Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Считать, что в меди валентные электроны описываются моделью электронного ферми-газа с заданной энергией Ферми Ег и концентрация валентных электронов задана и равна и. Решение. Длина свободно~о пробега !=и„т, где цл — скорость движения электронов с энергией Ев Величину т определим по формуле (433), а ц — по формуле Е, = те !2. Энергию Ферми Е, меди вычислим по формуле (4.
! 7). 4.4. Электрические свойства полупроводников Электропроводность большинства полупроводников можно рассматривать с позиций классической механики, т.е. считать, что одновременно можно измерить координаты и импульс как электронов, так и дырок, а движение каждого электрона и дырки можно отслеживать индивидуально. Проанализировав вид функции занятости состояний (см. (4.18)) в случае сравнительно узкой запрещенной зоны (рис. 4.12, штриховкой отмечены занятые электронами состояния), сделаем два важных вывода.
1. Так как число электронов в зоне проводимости должно равняться числу дырок в валентной зоне, то площади 1 и 2 должны быть приблизительно равны (с малыми поправками на эффективные массы электрона и дырки и трехмерное распределение со- Зона проводимости Запрещенная зона Ввлевтввя зона )(Е) Рис. 4.12. Схема распределения по электронным состояниям в полупроводнике; l — электронов в зоне проводимости; 2 — дырок в ввлентной зоне !95 стояний в пространстве волновых векторов), что возможно, если уровень Ферми совпадает с серединой запрещенной зоны.
Это утверждение можно доказать более строго (см, далее задачу 4.8) и получить малую поправку для энергии Ферми при Т > О, связанную с различием эффективных масс электронов т, и дырок гль: Е -(Т) = Е (Т =0)+ — ИТ)п — , '. 3 иь 4 т,' (4.37) В связи с тем, что в полупроводниках имеется два типа носителей заряда, эффективную массу электронов и дырок, а также другие их параметры будем обозначать с индексами «е» и «Ь» соответственно. При повышении температуры энергия Ферми в проводнике незначительно смещается к зоне проводимости, если гл„> т„и к * валентнои зоне, если ть <т,.
2. Так как (Š— Е ) » ИТ, то формулу (4.18) для вычисления вероятности встретить электрон в зоне проводимости (н дырки в валентной зоне) можно представить в виде распределения Больцмана: 7" (Е) = 1 = Сехр[ — (Š— Ер) !!гТ), (4.38) ехр((Š— Е )!!гТ)+1 196 где С = сольц Отметим, что Т(Е) «1 при (Š— Е ) » !гТ, т.е. большая часть состояний в зоне проводимости свободна. Это позволяет прн описании поведения электронов и дырок использовать классические подходы, в частности, считать электронный газ в зоне проводимости невырожденным.
Величину Е удобно отсчитывать от верхней границы валентной зоны. Беспримесные полупроводники. Рассмотрим в качестве полупроводника кремний, имеющий кристаллическую структуру типа алмаза, в которой каждый атом соединен четырьмя валентными связями с ближайшими атомами. При температуре Т= 0 К все связи заполнены электронами, что соответствует полностью заполненной валентной зоне и пустой зоне проводимости, отделенной от валентной зоны по шкале энергии на 1,1 эВ. При повышении температуры примерно до 200...300 К некоторые электроны из валентной зоны смогут перескочить в зону проводимости; это соответствует переходу электрона из ковалентной связи на место дырки (рис.
4.13, 1) и превращению его в свободно перемещающийся внутри кристалла электрон. На месте опустевшей ковалентной связи образуется дырка — разорвавшая- Рис. 4.13. Схема образося ковалентная связь, которую покинул ванна н движения элекэлектрон. Электрон из соседней связи тРонов (в) и дырок (в) в может перескочить в дырку, тогда дырка полупроводниках; как бы переместится на новое место (см.
7 — образование пары эвеярис, 4,13, 2), Поскольку электроны и тРсн — дв~Рхв' 2 — иеРехсд дырки образуются парами, то, очевидно, эдектРснв нз коввдентнсй связи нв место дырки; 3— что число дырок в рассмот!теином слу рекомбинвния электрона и чае равно числу электронов. дырки Один из свободных электронов может занять одну из дырок; в результате они оба исчезнут, такой процесс называется рекомбиназ!пей электрона и дырки (см.
рис. 4.! 3, 3). Вероятность рекомбинации пропорциональна произведению концентраций электронов и дырок. Вероятность зарождения пары электрон — дырка зависит от температуры полупроводника (а также от частоты и интенсивности излучения, падающего на полупроводник). В состоянии равновесия устанавливается равенство значений скорости зарождения и рекомбинации электронов и дырок, зависящих от концентраций последних и температуры полупроводника, а также от частоты и интенсивности падающих на полупроводник излучений. Можно получить зависимость электропроводности полупроводника от температуры (см.
далее задачу 4.9). Вероятность образования пары электрон — дырка с минимальной энергией будет максимальной согласно формуле (4.38). Очевидно, что такая пара сможет образоваться, если электрон проводимости обладает наименьшей энергией, а дырка — наибольшей (рис. 4.!4). Именно такие пары образуются при температуре около 107сТ и дают основной вклад в концентрацию и свободных носителей заряда.
Тогда ~Е /(2 — Е)~ ( — Е п(Т) = и ехр~ ~ = л ехр~ — ~!. (4.39) )Т ~ ' ~ г)Т)' 197 Зона проводимости Запрещенная зона Ваяентная зона Рис. 4.14. Схема энергетических уровней в беспримесном полупроводнике ( — е 1 о(Т) = его ехр~ — ~!. ~, гит)' (4.40) Зависимость (4.40) подтверждается экспериментально (рис. 4.! 5). Тангенс наклона прямой линии зависит от ширины запрещенной зоны беспримесного полупроводника, что используют для экспериментального измерения ширины запрещенной зоны. 1па 1по О 11Т О 1!Т а б Рис. 4.15.
Зависимость логарифма проводимости беспримесного (а) н донорного (б) полупроводников от температуры 198 Согласно соотношению (4.34) электропроводность беспримесного проводника пропорциональна концентрации свободных носителей заряда и среднему времени между столкновениями для электронов и дырок. Пренебрегая зависимостью среднего времени между столкновениями для электронов и дырок от температуры (малозаметной по сравнению с экспоненциальной зависимостью (4.39)), аналогичную формулу запишем и для электропроводности полупроводника: Ширина запрещенной зоны некоторых полупроводников определяется температурой и давлением, что приводит к изменению проводимости и концентрации носителей, экспоненциально зависящих от ширины запрещенной зоны.
Это обстоятельство позволяет использовать полупроводниковый кристалл как датчик для измерения давления и температуры. Подвижность носителя электрического тока. Ток в полупроводнике формируется свободными электронами и дырками, концентрации которых обозначим через п„и пь Плотность тока в полупроводнике, помещенном во внешнее электрическое поле, можно записать как ~' = — и, (й,) е+ пь (йл) е. (4.41) (бл) = рлЕ и (й,) = — р,Е. (4.42) Из формулы (4.42) следует, что подвижность носителя численно равна дрейфовой скорости движения носителя в поле (Е) единичной величины.
Подвижность носителей — важное в физике полупроводников понятие. Запись многих сложных соотношений теории полупроводников с помощью понятия подвижности сильно упрощается (см., например, 4.4). В частности, соотношение (4.41) принимает вид г' = (п,)г, + илрь)еЕ.
(4.43) Обычно подвижность электронов значительно выше, чем подвижность дырок, поскольку перемещение дырки — более сложный процесс, связанный с перескоками многих электронов. Примесная проводимость полупроводников. Некоторые примеси даже при малых их концентрациях очень сильно изменяют проводимость полупроводника. Такие примеси приводят к появлению избыточного количества свободных электронов или ды- 199 Здесь (б,) и (й„) — дрейфовые скорости электронов и дырок. Сопоставляя закон Ома, записанный в дифференциальной форме, ~' =оЕ, с формулами (4.41) и (4.34), получаем, что (6,) и (6„) пропорциональны вектору Е. Введем новую величину — подвилсность носителей электрического тока: дырок ()гл) и электронов ()г,) с помощью соотношений: рок. Их называют соответственно донорными нримесями (отдающими электроны) или акиенторными примесями (забирающими электроны). Получившийся после добавления донорных примесей полупроводник называют донорным полупроводником.
Также его называют электронным полупроводником вследствие избытка в нем свободных электронов, или полупроводником л-типа (от слова неяаИге — отрицательный) вследствие избытка в нем отрицательных свободных носителей заряда. Получившийся после добавления акцепторных примесей полупроводник называют акиепторным полупроводником. Его также называют дырочным вследствие избытка свободных дырок, или полупроводником р-типа (от слова роя(11че — положительный) вследствие избытка положительных свободных носителей заряда. Донорные полупроводники.
Такие полупроводники получают путем добавления в них элементов, от которых легко отрывается электрон. Например, если к четырехвалентному кремнию (или германию) добавить пятивалентный мышьяк (или фосфор), то последний свои четыре валентных электрона использует для создания четырех валентных связей в кристаллической решетке, при этом пятый электрон окажется «лишним», Такой электрон движется около своего атома-иона, обладающего избыточным положительным зарядом, приблизительно по тем же законам, что и электрон в водородподобных атомах.
Энергия ионизации такого электрона мала и составляет примерно 0,02...0,05 эВ (см. далее задачу 4.5), поэтому он легко отрывается от своего атома и начинает относительно свободно перемещаться по кристаллу. В таком случае в кристалле образуется избыток свободных электронов. Не следует забывать и об образовании пар электрон — дырка (как в случае беспримесного полупроводника), однако для этого требуется значительно большая энергия и поэтому вероятность такого процесса при комнатных температурах достаточно мала в соответствии с формулой (4.23). Электроны в донорном полупроводнике принято называть основными носителями заряда, а дырки— неосновными носителями заряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
