Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Это условие (см. гл. 1) идентично условию попадания волнового вектора фонона на границу раздела первой зоны Бриллюэна. Отметим, что при описании колебаний атомов в волне вида (3.7) закон движения атомов получается одинаковым, если к вели2ял 2кп чине К прибавить — или вычесть из нее —, равную длине века а тора основных трансляций А обратной решетки (см. (1.3)). Поэтому для описания движений атомов достаточно использовать значеи ния К, удовлетворяющие условию К~ —. В случае трехмерной а кристаллической решетки этому условию удовлетворяют волновые векторы К, лежащие внутри первой зоны Бриллюэна. Колебательное движение атомов с векторами К, лежащими вне первой зоны Бриллюэна, эквивалентно движению этих атомов с векторами К, лежащими внутри первой зоны Бриллюэна, но отличающимися от них на один из векторов обратной решетки, поскольку как амплитуды, так и фазы колебаний всех атомов в обоих случаях оказываются идентичными.
138 Колебания атомов в кубической кристаллической решетке с базисом из двух атомов. Рассмотрим для простоты изложения кристалл с кубической примитивной элементарной ячейкой с периодом решетки а и базисом из двух атомов (рис. 3.7), обладающих массами М, и М,. В этом кристалле плоская продольная волна (случай поперечной волны анализируется подобным образом) распространяется вдоль кристаллографического направления (100]. Причем атомы массой М| (см. рис. 3.7), расположенные в одной плоскости (100) с номером гч будут смещаться на величину и, с одной фазой вдоль нормали к этой плоскости (вдоль направления (100]), т. е. вся плоскость атомов будет колебаться как целое.
Аналогично атомы массой Мз (см. рис. 3.7), расположенные в одной плоскости с номером з, будут смещаться на величину и, с одной фазой вдоль нормали к этой плоскости (вдоль направления 1100]), т. е. вся плоскость атомов будет также колебаться как целое. Предположим, что на один выбранный атом в плоскости с номером з будут действовать атомы двух ближайших плоскостей и тогда будем учитывать только коэффициенты С1 — — С 1 — — С (см. формулу (3.5)). В случае малых смещений атомов и, и и, сила, действующая со стороны атомов ближайших плоскостей, пропорциональна разности смещений и„1 — и,. и па — и, (для атомов массой Мз) и и е, ивы е,м и,ы л.г 1 з-1 з 1 а з а+1 я+1 а+2 Рис.
3.7. Колебания атомов кубической кристаллической решетки с базисом из двух атомов в плоской продольной волне, распространяющейся вдоль направления [100] 139 Функции смещения атомов будем искать в виде плоских продольных волн с амплитудами ио и цо. и„, = ис ехр( — (ои) ехр((Ках); о,, = о„ехр( — (ш!) ехр((Кая). (3.12) После подстановки соотношения (3.12) в (3.11) получим систему двух линейных однородных уравнений относительно ия и ц„: -оз М ио =Сцо[! +ехр( — (Ка))-2Сис оз Мг цо — — Сио"!! + ех р((КаН вЂ” 2 С но (3.13) которая имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю: 2С вЂ” оз~М, — С!1+ ехр( — (Ка)) =О.
— С(1+ехр((Ка)) 2С вЂ” ш~Мз (3.14) Уравнение (3.14) можно записать в виде М,Мтоз — 2С(М~+Мз)оз +2С (! — сояКа)=0. (3.15) Результаты решения биквадратного уравнения (3.15) при произвольных значениях К приведены на рис. 3.8 (см. далее задачу 3.3). Наибольший интерес представляет решение зтого уравнения в случаях малых значений К и вблизи значения К =+к/а. При малых значениях К получаем соя(Ка) =1 — (1/2)К а .
Тогда уравнение (3.15) имеет два корня: ( 1 1 '), СК'а' оз~ = 2С~ — + — ~, ш~ = (3.1б) М> Мз 2(М~ + Мз) 140 и, — с,, и с,— и, (для атомов массой М,) ближайших плоскостей от их положения равновесия. Согласно второму закону Ньютона для атомов, обладающих массами Ми Мз (см. рис. 3.7) и находящихся на плоскостях с но- мером х, выполняются соотношения Ы и, ' =С!(о,,— и,)+(ц,— и,)); й~ Ы~ц, Мт ' =СНи,,ы — ц,,)+(и,,— ц,)) Й (гс(1гмгггмг))~~г (2СГМг)1 г (2см1) нг — 2л!а — я1а о к!а 2к/а К Рис. 3.8. Зависимость гп(К) для плоской продольной волны, распространяющейся вдоль крнсталлографического направления [100] в кубической кристаллической решетке с базисом нз двух атомов: /, 2 — оптическая н акустическая ветви зависимости ш(К) соответственно Первый корень в соотношениях (3.16) соответствует оптической ветви дисперсионной зависимости фонона ш(К), а второй— акустической ветви дисперсионной зависимости фонона со(К).
Для оптической ветви со(К) из системы уравнений (3.13) следует, что атомы колеблются приблизительно в противофазе: при ип М, К = 0 выполняется соотношение — = — —. Такой тип колебаний "о Мг (рис. 3.9, б) возбуждают переменным электрическим полем электромагнитной волны (как правило, оптического и инфракрасного диапазонов) в случае разных зарядов атомов, обладающих массами Мп Мг; отсюда и появилось название «оптический фонон» (см. далее задачу 7.1). Отметим, что действием магнитного поля в рассмотренном случае пренебрегают, поскольку магнитное поле волны при малых скоростях движения, согласно законам электродинамики, значительно слабее воздействует на заряды, чем электрическое поле.
Для акустической ветви ш(К) из системы уравнений (3.13) следует, что атомы колеблются приблизительно в одной фазе: при К =0 выполняется соотношение ипlп =1. Такой тип колебаний (рнс. 3.9, а) возбуждают переменной силой, воздействующей на горец кристалла. Эти колебания соответствуют акустическим ко- 141 Рнс. 3.9. Зависимости и(х) и л(х) в случае акустического (а) и оптического (л) типов поперечных колебаний атомов в волне, распространяющейся вдоль оси Ох: ° — атомы массой М,; о — атомы массой М лебаниям атомов, когда соседние атомы движутся согласованно (приблизительно в одной фазе); отсюда и появилось название «акустический фонон». В случае, когда К = +к/а, уравнение (3.15) упрощается и имеет два корня: ю = 2С/М, или ю =2С/Мз. Из рис.
3.8 следу- 2 2 ет, что при К =+и/а один корень попадает на оптическую ветвь ю(К), а другой — на акустическую. В некоторой области частот ю уравнение (3.14) не имеет решения, а значит, упругая волна не может распространяться в кристалле с базисом из двух атомов. Более детальный анализ волнового процесса показывает, что решения уравнения (3.15) для этой области частот соответствуют комплексным значениям К, что приводит к быстрому уменьшению амплитуды волны в кристалле (см.
также задачу 3.2). Подробнее эти вопросы рассмотрены в литературе по теории волновых процессов. Колебания атомов в кристаллической решетке с базисом из нескольких атомов. Рассмотрим этот тип колебаний по той же схеме, что и для решетки с базисом из двух атомов. С математической точки зрения потребуется решить большее число уравнений, так как определитель (3.14) однородной системы будет большего порядка. В результате в случаях, аналогичных рассмотренным выше, для элементарной ячейки, содержащей г атомов, получаются г корней уравнения типа (3.14) как для плоской продольной волны, так и для плоской поперечной; часть из них принадлежит акустической ветви ю(К), а другую часть — оптической ветви го(К).
Всего будет три акустические ветви и (Зг — 3) оптические ветви дисперсионной зависимости го(К), а в сумме — Зг ветвей фононного спектра. 142 Задача 3.1. Покажите, что уравнение (З.б) можно преобразовать в волновое уравнение сплошной среды при К «1/а (большие длины волн) и учете взаимодействия атомов только с ближайшими плоскостями и. Решение. Запишем уравнение (3.6), учитывая взаимодействие атома только с ближайшими плоскостями, тогда останутся два слагаемых, соответствующих р = 1, р = -1. Ы и, М вЂ” „' = С,(иьн — и,)+ С,(игм — и,) = йг = С, [и(х+ а) — 2и(х) + и(х — а)1. Применим известную в математике формулу конечных разностей для второй производной по коордннатех: Н и и(х+ Ых) — 2и(х)+ и(х — Нх) и(х+ а) — 2и(х) + и(х — а) г г а Сопоставляя два этих соотношения, получаем волновое уравнение д и, С,а Э~и а/' М а ' где С,а / М равно квадрату скорости продольных акустических волн. г Задача 3.2.
Покажите, что при К =к/а подрешеткн кристалла с базисом нз двух разных атомов (см. 3.2) движутся независимо друг от друга. Решение Найдем отношение амплитуд ие и ов для акустической и оптической ветвей ш(К) при К = к/а. Для этого подставим значения частоты оэ(к/а) в систему уравнений (3.13). Получим, что для акустической ветви ш(К) отношение ие/гя = О, а для оптической ветви— ьв/ие — — О. Первому случаю соответствует движение атомов, обладающих массами М, (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
