Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Фононная теория объясняет зависимость коэффициента теплопроводности от температуры (рис. 3.18). Основные особенности этой зависимости — наличие максимума при температурах 20...50 К и уменьшение коэффициента как при высоких, так и при низких температурах. Тепловую энергию могут переносить и свободные электроны, которых очень много в веществах, называемых проводниками (см.
4.2). Как правило, свободные электроны обеспечивают в проводниках даже больший вклад в теплопроводность, чем фононы. Вклад элек! тронов проводимости в теплопроводность рассмотрен далее в 4.6. Коэффициент тепло проводности аморфных твердых тел обычно значиТ,К тельно ниже, чем кристаллических. Рис. 3.18. Типичная заан- Аморфные твердые тела можно рассимость х(Т) лля хрястая- сматривать как предельный случай крилических диэлектриков сталлических, но содержащих огромное 160 число дефектов. В таком случае эффективная длина свободного пробега фононов уменьшается, вследствие чего уменьшается и коэффициент теплопроводности.
Задача 3.5. Получите формулу, аналогичную (3.34), для чего вычислите средние расстояния между атомами кристалла (х) при заданной температуре. Считайте, что вероятность нахождения атомов в заданном диапазоне расстояний пропорциональна фактору Больцмана, Р = Рс екр(-УУ(х)1)гТ1. Решение Воспользуемся формулой для вычисления среднего значения величины (х): где Р(х) — малая величина при х < О: Г-И (хД '(х) =Роехр~ ~н ИТ 1 И'(хо)+ с(х — х„) — у(х — хо) 1Т И'(х )+с(х-хо)' я(х-хс)' )сТ КТ Затем разложим вторую экспоненту в ряд по параметру (х — хо), учитывая малость величин я(х-хо) )1сТ: з я(х — х ) ~ я(х — хв) с екр н! + )гТ ~ ИТ Вычислив интегралы, получим 381 (х)=х + — Т. 4с ь — з500 = Рв екр : — Рс ехр ~хР(х)йх ~ хР(х)сЬ (х) = ~Р(х)г)х ~ Р(х)сЬ о 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ Кристаллические твердые тела различаются электрическими свойствами, одни из них (металлы) хорошо проводят электрический ток, их принято считать проводниками, а другие (диэлектрики) — практически не проводят, их принято считать изоляторами.
Промежуточное положение между этими группами твердых тел по удельной электропроводности занимают вещества, называемые полупроводниками. Способность различных веществ по-разному проводить постоянный электрический ток под действием не изменяющегося во времени электрического поля обусловлена главным образом особенностями распределения электронов по уровням энергии формирующих кристалл атомов.
На вид этого распределения влияет периодическое расположение атомов вещества, формирующих в пространстве трехмерный электрический потенциал, в электростатическом поле которого движутся электроны. Характер движения электронов определяется их дифракцией на кристаллической решетке (см. гл, 1). Данная глава посвящена электрическим свойствам твердых тел. Особое внимание уделяется движению электронов в электростатическом поле кристаллической решетки, позволяющему объяснить электрические и тепловые свойства твердых тел.
Подробно рассмотрены электропроводность, фотопроводимость и эффект Холла в полупроводниках, а также пьезоэлектрический эффект и свойства сегнетоэлектриков. Кроме того, описаны принципы работы многих важных для техники полупроводниковых устройств: диодов, стабилитронов, генераторов тока, охладителей, световых и лазерных диодов, транзисторов. 162 4.1. Электронные состояния в твердых телах Подходы к определению электронных состояний. Каждый электрон в кристалле движется в сложном поле, создаваемом ядрами и электронами. Описать поведение электрона в кристалле и тем самым найти систему его энергетических состояний с помощью уравнения Шредингера очень сложно и в настоящее время не удается, поэтому используют различные упрощающие приближения.
Во-первых, учитывают движение только внешних электронов в поле периодически расположенных ионных остовов, содержащих ядро атома и электроны внутренних подоболочек. В этом случае удобнее использовать уравнение Шредингера для электрона, поскольку он движется в более слабом поле с потенциалом периодически расположенных ионных остовов. Однако такой подход позволяет решать в основном одномерные задачи движения электронов (например, модель Кронига — Пенни). Во-вторых, рассматривают два наиболее распространенных частных случая: приближение сильной связи и приближение почти свободных электронов.
В рамках приближения сильной связи считают, что энергия взаимодействия электрона со своим атомом значительно превышает энергию его взаимодействия с другими атомами. Иными словами, электроны, связаны со своим атомом, на который другие атомы оказывают малое влияние своими электромагнитными полями, лишь расщепляют их энергетические уровни. Подобным образом энергетические уровни энергии атома расщепляются под воздействием внешнего магнитного поля (эффект Зеемана).
В этом случае взаимодействие атомов незначительно изменяет картину энергетических уровней электронов изолированного атома. В рамках приближения почти свободных электронов считают, что электрон движется почти свободно в слабом поле периодически расположенных ионных остовов, которое рассматривают как малое возмущение. При этом кинетическая энергия электрона намного превышает энергию взаимодействия этого электрона с ионами.
В настоящее время такой подход наиболее удачный как с научной, так и с методической точки зрения, поскольку позволяет наглядно объяснить почти все важные для практики и наблюдаемые экспериментально закономерности и эффекты. Периодический потенциал. Если кристалл рассматривать как систему упорядоченно расположенных ионов, то естественно пред- 163 ь положить, что потенциальную энергию электрона У(й) = У(х, у, г) можно представить периодической функцией координат, которую также называют периодическим потенциалом: у(х+ ал„у, х) = сГ(х, у, я); Еу(х, у+ Ьлз„г) = сГ(х, у,г); (у(х, у, х+ слз) = сГ(х, у, г), (4.
1) где л,, лз, лз — целые числа. Отклонения от периодичности в расположении атомов, а значит, и искажения функции (1(х, у, х) неизбежны вблизи поверхности кристалла. Так как число атомов вблизи поверхности намного меньше числа внутренних атомов, обычно влиянием поверхности на уровни энергии пренебрегают. Чтобы упростить математическое решение задачи, рассматривают кристалл простой, например кубической, формы как потенциальную яму кубической формы с длиной ребра куба Е = Уа (а — период решетки, а У вЂ” число элементарных ячеек, У = 10 ), причем граничные условия для вол- 8 новой функции электрона Ч' считают периодическими: Ч'(х+ Е, у, г) = Ч'(х, у, г); Ч'(х, у+ А, х) = Ч'(х, у, г); Ч'(х, у, х + Б) = Ч'(х, у, г). (4.2) Ж„-(р) = и„-(й)ехр(й, г). (4.3) 164 В этом случае рассматриваемый кристалл как бы окружен со стороны всех граней многочисленными его копиями, а периодический потенциал внутри кристалла экстраполируется на все бесконечное пространство.
Граничные условия (4.2) называют условиями Бориа — Кармана. Их использование значительно облегчает решение различных физических задач (см. 3.3). Волновая функция электрона в поле с периодическим потенциалом такого абстрактного кристалла обладает важными свойствами, вытекающими из теоремы Блоха. Теорема Блоха. Американский физик Ф. Блох доказал теорему, из которой следует, что решение уравнения Шредингера с периодическим потенциалом (4.1) можно представить как Ч'„- (х) = и-(х) ехр((ях).
(4.4) Чтобы выполнялись граничные условия (4.2) в точках х = О и х = А, следует считать, что я = (2п/ Е)л, где л = О, 1, 2, 3... Выделим ячейку с номером п, содержащую промежуток 1 (хе(ап;ап+с1), соответветствующий У(х)=О, и промежуток 2 (х е 1ап ~- с; а(п + 1)1), соответствующий У(х) = С' . Записав уравнение Шредингера 12~т СУ Ф + 2 т <Š— У(х)1 = О, (4.5) где Š— полная энергия электрона, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, и подставив в него выражение (4.4) для волновой функции Ч'-(х) и еевторуюпроизводную, 165 Функции вида (4.3) называют функциями Бяоха. Волновой вектор /с в формуле (4.3) принимает значения, при которых выполняются граничные условия (4.2)„а и„-(й) есть периодическая функция, как потенциал (4.1). Таким образом, решение уравнения Шредингера можно представить как произведение функции плоской волны вида ехр(й, й) и периодической функции и-(й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
