Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Второй лакан термодинамики 100 13. Известно, что внутренняя энергия парамагнетика не аависит от его намагниченности М. Доказать, что температура, определяемая обратной величиной магнитной восприимчивости этого материала 3 = 1/1~ (К = М/Н), пропорциональна абсолютной температуре. 14. а) Доказать, что отношение адиабатической сжимаемости к изотермической сжимаемости равно отношению теплоемкости при постоянном объеме к теплоемкости при постоянном давлении. 1Указание. Эта задача уже была рассмотрена в гл. 1, пример 7, но здесь мы используем понятие энтропии.
Другой подход см. в гл. 3, решение задачи 5.) б) Доказать, что отношение адиабатической магнитной восприимчивости к изотермичесной магнитной восприимчивости равно отношению теплоемкости при постоянной намагниченности к теплоемкости при постоянном магнитном поле. 15.
Доказать следу1ощие соотношения: а) ( Зее ) =Т( ЗТ ) — Р. (Указание: Ж' — полный дифференциал.) 51 ( ',~ ) = — Т (ф) —; 1. 1Указание: дЯ и еУХ вЂ” полные дифференциалы.~ 16. Доказать следующие соотношения: дои доо дай доо б) = — Т вЂ”, —,=Т дТдо дТдо ' дрдр дТдр в) ( — ) = ( р ), ( — ) = — ( — ) (соотношения Максвелла), где и, Й и з — соответственно энергия, энтальпия и антропия единицы массы, а с, и ср — удельные теплоемкости при постоян- ном объеме и постоянном давлении.
17. Доказать следующие соотношения: .1 .„—.„= Т ( —,'; ) (ф) = "", где Задачи 18. Вычислить изменение энтропии, свободной анергии и термодинамического потенциала Гиббса при сжатии 1 моль идеального газа от 1 до 100 атм прн 20' С. 19. При 25' С объем воды У определяется выражением )г = 18,066 — 0,000715 р + 0,000000046 рч смз/лилль для давлений р от 0 до 1000 атлч, а — ) = 0,0045+ 0,0000014 р см'/град. моль. (')- дг ч дг )о Определить работу, необходимую для сжатия 1 лсоль воды от 1 до 1000 атм при 25' С и найти возрастание ее внутренней энергии.
20. Теплота плавления льда при 1 атм и 0' С равна М1 = = 1436,3 кал/моль, а теплота испарения при 1 атм и 100' С йчН = 9717,1 кал/моль. Считая, что средняя теплоемкость воды при 1 атм между 0 и 100' С равна 18,046 кол/град.лголь, вычислить разность ыежду энтропией 1 моль льда при 1 ат.к и 0' С и энтропией 1 моль пара при 1 атм и 100' С. 21. Теплоемкость некоторого вещества массой М в твердом состоянии равна с„а в жидком состоянии со При переходе из твердого состояния в жидкое, происходящем при температуре То, поглощается скрытая теплота (/о.
Полагая, что все удельные теплоемкости не зависят от температуры, вычислить приращение энтропии этого вещества при температуре Т1 ( То) в переохлажденном жидком состоянии по сравнению с твердым состоянием при той же температуре. (Считатгь что удельная теплоемкость переохлажденной жидкости также равна со) 22. Пусть для некоторого твердого тела экспериментально найдено, что при температуре Т в интервале давлений рл ~( р 4 рв имеет место следующая зависимость: (' —,",') =а+бр+ р'. Насколько возрастет энтропия при сжатии тела от давления рл до рз при постоянной температуре Т7 23. Выразить коэффициент У (дТ/дУ)з, определяющий изменение температуры при квазистатическоы адиабатическом расширении газа, через величины, которые могут быть найдены из уравнения состояния.
24. В эксперименте Джоуля — Томсона газ, заключенный в трубку с адиабатическими стенками, протекает при стационарных условиях через пористую перегородку из области с высоким давлением в область низкого давления, причем давления по обе стороны пористой перегородки поддерживаются постоянными Гл. 2. Второй нинон термойинииини $02 (фиг. 32). В результате этого температуры по обе стороны перегородки различны. Доказать, что в этом эксперименте эктальпия остается постоянной, и выразить через Ср и (дУ/дТ)р величину (дТ/др)к, определяющую изменение температуры (коэффициент Джоуля — Томсона). Кроме того, для тех случаев, когда в достаточно хорошем~ приближении уравнение состояния можно записать в виде рУ = НТ + В(Т)р, выразить коэффициент Джоуля — Томсона через В. Фиг.
32. 25. Гей-Люссак произвел намерения иаменения температуры газа, испытывающего свободное расширение в вакуум. Записать уравнение, определяющее изменение температуры ееТ при свободном расширении газа от объема У до ге+ еоУ. 26. Магнитная'.восприимчивость парамагнитного вещества подчиняется закону Кюри т = С/Т (С вЂ” константа), а внутренняя энергия определяется выражением У = аТо (а — положительная константа). а) Найти теплоту намагничивания, когда поле возрастает от 0 до Н„а температура сохраняет постоянное значение Тм б) Как меняется температура при адиабатическом размагничивании, т. е. при адиабатическом уменьшении поля от Н, до О? 27.
В результате измерений установлено, что в некоторой области температур намагниченность ЛХ парамагнитного тела зависит только от отношения Н/Т, т. е. М = / (Н/Т). Доказать, что внутренняя энергия не зависит от ЛХ, и найти функциональную форму энтропии Я. 28. Рассмотреть все возможные процессы, с помощью которых тело с теплоемкостью С может охладиться путем отдачи тепла от температуры Т, до температуры То ((Те) теплового резервуара. Как добиться того,'чтобы работа, совершаемая при атом процессе, была максимальной? Какова эта максимальная величина? Для простоты считать С койстантой.
29. При 0' С теплота плавления льда равна 1436,3 кале/леолги Холодильник должен проиавести тонну льда при комнатной температуре (25' С). Какое минимальное количество электроэнергии (в квт ч) необходимо для этого? Задачи (Б] 36. Вывести принцип Каратеодори из принципа Томсона. 31. Доказать, что процесс перемешивания двух различных идеальных газов путем диффузии не может быть обратимым, так как это несовместимо с принципом Томсона. 32. Два идеальных газа, по 1 моль каждого„с теплоемкостями С» и С» находятся в цилиндре, где они разделены адиабатическим подвижным поршнем. Доказать, что эта термически неоднородная система неголономна, т.
е. для приращения а'(/ не существует интегрирующего множителя. 33. Доказать, что для вещества, внутренняя энергия которого не зависит от объема, справедливы следующие утверждения: а) Теплоемкость при постоянном объеме С» зависит только от Т. б) Объем У зависит только от отношения р/Т. в) разность теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме зависит только от отношения р/Т. 34. Доказать, что у газа ван дер Ваальса теплоемкость при постоянном объеме аависит только от температуры, и найти выражение для внутренней энергии и энтропии. 35. Пусть газ подчиняется уравнению состояния ван дер Ваальса (р + а/У') (à — 6) = ЛТ, а его молярная теплоемкость при постоянном объеме С» постоянна и не зависит от температуры.
Показать, что внутренняя энергия (на 1 моль) такого газа У определяется выражением а (/=С»Т вЂ” —,. +сопзс к и что при адиабатическом квазистатическом изменении выполняется соотношение Т(У вЂ” Ь)» '=сопзс, или (р+ —,, ) (р — д) =сопэь где у = (С» + Л)/С». Кроме того, найти изменение температуры этого газа при его свободном расширении в вакуум, 36. Вычислить коэффициент Джоуля — Томсона (дТ/др)к для разреженного газа ван дер Ваальса с точностью до второго порядка по пд/т' ((<1) и яа/ГЛТ (((1). Кроме того, определить температуру Тн при которой коэффициент Джоуля — Томсона обращается в нуль, и выразить ее через критическую температуру Т, = 8а/27Лд.
37. Ни один из рейльных газов на самом деле не является идеальным. При малых значениях р уравнение состояния реального газа можно записать в виде рр=А+Вр+ Ср'+ ... (1) 104 Га. 2. Второй закон термодинамика и Х/ = а + рр + ура + ..., (2) где А, Н, С, . и сс, (), у, ... — известные функции от температуры. Показать, как с помощью этого газа можно измерить абсолютную температуру. 38. Для заданного вещества коэффициент расширения сс = =-- У ' (ду/дО)р измеряется с помощью проиавольной температурной шкалы О.
Измеряется также количество тепла — и' /Х/с)р = Хр (скрытая теплота расширения). поглощаемое при изотермическом расширении вещества при изменении давления р. Рассмотреть метод, позволяющий связать эмпирическую температуру О с абсолютной температурой, и разобрать его принципиальные основы. 39. Показать, что внутреннюго энергию Х/ и энтропию 8 единичного объема парамагнитного вещества, подчиняющегося закону Кюри — Вейсса у = — С/(Т вЂ” 6) (где С и Π— константы, Т— абсолютная температура и т — восприимчивость), можно представить в виде ХХ== ) СмдТ вЂ” —., ЛХа+ сопзг, 6 2С т йТ Мз Я= ) См — — — +солМ, Т 2С где См — теплоемкость при постоянной намагниченности /м.
40. Доказать следующее соотношение между объемной магнитострикцией и производной от магнитного момента по давлениик (йВ)р,т (Зр)в,г' Далее показать, что при изотермическом увеличении поля от О до Н изменение объема (при ) Хгр( « У) имеет вид Здесь Х вЂ” магнитный момент всего образца, р = — (1/У) х х (д7/др)я,т — изотермнческая сжимаемость, т = Х/НУ вЂ” изотермическая магнитная восприимчивость. Магнитное поле и намагниченность считать однородными во всем объеме образца.
4(. Доказать, что количество тепла 6'ф полученное системой, не обменивающейся веществом с окружающей средой, в случае изотермического процесса при постоянном объеме свяаано с минимальной работой б гр„„соотношением ( ~~мин ) 1 105 Задачи а в случае изотермического процесса при постоянном давлении— соотношением б) 'О ~ ~ "мин ) 1 (Эти уравнения называются уравнениями Гиббса — Гельмгольца или уравнениями Кельвина. Они используются для определения бИ'~„„ по иамеряемой величине б'~.) [В) 42. Как можно вычислить молярную теплоемкость газа при постоянном давлении в предельном случае р = — О, когда он становится идеальным газом, располагая реально измеренными значениями теплоемкости при конечном давлении р? 43. С помощью уравнения состояния Дитеричи р = = пЛТ (й — пЬ) ' ехр ( — па/ЛГУ) определить зависимость температуры инверсии для эффекта Джоуля — Томсона от давления и изобразить ее графически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
