Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 21
Текст из файла (страница 21)
рис, 3.8) при неподвижных атомах массой М,, а второму — движение атомов массой Мг при неподвижных атомах массой Мг Такой характер колебания атомов соответствует независимому друг от друга движению подрешеток, состоящих нз атомов массами М, и М,. Задача З.З. Рассмотрите предельный случай (М, — ь М,) колебания атомов базиса кристалла, изображенного на рнс. 3.7, н взаимодействие 143 атомов с ближайшими плоскостями. Найдите дисперсионную зависимость фоиоиа ш(К) для плоских продольных волн с волновым вектором К =(К;0;0). Покажите, что полученные зависимости эквивалентны дисперсионной зависимости акустической ветви ш(К) кристаллической решетки с уменьшенным в 2 раза периодом решетки а.
Решение. Выражение для корней биквадратного уравнения (ЗН5) при М, е М~ имеет вид ш' = ' ~ +С ((М, +М )/М,М,] — 4яп НКа/2)1/(М,Мз). 1 2 Запишите это выражение при М, — + М,: 2С 2С Ка ш = — + — соз —. М М 2 ГС, Ка ГС Ка Тогда ох = 2 ( — яп —, оэ =2 ~ — соа —. М 4 М 4 Первая акустическая ветвь ш(К) соответствует колебаниям моноатомной кристаллической решетки с периодом, равным а/2.
Вторая ветвь, идентичная первой по форме, смещена относительно первой иа 2к/а . Согласно соотношению (3.7) она описывает тот же закон движения атомов. 3.3. Теплоемкость кристаллов Как уже отмечалось, внутреннюю энергию (/, а затем и тепло- емкость кристалла в принципе можно вычислить, определив все частоты нормальных колебаний кристалла и энергию всех осцилляторов с использованием статистики Бозе — Эйнштейна. Если вторая часть задачи трудностей не вызывает, то ее первая часть чрезвычайно сложна в математическом отношении, в настоящее время она решена только для сравнительно простых молекул. Поэтому были найдены упрощенные способы вычисления спектра собственных частот осцилляторов, некоторые из них рассмотрены в данном разделе.
Модель Эйнштейна. В модели Эйнштейна считают, что атомы колеблются независимо друг от друга и частоты колебаний всех атомов одинаковы. Для расчета внутренней энергии кристал- ла, содержащего Ф атомов, достаточно рассмотреть один атомосциллятор, а затем умножить результат на число одномерных осцилляторов ЗМ. Пусть каждый осциллятор имеет частоту ю„, тогда среднюю энергию, запасенную в таком осцилляторе, можно вычислить с использованием статистики Бозе — Эйнштейна: ( Е„) = ( ) поз ехр(йш ! ИТ) — 1' (3.!7) дТ (г [ехр(йю„! ИТ) — 1] Модель Эйнштейна дает хорошее совпадение результатов расчета с экспериментальными данными для температур выше 50...100 К(рис.
3.10). При йю„<<(гТ (высокие температуры) С„=ЗФяlс=З)2, что соответствует закону Дюлонга и Пти. При йю» КТ (низкие температуры) Сг = ЗЖ )г(йго„!1гТ) ехр( — 601„11гТ) -+ 0 при Т -+ О, как этого требует третье начало термодинамики. Однако убывание С (Т) при 25 Т вЂ” » 0 оказывается более быстрым, чем наблюдается экспериментально (ф— Т ). 15 Это связано с некорректностью допущений о независимости колебаний отдельных атомов, поскольку известно, 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 что атомы взаимодействуют друг с дру- Т10 гом (см., например, 3.2) в кристалле Рис.
3.10. Зависимость мосуществуют упругие волны с разной лярвой теплоемкости С, длиной волны, соответствующие кол- от приведенной темпералективным колебаниям атомов. Не- туры Т/О» рассчитанной в смотря на это, модель Эйнштейна хо- рамках модели Эйнштейрошо описывает теплоемкость кристал- на: Оэ = гяь,яй (О, — темлов при комнатной и более высокой пература Эйнштейна) 145 где (л) = 1l[ехр(йш„ (ИТ) — 1] — среднее число квантов энергии, «запасенных» в осцилляторе.
Молярная энергия кристалла, содержащего Ж» атомов, равна (Е„„„) = ЗД(„(Е„) = ЗМ„(л)йо) , а молярная теплоемкость при постоянном объеме ('(х, у, а, г) = А ехр((РК вЂ” (озг). (3.19) Затем накладывают периодические граничные условия на вид функций г'(х, у, з, г), описывающих упругие колебания кристалла: .( (х+ 1„у, с, г) = Т (х, у, ~, г), ,( (х, у+ Е, 2, г) = Т (х, у, з, г), /(х, у, с+(,г) =((х, у, 1,г), (3.20) которые выполняются, если проекции волнового вектора К удов- летворяют следующим условиям: ехр(Ы,К,) =1, ехр((ЕК ) =1, ехр(И,К,) =1.
(3.21) 146 температурах, теплоемкость идеального газа, состоящего нз изолированных молекул, и вклад в теплоемкость кристаллов оптических фононов, частота которых обычно слабо зависит от волнового вектора. Учет коллективных нормальных колебаний атомов позволяет значительно точнее описать теплоемкость при низких температурах. Дело в том, что акустические коллективные колебания имеют более низкие частоты. Энергии тепловых колебаний порядка КТ хватает для их возбуждения даже при низких температурах, поэтому такие колебания смогут давать свой вклад в теплоемкость и при низких температурах. Согласно модели Эйнштейна все осцилляторы системы обладают одной сравнительно большой частотой и разностью энергий соседних энергетических уровней ЙоХ вследствие чего переходы осциллятора с одного уровня на другой при низких температурах, когда йш» (гТ, будут крайне маловероятны; в таком случае их вклады во внутреннюю энергию и в теплоемкость очень малы.
Подход к вычислению энергии колебаний кристалла. Как отмечалось ранее, вычисление спектра частот нормальных колебаний является сложной задачей, поэтому прн расчете энергии колебаний атомов в кристалле обычно используют различные упрощенна. Чаще всего разрешенные значения волновых векторов фононов вычисляют так же, как и для ферми-газа или прн выводе закона Планка, а именно: рассматривают кристалл с кубической кристаллической решеткой, имеющий форму куба с ребром 1,. Функции, описывающие упругие колебания кристалла, ищут в виде комплексной функции Тогда волновой вектор К может принимать дискретные значения: 1, ~2.
~3 (3.22) Е Е где л,, лз, лз — целые числа. В этом случае на одно разрешенное значение К приходится объем К-пространства Ъ~~ = (2к/ Е) = (2к) Ю, где У = ье — объем кристалла. Далее задают определенный вид дисперсионной зависимости в(К). Часто ее вычисляют теоретически (см. 3.2), а иногда с учетом полученных экспериментально зависимостей в(К).
Область разрешенных значений К разбивают на участки, в пределах которых в(К) меняется незначительно, чтобы использовать формулы, аналогичные используемым в модели Эйнштейна. Затем, как правило, численными методами суммируют вклады от всех участков в вычисляемую физическую величину, например, во внутреннюю энергию. В случаях, называемых сферически-симметричными (когда в(К) зависит только от модуля вектора К), удобно использовать функцию распределения О(в) числа нормальных колебаний по частоте а. Эту функцию также называют функцией плотности состояний, она показывает, какое число нормальных колебаний сР( приходится на интервал частот дв вблизи ох (3.23) ИХ(а) = )З(в)дв.
С помощью функции О(в) можно найти средние значения многих величин, аналогично тому, как это делалось с помощью распределения Максвелла, например средние значения энергии осцилляторов: (Е) = ~Е(в)0(а)па= ~йа(п(в))0(а)па. (3.24) о о Функция )З(а) должна удовлетворять условию нормировки: 3)ч = ~)З(в)дв, о согласно которому общее число нормальных колебаний равно 3)т'. 147 4кК /3 / 1, ) 4по! Роз (2к/Е) ),2п! Зц' бц'к' Из соотношения с//)/, = /)(в)с/в найдем функцию /)(в). Величину ЫД/» также можно вычислить, разделив на (2п//.)з объем слоя в К-пространстве, для которого значения К находятся в промежутке [К; К + с/К!. Тогда, учитывая, что б = Р, получаем выражение для .0(в) (рис.
3.11): Ый/» 4кК Ж )Гв /)(в) — — ~— Ив (2к/1,)~с/в 2ц к (3.27) В соответствии с условием нормировки необходимо, чтобы общее число осцилляторов с одним типом поляризации равнялось /)/. В рамках модели Дебая модуль вектора К ограничивают некоторым максимально возможным значением Кд, при подстановке которого в (3.26) получают в левой части общее число ос- Рис. 3.11. Функция плотности состояний /)(в) я модели Дебая (/) и для реального кристалла (2) 148 Рассмотрим применение данного подхода к вычислению энергии колебаний кристалла на примере модели Дебая. Модель Дебаи. В рамках этой модели считают что в = Кц„я, где и„, — скорость распространения плоских продольных упругих волн. Такое приближение называют приближением сплошной среды.
Ясно, что при таком подходе не удается учесть дисперсию и оптические ветви дисперсионной зависимости фононов (см. 3.2). Для поперечных волн все рассмотренные ниже расчеты повторяют, а затем складывают результаты для продольных и поперечных волн. Для упрощения изложения проведем расчеты для промежуточного значения ц между скоростями распространения продольных и поперечных волн, как известно, сильно различающихся (см. задачу 1.10). Зависимость в(К) полагают сферически-симметричной, что упрощает расчеты.
Число разрешенных значений вектора К с модулем, меньшим заданного, можно вычислить, разделив объем сферы радиусом К в К-пространстве, на объем, приходящийся на одно разрешенное значение вектора К: цилляторов /з/ с данным типом поляризации. Используя формулу (3.26), найдем частоту Дебая: вд = '', К, = — ' . (3.28) Значения Кд оказываются близкими к значению л/а, соответствующему границе первой зоны Бриллюэна. Однако следует помнить, что реальная область допустимых значений вектора К, совпадающая с первой зоной Бриллюэна, в рамках модели Дебая заменяется на несовпадающий с ней шар (см. рис. 3.11). Внутренняя энергия, отвечающая всем трем типам поляризации осцилляторов, в рамках модели Дебая "л Е =3 ~йвп(ВТ)/З(ву/в=3 ~ с ехр(йв/кТ) — 1 ь'в' 2яз„з (3.29) ЗИг4Т4 ."л хз /х 21т п,„й о~ ехр(х) — 1 (3.30) Отметим, что интеграл (3.29) можно рассчитать только численными методами. Для вычисления моляриой теплоемкости Сг следует продифференцировать выражение (3.29) по температуре Т: 3)~й 2 л 4 (й~//Т) 9Р//Тз л р( ) 4 /х 2и ~ни кТ с (ехр(йв/кТ) — Ц О/ с 1ехр(х) — Ц (3.31) Интеграл (3.31), как и (3.29), можно вычислить только численными методами (рис.
3.! 2). При больших значениях температуры Сг(Т) стремится к ЗР— классическому значению (см. 3.1 и задачу 3.4). При малых значени- 149 Здесь х =йв//гТ и х/! = вдйlкТ = Од/Т Од температура Дебая: си дж!(м оль к) ях температуры С„(Т) — Т . Принимая во 3 20 внимание, что при Т вЂ” ьО в соотношении 15 (3.31) х-ь ° и х — э, верхние пределы 10 интегрирования будем считать равными нулю и бесконечности. Тогда последний интеграл в формуле (3.31) равен некоторой 220д з константе и зависимость С (Т) -Т окаРис. 3.12.
Зависимость з а я очев ой зывается очевидной. молярной теплоемкости Си рассчитанной в рам- Зависимость Ск(Т) - Т при Т вЂ” ь О ках модели Дебая, от можно получить, воспользовавшись слеприведенной температу- дующими достаточно наглядными сообры Т10д ражениями. При Т вЂ” > О основной вклад в молярную теплоемкость обеспечивает акустическая ветвь дисперсионной зависимости (именно их и описывает модель Дебая) с малыми частотами, такими, что 'хТ > лвз = оАК. В К-пространстве областью значений таких векторов является шар, объем которого пропорционален (кТ)). Каждый фонон в среднем будет иметь энергию, приблизительно равную )гТ. Следовательно, «запасенная» энергия пропорциональна числу нормальных колебаний и средней энергии каждого из них, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
