронных облаков и некоторыми другими причинами.
Рассмотрим влияние асимметрической зависимости потенциальной энергии взаимодействия И атомов от расстояния между ними, поскольку оно, как правило, является главной причиной и анализ других причин очень сложен. Прежде всего отметим, что тепловое расширение твердых тел не удается объяс- 0,6 1 0 1 4 Ига нить в рамках гармонических приближений, Рнс. 3.13.
Зависимость согласно которым возвращающая сила пропотенциальной энергии порциональна смещению атома относительвзанмолействня лвух но положения равновесия г, а потенциальатомов И' от расстояния ная энергия взаимодействия атомов описыг между ними в рамках ангврмоннческого (1) н ваегся квадратичной зависимостью относи- гармонического(2) прн тельно смещения атома из положения равблнженнй новесия (рис. 3.13). 152 Рассмотрим реальную зависимость потенциальной энергии И'(«) взаимодействия двух атомов от расстояния между ними (см.
рис. 3 13 поз. !), и эту же зависимость в случае гармонического приближения (см. рис. 3.13 поз. 2). В последнем случае при увеличении амплитуды колебаний атомов среднее расстояние между ними, совпадающее с минимумом потенциальной энергии и положением равновесия, не меняется, а значит, и не происходит теплового расширения. Для реальной зависимости И'(г) вследствие ее асимметричности при увеличении потенциальной энергии и амплитуды колебаний, обусловленном повышением температуры, среднее расстояние между атомами несколько увеличится. Степень этого увеличения определяется отклонением зависимости И'(г — г„) от симметричной.
Чтобы учесть эту асимметричность, необходимо разложить И'(г) в ряд, содержащий более высокие степени (г — «с), чем (г — гл)~. Асимметричность обычно описывается членом, содержащим (г — г ), т.е. з Иг(г) =Иг(гл)+с(г — г ) — Я(г — гв) +... (3.33) При достаточно высоких температурах (см. далее задачу 3.5), когда справедлив закон Больцмана, учет последнего слагаемого в выражении (3.33) позволяет получить среднее расстояние между атомами кристалла (г)- г, + Т. Зж 4с (3.34) Формула (3.34) описывает часто используемые для прикладных расчетов эмпирические законы о тепловом расширении твердых тел при температуре, близкой к комнатной: 1(Т) = [в[1+ гх(Т вЂ” Т,)). Разработано несколько простых и очень точных методов экспериментального определения коэффициента линейного теплового Здесь 1(Т) — длина тела при заданной температуре Т; 1о — длина тела при Т = Тш Параметр а называют коэффициентом линейного теплового расширения, или коэффициентом теплового расширения, который определяется как: 1Ж П = —.
1 г1Т расширения. Самыми распространенными из них являются: 1— точное определение длины образца (дилатометрия) при его нагреве; 2 — измерение температурной зависимости параметра решетки или межплоскостного расстояния АКТ) = 1(Т) методами, рассмотренными в гл. 1 (рентгеновская дилатометрия). По измеренной зависимости 1(Т) или г1(Т), используя формулу (3.36), вычисляют значения а.
Далее по значениям а получают информацию о точности гармонического приближения для описания процессов колебаний атомов в данном твердом теле при разных температурах и о параметрах с и К, что важно для развития теории твердых тел. Любая перестройка структуры твердого тела, любое изменение сил взаимодействия в веществе приводят к изменению коэффициента линейного теплового расширения, поэтому его точное измерение широко используют как простой метод определения температур фазовых переходов, выбора оптимальной термообработки, контроля состава и качества материалов и т.п. Исследования показывают, что коэффициент линейного теплового расширения слабо зависит от температуры только в сравнительно небольшом диапазоне температур (100...200 К), в котором не происходит перестроек структуры твердого тела.
Отметим, что он заметно изменяется в области низких температур (1,00...100 К). Для анизотропных веществ, например кристаллов, коэффициент теплового расширения зависит от направления в кристаллической решетке. В этом случае тензор а характеризуется матрицей — тензором 2-го ранга (см. 1.4). Такой тензор можно привести к диагональному виду, причем его максимальная компонента соответствует максимальному значению коэффициента линейного теплового расширения твердого тела, а минимальная — минимальному значению.
Для твердых тел с кубической кристаллической решеткой коэффициент линейного теплового расширения — скалярная величина (см. 1.4). Для большинства твердых тел при Т = 200...500 К коэффициент линейного теплового расширения а = 1О ~ К ~ . Для сплава железа с никелем, так называемого инвара, широко применяемого для изготовления деталей измерительных приборов высокой точности, например маятника часов, он аномально мал и составляет менее 1О ~К ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
