Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 20
Текст из файла (страница 20)
т и Следовательно, Я = С~к 1п Т+ В 1п У+ Во, где Яо — постоянная интегрирования. Замечание. Если имеется п молей газа, то в силу экстенсивности энтропии Я соотношение (1) принимает вид Я(Т, У, и) = п (СЬ 1п Т+ В 1п — + Яо) . (2) 8. Так как газ аднабатически расширяется в вакуум, он не совершает работы (Ы'А = О) и не обменивается теплом с окружакещей средой (д'(е = О).
Согласно первому закону термодинамики, изменение его внутренней энергии У также равно нулю. Тогда изменение его температуры также равно нулю, так как для идеального газа в силу (1.12) ЫС = пС~е(Т. Энтропия идеального газа определяется выражением Я = п (Сг 1п Т + В 1п — + Во) Решения имеем (см. пример 2) ~ — ") =т( эр ) — Р=О.
Умножая это уравнение на р, находим т — „, — 1(т)=о в) (т) (2) Интегрируя его, получаем ~ (Т) = сопев Т. (см. замечание к предыдущей задаче). Поэтому приращение энтропии в этом процессе будет иметь вид ЛЯ=Я(т, 'г'в) — Я(т, У~)=пВ[п — в, откуда вытекает, что ЛЯ ) О, так как Рв - Ко Следовательно, при этом адиабатическом процессе происходит возрастание энтропии. Согласно, второму закону термодинамики, такой процесс является необративпям. 9.
При квазистатическом изменении состояния идеального газа, которому соответствуют кривые на фиг. 34, имеет место следующее равенство [см. гл. 1, и ример 3, соотношения (1) и (3)): а О=с,ат+ра =С, а — Уир. (1) Приращение энтропии (гвму) р при постоянном давлении имеет вид (л.),= ~'","', тв а при постоянном объеме г, гс'ат т Фиг. 34. г, Следовательно, отношение приращений энтропии равно Ср/Сг„ если Сг и Ср постоянны.
10. Мы уже установили, что рр=у(т) и и=и(Т). Из основного уравнения термодинамики дн+р яр т Гл. 2. Второй локон термозинонини (12 Константа не зависит от температуры и объема, следовательно, уравнение состояния имеет форму ра = АТ (А — константа).
(4) 11. Из равенства (деУУду)э = О находим Н!У = я (9) НО. Разделим на У (9) уравнение для квазнстатического процесса о'(у = 11!У + р!)У = д (9) д9 + роу. В результате получим й (у д (е) йе „ р йр й (е) и н у у " у у (е) + р Это выражение, как нетрудно видеть, является полным дифференциалом. Если теперь положить — =НЯ, то Я будет функцией состояния.
Из рассмотрения цикла Карно следует, что отношение количества тепла (,"е„полученного от горячего теплового резервуара с температурой О„к количеству тепла (',22, переданного холодному тепловому резервуару с температурой О„определяется из соотношения ЫЯ= О' — — =О, О! Оэ 1 (91) 1 (()2) откуда Н (аТЧ')+ — аТее((е ( ,~~ йь+ р йр Т Т = 4аТ 7 ЙТ + — аТ2 д)е — — 2( ( — аТ2У), Я=- —,аТ (е+сопз(. 4 2 э Следовательно, плотность энтропии 2 имеет вид 2= —,аТ .
4 3 (2) Дчя изотермического процесса и = сонэ( и р = сопэС, а для адиабатического Тоу = сопэФ и, следовательно, ру"-!2 = сопз1, Рас- (.'2 1 1(е2) О! 11(91) ' Следовательно, согласно определению абсошоткой температуры (2.5), у(9) =-сопз( Т. (Другой способ см. в решении задачи 10.) 12. Пусть !У вЂ” внутренняя энергия и Я вЂ” энтропия излучения в объеме У. Тогда РеШения смотрим цикл Карно, изображенный на фиг. 35.
Количество тепла, которым система обменивается с термостатами в процессах Фиг. 38. А -+. В и С-н 1), равно соответственно ~е и ()ю Эти величины определяются следующим образом~ в 9~= ~ (Й/-'рг(7) = — оТ',(Р— Р ), А Е. =,.Т;(Рс — Р.) С помощью соотношений для адиабатических процессов РвТЯв= ='есТс и ТАТА = РеТо или РеТ,' =УСТ„'УАТ,'=УВТ; получаем че Ое т„ те Работа, совершаемая за весь цикл АВСЙ, имеет вид е/,аТ,'(Т,— Т,);х х (е'А — Рз) и равна Равности ~),— Д. 13. Первый заков термодинамики д'~ = НХ вЂ” б('А для квазистатического процесса изменения состояния парамагиитного тела имеет вид (см.
гл. 1, пример 1) (мы рассматриваем единичный объем), где Х аависит только от температуры и не зависит от М. Из соотношения М = уХ следует, что Х = М/у = МО. Здесь у и О = 1/у также не зависят от М, а зависят только от температуры. Разделив (1) на О, получаем — = — — МЫМ=бБ, (2) 8 кубо 114 Ге. о. Второй гонон термодинамики где Я вЂ” энтропия. С помощью (1.23) хз можно записать в виде 1 (дХ/др)г 1' (до/д(е)р ' (2) Если Б считать функцией от Т и г', т. е.
Я (Т, У) = Я (Т (р, У), У), то Аналогичным образом, считая Я (Т, р) =3(Т(р, И), р), имеем Подставляя (3) и (4) в (2), находим Ск (дТ!др)г Сг ( д(е '1 Ск РС, (дТ(ду)р Ср(е ( дР /т Ср здесь мы снова воспользовались соотношением (1.23). б) Если для вычисления адиабатической магнитной восприимчивости (з = (дМ/дН)з и кзотермпческой магнитной восприимчивости (т=-. (дМ(ВН)г использовать такой же метод, что и при вычислении сжимаемости (заменяя )е -+ М и — р — и Н), то получим уз —— — (См(Ся) хт.
15. а) Один способ доказательства приведен в решении примера 2. Здесь мы дадим другое доказательство. Из равенства )и=т( — р3у=т ( — дВ),(Т+~Т~ — дВ) --р~ Л (1) (3) (5) где г(Я вЂ” полный дифференциал. Следовательно, величина 9 = = 1/)( является интегрирующим многкителем для г('(',е. Так как величина 9 зависит только от температуры, она должна быть пропорциональна абсолютной температуре.
Действительно, если мы рассмотрим цикл Карно для этого парамагнптного тела, то отношение полученного от горячего резервуара количества тепла геег к количеству тепла ь(„отданного холодному резервуару, будет равно 9г(9„как это видно из соотношения 9=$бН=$ — ",~ =-' —" — ~'. 0 ег зг 14. (Другой способ решения см. в гл.
1, пример 7.) а) Адиабатпческая и изотермическая сжимаемости определяются соответственно соотношениями Решения 115 следует +~Т( —,'8Ц= —,'~ 1Т(® р),, ®) =( зр) . (2) Подставляя зто соотношение в выражение для дГ'дГ, полученное из (1), находим б) Подставляя в (2.16) выражение для энтальпии Н=Н+ рг', имеем т( Следовательно, С учетом равенства д»Я!дрдТ=--д»Я(дТдр это дает се — Т ( — ) Аналогичным образом находим „=Т( — „,) .
б) Из соотношения (2.16) ии ="- Т ие — р ии (1) следуют равенства (ди~дТ)е =- Т (де|дТ), д»и~до дТ = Т д»е/ди дТ. Кроме того, из определения знтальпии е«=-и+ ри имеем е[й = Т да + и е[р, (2) а также д-'ЫдТдр= Тд»е~дТ др. в) Первое равенство доказано в решении задачи 15 [формула (2)].
Второе равенство доказывается следующим образом. Из (1) следует ( — '" ) —. Т ( — ".' ) — р ( — "), ( — '" ) = Т ( — ") — р ( — '" ) . 8« При другом методе решения следует исходить из соотношения дН = с[(У + рУ) = ТЙЯ + Уе[р, а затем применить метод, использованный в п. «а», 16. а) Согласно определению с, = (с['д),ЫТ„откуда с помощью второго закона термодинамики д'о = Тде [см. (2.12)), получаем Гл. В. Второй »окон л»«рмодинамики 'Гак как д»и1дТдр =- д»ш'дрдТ, то (д»(др)т = — (до!дТ)р. Другой способ решения аналогичен приведенному в примере 2. В качестве независимых переменных следует взять р и Т и исходить ив соотношения (2). 17.
а) Как найдено в решении задачи 16, ср — с,— Т~( — ) — ( — ) ~ Считая г«а(Т, о(Т, р)) Функцией от Т и р, имеем (2) Подставим теперь сюда соотношения Максвелла (д»(до)г = (др1дТ), (см. задачу 16, и. «в»). Это дает ср — с„— Т( — ) ( — ) (3) ср — — Т ( — ) откуда где мы воспользовались соотно«пеплом Максвелла (двдр)т = = — (до(дТ) р (см.
задачу '! 6, и. «в»). Аналогичным образом, используя соотношение (д»~до)т= (др/дТ)о, находим 18. Внутренняя внергия 1 з»оль идеального газа имеет вид ГГ = СиТ + Уо (Си — молярная тсплоемкость при постоянном объеме), а энтропия Я (Т, р) =- Ср 1п Т вЂ” Л 1п р + Яо (см. решение задачи 7). Здесь Уо и Яо — константы. Следовательно, свободная знергия будет иметь вид Т8 = СиТ вЂ” СрТ 1п Т+ ЛТ 1п р+ 0о — ТЯ„ а термодинамический потенциал Гиббса С Гà — ТБ+ рУ =С»Т вЂ” С»Т 1о Т+ ЛТ 1п р+ Уо — ТЯ«. Теперь воспользуемся соотношение»«(др/дТ), =: — (дЫдТ)рЦдо(др)т; после подстановки значений а и 6 получим ответ.
Другой способ решения состоит в следующем: подставим реше- ние первой части задачи 15 ив гл. 1 в решение задачи 16, и. «б», той же главы, И7 Реиееяия Изменение этих величин при скеатии газа от р = 1 атм до р = 100 атм (при Т = сопев = 293' К) имеет вид ЛЯ =- Я(Т, 100) — Б (Т, 1) = =- — Л 1п 100 = — -+ — ~ — 4,6Л вЂ” 9,2 кол!град, П 1к 1ОО Т~ е ЛР=Л«'=ЛТ1п100=293В1п100 2,7 ккол.
3 а м е ч а н и е. Здесь мы считаем Си константой, но это допущение необязательно. 19. Если объем уе и его приращение определяются выраяее- ниями е' =- а + Ьр + ср', НУ = (Ь + 2ср) Нр, (1) (2) то необходимая работа А имеет вид А = — ~ р ее«'.—.- — ( —, Ьр + — ср ) ~ (3) Подставляя сюда численные значения Ь =- — 715.10 «и с = = 46 10 ', получаем А = 326,83 атм см«(моль =- 33,116 дж(моль.
Если при этом поглощается количество тепла (), то приращение внутренней энергии ЛО' равно ЛУ=А+«ь (4) Для квазистатического процесса д=~тдЗ=-Т') а=т~ (Я,ар= — Т) (;~) д~. (5) (Здесь мы использовали соотношение Максвелла (дЯ/др)т = = — (дУ(дТ)р, см. решение задачи 16, п. «вю] Следовательно, () = —.298. (4,5+ — ° 1,4) атль см«(моль — 157,0 джоель, (6) откуда Лее'ж 123,9 дж/моль. 20. Согласно определению, приращение энтропии имеет вид Л8 = Я, — Я~ = ) с7'Гд~Т. Здесь интегрирование означает определение полного количества поглощенного тепла Ы'ф деленного на аначение температуры Т, на каждой стадии процесса квазистатического перехода из состояния 1(лед при 0' С и 1 атм) в состояние о (пар при 100'С и 1 атм).
Процесс перехода 1 — э- о можно разбить на три стадии 1 -е- пе«(где «о« вЂ” состояние воды при 0' С и 1 атм) -е- оее««(нее«« — вода при 100' С и 1 атм) -и. о. Га, 2, Второй закон термодинамики Н8 В процессе 1-э йо Ы'0 1436 — = — кал/град моль 5,26 кал/град моль. (1) Т 273 1-нао Предполагая, что прн процессе йо — +йуоо средняя теплоемкость равна Ср, имеем иа исаа ио еимо у 373 = 18,051п ( — ) калуград моль 5,63 кал/град моль, '1 273/ (2) где мы использовали приближенное равенство 1п (373/273) = =1п1,366 ж0,312.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
