Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В данном параграфе рассмотрены характеристики фононов, которые можно исследовать с помощью различных экспериментальных методов, а также механизмы взаимодействия фононов с другими частицами. Остановимся на методах изучения фононов, доказывающих их существование как квазичастиц и позволяющих определить энергию и импульс отдельного фонона, что важно для развития фононной теории. Зги методы основаны на взаимодействии фонона с падающими на твердое тело частицами: нейтронами, электронами, фононами или фотонами.
Такие методы основаны на независимом измерении энергии и импульсов падающих на кристалл и рассеянных кристаллом частиц и определении в соответствии с законами сохранения энергии и импульса энергии и импульсов фононов. Взаимодействие фононов с фотонами. Фотон — квант электромагнитного излучения. Пусть фотон с энергией кванта йгв и импульсом М, Й вЂ” волновой вектор фотона, взаимодействует с твердым телом, имеющим показатель преломления и. Если в твердом теле присутствует фонон с энергией кванта И2, где Й вЂ” частота фонона, и импульсом йК, то упругая волна, связанная с фопоном, приведет к сжатию одних областей твердого тела и растяжению других, а значит, и к изменению показателя преломления в разных его точках. При этом получится некоторое подобие дифракционной решетки (рис.
3.1), на которой падающие фотоны будут рассеиваться. Из рис. 3.1 следует, что кроме основного, не рассеянного пучка фотонов, появится как минимум два дифракциопных. Принято считать, что изменение направления движения фотона обусловлено поглощением (или зарождением) фонона, свя- /с+К ' -'.' 11111111 11111111111 11111111111 1111111111 - 1111111111 1111111111 Н П П1111111111111111 из 1111111111111111111111 131 Рнс.
3.1. Схема взаимодействия фотона с периодически деформирован- ной кристаллической решеткой: ил и, — показатели преломления сжатых н растянутых областей соответственно йа'=йа+Ай и й/с'=й/с+ЯК, (3.1) выражающими законы сохранения энергии и импульса. Отметим, что вследствие значительного различия скоростей фонона о и фотона с существенно различаются их частоты и энергии, имеющих одни и те же значения /т = К. Действительно, а = с/т, й=оК. Так как с»о, то а»й. Тогда, согласно формулам 13.1), а = а' и /т = Й', т.е. при взаимодействии с фононом частота и модуль импульса фотона меняются незначительно. В соответствии с рис.
3.2 получим К = 2/1яп —. ф 2 (3.2) Запишем формулу, связываюшую частоту порожденного фонона с частотой фотона: К й = оК = яп —. (3.3) 2нао . с 2 о Малость величины — приводит к тому, с й что отношение — также оказывается маа лым. Поэтому при рассеянии фотонов на фононах относительное смещение частоты Ла фотона оказывается такого же порядка а Рис. 3.2.
К определению соотношения между векторами /с, /с' и К при взаимодействии фотонов с фононом 132 занного с колебаниями твердого тела и вызвавшего модуляцию его показателя преломления (см. рис. 3.1). По такой же схеме некоторые другие частицы, например электрон или нейтрон, могут рассеиваться на дифракционной решетке, образовавшейся за счет модуляции электронной или ядерной плотности при прохождении фонона. Взаимодействие фонона с фотоном удобно изображать с помощью векторов (рис.
3.2). Фотон с энергией Аа и импульсом М в результате поглощения фонона с энергией йй и импульсом йК приобретет новые энергию кванта ла' и импульс йК', которые связаны соотношениями: малости и его трудно регистрировать экспериментально. Дифракцнн света на фононах. Для наблюдения дифракции света на фононах используют узкий пучок высокомоиохроматического лазерного излучения. Под определенным углом <р регистрируют спектр рассеянного света и таким образом фиксируют направления векторов К' и Е В спектре рассеянного излучения кроме главной яркой линии с частотой оз присутствуют смещенные на + Й по частоте линии, соответствующие процессам зарождения и поглощения фотонов. Далее определяют направления волновых векторов х, К', значения оз и оз', затем К и Й и связь между ними.
Поскольку для излучения светового диапазона значения векторов й' и х малы, то таким образом удается исследовать фононы с малым значением вектора К (длинноволновые фононы). Дифракцин рентгеновского излучения фононами. Этот метод используют для исследования фононов с большим волновым вектором, поскольку для рентгеновского излучения модуль вектора х сопоставим с размерами первой зоны Бриллюэна. Схема опыта аналогична схеме для наблюдения рассеяния света. Поскольку смещение линий по частоте мало, то таким методом крайне трудно определить изменение частоты рассеянного фотона и, следовательно, точность определения величины Й оказывается низкой.
Дифракция нейтронов фононами. В настоящее время этот метод является самым информативным для изучения фононов, поскольку можно достаточно точно зарегистрировать изменение как волнового вектора, так и энергии нейтрона. Для определения энергии и импульса фонона используют схему, представленную на рис. 3.3. Пучок нейтронов, выходягций из ядерного реактора (Р), падает на монохроматор (М) — совершенный монокристалл. От него в соответствии с условием Брэгга— Вульфа интенсивно отражаются нейтроны с определенной длиной волны.
Таким образом достигается монохроматизация пучка нейтронов и задается направление вектора х. Этот пучок падает на изучаемый образец — монокристалл (К). Рассеянный от него пучок нейтронов попадает на монокристалл-анализатор (А), отражающий в соответствии с условием Брэгга — Вульфа нейтроны с определенной длиной волны в направлении счетчика (С). Использование анализатора позволяет получить спектр рассеянных ней- 133 Рис. 3.3. Схема экспериментального определения энергии и импульса фононов при его взаимодействии с нейтронами тронов по их модулю л' (и по их энергии) и соответственно измерить энергию рассеянных нейтронов. При рассеянии нейтронов справедливы соотношения, выражающие законы сохранения энергии и импульса: й'=)~+Там+К, = +ьгэ, -* - (М') (М) 2М„2М„ (3,4) 134 где Т„н — вектор обратной кристаллической решетки; ̄— масса нейтрона.
Используя соотношения (3.4), можно определить частоту фонона й, его волновой вектор К и зависимость й от К, которую называют дисперсиоиной зависимостью фоиона. Данный метод, несмотря на информативность, требует больших затрат времени и использования мощных ядерных реакторов, поэтому подобные эксперименты проводятся только в нескольких крупных научных центрах, имеющих мощные (высокопоточные) ядерные реакторы. Типичные дисперсионные зависимости фононов, полученные с использованием этого метода, приведены на рис. 3.4.
Для изучения дисперсионных зависимостей фононов можно использовать дифракцию других частиц кристаллом, например электронов, однако для проведения таких экспериментов, как правило, необходима большая камера с высоким вакуумом, и они уступают по разрешающей способности дифракции нейтронов. Также используют дифракцию фононов (ультразвуковых волн) кристаллом, однако этот метод по информативности уступает другим.
а 10'т, Гц 5 а 10'з,Гп 4 1 0 О,1 0,2 0,3 0,4 0,5 К, доля от к ГЗ!а б 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 К, доля от пзГ2!а л Рис. 3.4. Дисперсионные зависимости фононов: а — в алюминии (поперечные разной поляризации (/, 2) н продольные (3) коле- бания атомов); б — в бромиде калия (акустнческие (К 2), оптические (3, 4), про- дольные (2, 4) н поперечные (К 3) колебания атомов) 3.2. Колебания атомов в кристаллической решетке Рассмотрим простейшие случаи теоретического построения зависимости частоты фононов от их волнового вектора.
В общем случае эта задача очень сложная и решается, как правило, численными методами. Рассмотрим кубический кристалл с примитивной элементарной ячейкой с периодом решетки а и базисом из одного атома. Пусть в этом кристалле плоская продольная волна распространяется вдоль кристаллографического направления 11001 (рис. 3.5). Атомы, расположенные в одной плоскости (100) с номером з', будут смещаться на величину и, с одной фазой вдоль нормали к этой плоскости, т.е.
вся плоскость атомов будет колебаться !35 Некоторые вопросы взаимодействия фотонов, фононов и частиц можно рассматривать и с более простых позиций. Так, прохождение электромагнитной волны через кристалл приводит к дополнительным периодическим колебаниям атомов, что равносильно зарождению фононов. Аналогично движущийся в кристалле электрон своим электрическим полем воздействует на атомы и вызывает их колебания, т.е. порождает фононы. Такой подход позволяет объяснить многие вопросы теории сверхпроводимости.
И5М И55 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — 1- 1 5 — 2 5 — 1 Я 5+1 5+2 Рис. 3.5. Колебания атомов кубической кристаллической решетки с бази- сом нз одного атома в плоской продольной волне, распространяющейся вдоль крнсталлографнческого направления (100) как целое. На выбранный атом в этой плоскости с номером з будет действовать силой г", другая плоскость с номером я+ р. В случае малых смещений можно предположить, что эта сила пропорциональна разности смещений и„— и, взаимодействующих плоскостей от их положения равновесия.
Тогда результирующая сила ~, = ~ ~,„= ~ С'„( 5,„- 5), (3.5) рро рро где Ср — коэффициент пропорциональности. Согласно второму закону Ньютона для атома, обладающего массой М и находящегося на плоскости с номером гп Г( И5 М вЂ” '= ~ Ср(и5 р — и5). ррс Функцию и, представим в виде плоской продольной волны с амплитудой ио: и,5р =иоехр( — 1шг+1Кх) = ноехр( — (т)ехр12Ка(з+ р)1. (3.7) После подстановки соотношения (3.7) в формулу (З.б) и сокращения общих сомножителей получим 136 МО2 = — ~ С [ехр()рКа) — Ц. (3.8) рае С учетом симметрии рассматриваемой решетки (Ср = С ) и ехр(1а) -ь ехр( — (а) соотношения сова = выражение (3.8) запишем в 2 виде ш~М = — ~~> С [ехр()рКа)+ ехр( — )рКа) — 2) = 2~~~ С (1 — соя рКа). р>о р>о (3.9) Часто ограничиваются рассмотрением взаимодействия выделенного атома только с ближайшими плоскостями. В этом случае р =+ 1, и выражение для ш упрошается: 2 2 2 4С1 Г .
Ках х2 ш = — С,[1 — соя(Ка)) = — ~гйп — ! . (3.10) М' М(, г!' Иш Скорость фонона (или групповая скорость 22 = — упругих "' ЫК волн) зависит от его волнового вектора К, что является следствием конечности периода решетки а (рис.3.6). Напомним, что в приближении сплошной среды, когда а — ь О, скорость упругих волн не зависит от волнового вектора волны. к!а 2к!а — 2л/а -к!а Рис. 3.6. Зависимость О2(К) для плоской продольной волны, распространяющейся вдоль направления [100) в примитивной кубической кристаллической решетке 137 На границе первой зоны Бриллюэна при К = я!а производная а (К) по К равна нулю, что соответствует равенству нулю скорости фонона. Такая же особенность зависимости оз(К) следует и из выражения (3.9), в котором учитывается взаимодействие с выбранным атомом нескольких атомных плоскостей.
При К =Ыа в силу формулы (3.7) соседние атомы будут двигаться в противофазе, что соответствует стоячей волне с пучностями в местах расположения атомов. Образование стоячей волны в этом случае связано с отражением волны от каждого из атомов и интерференционным усилением отраженных волн. Действительно, для выполнения условия усиления волн, отраженных от атомов, которые расположены между собой на расстоянии а (см. рис. 3.5), необходимо, чтобы оптическая разность хода Л,„, этих волн была равна целому числу длин волн: Л„, = 2а = Хп = 2к7 К (и = 1), откуда К = л 1 а. В случае трехмерной кристаллической решетки фононы способны отражаться от атомных плоскостей подобно рентгеновскому излучению; в этом случае условие интерференционного усиления примет вид условия Брэгга — Вульфа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
