Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Число электронных состояний окажется кратным 2гх'. Модель почти свободных электронов. Существует большая группа кристаллических твердых тел (например, металлы), в которых внешние электроны атомов обобществляются и могут относительно свободно перемещаться по кристаллу. В этом случае очень удачной оказывается модель почти свободных электронов, в рамках которой считают, что электроны в кристалле движутся внутри потенциальной ямы, размером с кристалл, в слабом поле периодически расположенных ионных остовов. В качестве первого приближения для описания поведения электронов в кристалле полем периодически расположенных ионных остовов пренебрегают и используют модель электронного ферми-газа. Ввиду особой важности этой модели рассмотрим основные выводы теории, называемой приближением свободных электронов.
Чтобы получить систему электронных состояний в пространстве волновых векторов электронов, необходимо решить уравнение ШрЕдингера для трехмерной потенциальной ямы кубической формы, ребро которого имеет длину Е. В случае выполнения граничных условий (4.2) система электронных состояний имеет допустимые значения волнового вектора Й = (11„Й~, А, ): Е„= Š— Е„= Е = — = = — (7г~ + lг~ + 1г~~). (4.16) Р (и") й з г 2т 2лз 2из При температуре Т = 0 К все Х электронов в соответствии с принципом Паули стремятся занять электронные состояния с самыми малыми значениями Е (но не более одного электрона на одно состояние).
В таком случае в 1г-пространстве занятые состояния окажутся внутри шара радиусом 7гг. Поверхность этого шара называют поверхностью Ферми, а соответствующую ей энергию электронов — энергией Ферми Ег. Энергия электронов распределена в интервале от 0 до Ег. Число электронов с энергией в интервале '1Е; Е + йЕ) задается функцией плотности электронных состояний д(Е), ИФ = я(Е)гТЕ. Согласно теории ферми-газа имеем г2 Ее — — — (Зп и) ', 2т (4.
17) д(Е) = и,, Л. Здесь и — концентрация свободных электронов; Р = Š— объем 3 кристалла. При повышении температуры вероятность заполнения электронных состояний электронами ферми-газа задается функцией занятости электронных состояний (рис. 4.3), имеющей вид (4.18) Х(Е) = ехр1(Š— Е у1)гТ~1+1 Ег Рис. 4.3.
Функции занятости электронных состояний электронами ферми- газа при различных значениях температуры, Т, < Т, < Т, 173 Отметим, что для всех металлов при любой температуре, включая температуру их плавления, энергия Ферми в 50 и более раз превышает ИТ. Поэтому электронный газ в металлах рассматривают как сильно вырожденный электронный ферми-газ. Таким образом, рост температуры ведет к незначительному размытию поверхности Ферми в Ь-пространстве.
Энергия Ферми при повышении температуры незначительно уменьшается, ее задают формулой (4.19) Потенциальную энергию электрона в поле периодически расположенных ионных остовов в модели почти свободных электронов рассматривают как периодическую функцию с периодами, соответствующими параметрам кристаллической решетки; для нее выполняется соотношение У(х+ ап,, у+ Ьпз, в+ сиз) = У(х, у, е), (4 20) где а, Ь, с — длины векторов а, Ь, с элементарной ячейки. Принято считать, что потенциальная энергия электронов в поле периодически расположенных ионных остовов имеет большое значение только в малой области вблизи центра ионов в силу эффекта экранирования заряда ядра электронами ионного остова.
Поэтому ее рассматривают как малое возмущение. Согласно теореме Блоха вид волновой функции электрона (4.!5) при появлении периодического поля с потенциальной энергией вида (4.20) изменяется в соответствии с формулой (4.21) Ч' = и-(Р)ехр(й, г), где и (г) — периодическая функция, зависящая от векторов Й и г и имеющая те же периоды, что и потенциальная энергия электрона в поле периодически расположенных ионных остовов.
В рамках модели приближения почти свободных электронов считают, что практически во всем пространстве внутри кристалла периодическая функция и„-(г) близка к единице, и только в малых областях внутри ионных остовов она заметно отличается от еди- 174 ницы. Волновая функция электрона почти во всем объеме кристалла будет иметь вид, близкий к плоской волне, Ч' а ехр(й, Е). При учете поля периодически расположенных ионных остовов в модели почти свободных электронов изменяется зависимость энергии электрона от волнового вектора, в частности, от его направления в кристалле. Поверхность Ферми приобретет более сложную форму, однако она остается центрально-симметричной, так как в кристалле для зависимости энергии электрона от вектора А выполняется соотношение ЕЯ)= Е( — й).
Покажем, что наиболее значимые особенности функции ЕЯ) наблюдаются вблизи границы первой зоны Бриллюэна (см. 13). Для наглядности рассмотрим примитивную кубическую кристаллическую решетку с периодом решетки а. Пусть электрон движется вдоль направления 1100) и его волновой вектор й =(й;0;О) (рис. 4.4, а).
Пренебрегая полями периодически расположенных ионных остовов, можно, используя формулу (4.16), получить квадратичную зависимость энергии электрона от его волнового вектора (рис. 4.4, б). Как известно, электрон обладает волновыми свойствами, например, имеет длину волны де Бройля Х = 2пИ. При ).
= 2а, или к = пlа, выполняется условие интерференционного усиления волн, рассеянных ионами в противоположном оси Ох направлении. Действительно, оптическая разность хода волн, рассеянных соседними атомами, равна 2а; при А = л/а на ней уложится целое число длин волн де Бройля электрона. Тогда появится интенсивная отраженная волна, которая будет интерферировать с падающей волной, что приведет к образованию стоячей волны. Стоячая волна, изображенная на рис. 4.4, а для двух моментов времени, отличающихся на половину периода волновой функции, может иметь пучности либо в узлах кубической примитивной кристаллической решетки, либо посередине между ними.
Отметим, что в других местах пучности не могут располагаться, так как в противном случае нарушилась бы симметричность расположения пучностей электронного облака относительно кристаллической решетки. Это недопустимо, поскольку неизбежно нарушается изначально предполагавшаяся симметричность кристалла в целом. 175 !1оо! 1 ! /!/ ~/ Зона П! Заире щ иная зона Зона П Запре щ иная зона Зона 1 — 2к/а о я/а 2я/а -и/а 176 Рис. 4.4. Схемы распространения электронных волн в примитивной кубиче- ской кристаллической решетке с периодом и и образования стоячей волны в этой решетке 1а); зависимость энергии электрона от его волнового вектора в модели свободных электронов и в модели почти свободных электронов 1б) Плотность вероятности обнаружения электрона в точках пространства и средняя электронная плотность в кристалле связаны с квадратом модуля волновой функции электрона.
Очевидно, что при расположении пучностей стоячей волны (волновой функции электрона и максимумов электронной плотности) в месте расположения ионов в кристаллической решетке энергия взаимодействия отрицательно заряженного электронного облака с положительно заряженными ионами будет меньше, чем при расположении пучностей стоячей волны между ионами кристаллической решетки.
Таким образом, при й = — должно наблюдаться не одно, а а два различающихся значения функции ЕЯ,). Учитывая непрерывность ЕЯ„') при всех остальных значениях к, можно построить график зависимости Е(й,) (см. рнс. 4.4, б). Этот результат можно обобщить и на электроны, волновой вектор которых не параллелен направлению 1100] 1см. рис. 4.4, а). Тогда при попадании конца вектора й на границу первой зоны Бриллюэна, согласно формуле (1.20), выполняется условие Брэгга— Вульфа (1.19) и формируется интенсивная отраженная волна. В этом случае можно показать, что будут образовываться стоячие волны, что приведет к разрыву зависимости ЕЯ) при попадании конца вектора к на границу первой зоны Бриллюэна.
Таким образом, на границе первой зоны Бриллюэна должен наблюдаться разрыв зависимости ЕЯ). Как было показано выше, число электронных состояний в первой зоне Бриллюэна равно 2Ф (при учете спина электрона), т.е. равно числу электронных состояний в энергетической зоне. Отметим, что на рис. 4.4, б точке 1 соответствуют электронные состояния с наибольшей электронной плотностью вблизи ионных остовов; близкое к этому распределение заряда имеют электронные состояния з-электронов изолированных атомов.
Это соответствует захвату электрона потенциальной ямой — ионом. Таких электронных состояний у М изолированных атомов будет 2М, что равно числу состояний в первой зоне Бриллюэна. На рис. 4.4, б точке 2 соответствуют электронные состояния с наименьшей электронной плотностью вблизи ионных остовов; близкую к этой форме имеют электронные облака р-электронов изолированных атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
