Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Использо- вать закон соответственных состояний и выразить значения давления, температуры и объема череа критические величины; см. гл. 1, задача 42. Провести такое же рассмотрение для газа ван дер Ваальса, 44. Чтобы получить абсолютную температуру, нужно прокалибровать эмпирическую температуру О, измерен- 0,257 0,220 0,133 О,'153 0,129 о 25 50 75 100 ную с помощью газового.
термометра (при постоянном давлении). Для этого необходимо при фиксированном давлении определить зависимость от О плотности р, теплоемкости и коэффициента Джоуля — Томсона. Вывести основную формулу, необходимую для такой калибровки. 45. Значения коэффициента Джоуля — Томсона к для воздуха с давлением 1 кг/смн приведены в таблице. Плотность воадуха р аппроксимируется формулой 0 0012932 р -з 1 +0,0036696 760 где р — давление в мм рт. ст.
и Π— температура в 'С. В интервале температур от О до (00' С удельная теплоемкость при постоянном давлении почти не меняется и равна 0,240 кап.г т град ~. С помощью этих данных определить численное значение О С в абсолютной температурной шкале. 106 Г*. 2. Второй еакон термодинамики РЕШЕНИЯ 1. Можно считать, что термостат состоит иа тепловых реэервуаров Л„лм ..., Лп с температурами, равными соответственно Т~1'~, Т~э'~,..., Т'„'~. Рассмотрим и — 1 циклов Карно С„ Сэ,..., С„е, которые действуют следующим обрааом (см. э' 6). Цикл Се совершается между реэервуарами Ле и Лэ и получает количество тепла Е, от реэервуара Ле и Е, — от реэервуара Лэ, цикл Сэ — между реэервуарами Лэ и Л, и получает количество тепла Е,' от Л, и Ее, от Ло,..., цикл С„, — между резервуарами Лп е н Л„и получает количество тепла Е„', от Л„е и Е„' от Л„.
Пусть рассматриваемая система совершает цикл С. Если теперь все циклы С, С„..., Сп е действуют вместе, то количества тепла, теряемого каждым реэервуаром, будут иметь вид ле~ ее+ е; л': е.+е;+е;, "., л,: е. +е.,+е:, л.: е.+е;. Следовательно, согласно первому закону термодинамики, полную работу, совершаемую над рассматриваемой системой, можно эаписать и виде А= — ((Е~+Е~)+(Е +Е~+Д,')+ .. +(Е„+Е„)]. (1) Подберем циклы Карно См Сэ..... Сп таким обраэом, чтобы 2(п — 1) величины Е;, ..., Е' О Е;, ..., Е"„удовлетворяли следую- щим соотнопюниям: Е2 + Ее + Ее = Ое Е.+Е;+Е;=О, (2) Е.-+Е.'- +Еп,=о, А=О (СЛЕДОВатЕЛЬНО, Е, + Е;+ Еп+ Е,е = О). КРОМЕ ТОГО, дпя ЦИКЛОВ Карно имеют место соотношения О1 Оэ — + — =О, т<'> т м е (3) Оп-1 'еа — + — =- О.
т(е> Г<е) п-е и Уравнения (2) и,(3) образуют систему иэ 2 (и — 1) уравнений, следовательно, ограничения (2), налагаемые на циклы Карно См..., Сп, всегда могут быть удовлетворены. Умножая каждое Решении 107 уравнение системы (2), кроме последнего, на — 1/Т~з~,..., — 1~Т~„'~ е соответственно и складывая все полученные уравнения и уравнения (3), находим + ( + ( + + 0е 0 02 ЧЗ 0 т<е~ т~е~ т~;> т<е> ' ' ' т~ ' (4) 1 и 3 3 и Поскольку условия (2) выполняготся, суммарный аффект всех циклов заключается в потере тепла резервуарами В, и Л„.
Если Т~„~ ) Т~е ~, то из принципа Клаузиуса следует ~,+~:>О, ~~,+(~е< О. (5) С другой стороны, из уравнений (2) имеем (?. + О" = — — (а+ Е1), откуда Ои+ и 01+ 0'е т~ ~ г~) и (6) или (6') Тогда из (4) и (6') следует и (7) е=1 Это неравенство является следствием неравенств (5) и переходит в равенство в случае обратимого процесса. 2. а) Для изотермического обратимого процесса неравенство Клаузиуса переходит в равенство —,' $Ад=о, где д'е,е — бесконечно малое приращение количества тепла, Т— температура. Следовательно, полное количество тепла, поглощае- мое из термостата е,е = $ Н'(е', равно нулю. Кроме того, согласно первому закону термодинамики [см. (е.2)), Уз — Уе — — ее + А (где Уз — Уе — увеличение внутренней энергии, А — работа, совершаемая термостатом).
Так как Уз — Уг = О, то совершаемая работа А = — (е = О также равна нулю. б) Предположим, что для рассматриваемого процесса полный приток тепла е,е из термостата не равен нулю и положителен, т. е. 9 ) О. Так как система вернулась в свое исходное состояние, то из первого закона следует, что е,е + А = О, а работа А, совер- Гл. Э. Второй аанон термодинамики (08 (а) (Ю или ~ ~'О( ~ д'()2 (1) (а) (ю где поглощение тепла тепловой машиной происходит в процессе (а) (НЯ ) О), а отдача тепла — в процессе (ь) (ы'(,")2 Π— количество тепла, отдаваемое резервуару).
Если Т„„, — максимальное значение Т(') в процессе (а), а Тмин — минимальное значение Т(') в процессе (Ь), то из соотношения (1) следует Й ~ Гмии 'л( Гмакс — ( —, или 01 02 ~маис Гмии шаемая термостатом, равна А = — й) ( О. Это означает, что в рассматриваемом обратимом процессе теплота берется от одного теплового резервуара и превращается в работу, причем никаких других изменений системы не происходит.
Такой результат противоречит принципу Томсона, поэтому неравенство (',е ) О невозмо)кно. Таким же образом, рассматривая обратный процесс, кожно доказать, что неравенство (,) ( О также противоречит принципу Томсона. Следовательно, должны Р~ иметь место равенства(л = О, А = О. а 3. Предположим, что на р — У- диаграмме две адпабаты а и Ь пересекаются в точке С (фиг. 33). Расв смотрим иэотерму, которая пересекает адиабаты а и Ь в точках А и В соответственно.
(Такая изотерма всегда существует, ибо наклон иэотермы всегда меныпе наклона адиабаты; см. гл. 1, пример 7.) Процесс А а В- С- А можно считать обратимым циклом, прн котором систеа(а С) в 88 полУчает тепло () от геРмостата только на изотермическом участке А -+-В. Работа А, совершаемая системой, равна площади фигуры АВС и пололантельна. Из первого закона термодинамики следует, что (,) = А, поэтому величина (',) также полол(ительна.
Это означает, что тепло, которое берется от теплового резервуара, полностью преобразуется в работу. Такой результат противоречит принципу Томсона. Следовательно, адиабаты не могут пересекаться. 4. Согласно неравенству Клауэнуса, имеем Реисенин (Равенство имеет место только в том случае, когда используются всего два тепловых резервуара, а цикл обратим. В случае трех и более резервуаров равенство не может иметь места далее для обратимого цикла.) Работа И', совершаемая над термостатом, равна ру = ф — се2, откуда к, п. д. ц= — — 1 — — <1— еГ 02 Гмин 02 02 с маис 5.
а) Как показано в гл. 1, пример 6, полная работа, совершаемая системой (газом), равна разности работы, совершаемой газом в процессе с-н Н, и работы, совершаемой термостатом над газом в процессе а -~. Ь, т. е. ЬУ =- Сг [(Т, — Те) — (Ть — Т,)].
С другой стороны, газ в процессе Ь вЂ” н с получает теплоту () = = Сг (Т, — Ть). Для адиабатического процесса [см. гл. 1, пример 6, соотношение (2а)] Тут-2 = сонат, откуда Т,у] ' = Тиут ' и Тьг'сс 2 =- Таун 2. К. п. д. при атом принимает вид и" т,— ть — т,+ т, 1 т„— т, (? сс сЬ сс ХЬ Так как имеем Ч=1 — (22)т б) Работа совершается не только при адиабатических процессах с — асс и а — ьЬ, но также и в процессах Ь вЂ” ьс, д — ьа. Позтому И = СГ [(тс Та) (ТЬ Та)! + рс (Уа ГЬ) Рс (УЗ [ а).
С помощью УРавненил состоЯниа РУ= пГЬТ=(ср — Ск) Т=-Сг (У вЂ” 1) Т получаем 'ее' = с„(т, — т, — т„+ т,). В процессе Ь вЂ” ьс газ получает тепло ~3=ср(т,— Ть). Для адиабатического процесса рг'т = совзь и тр~ ~ гт == сопзг, откуда вытекают равенства т, ( Р, )(г-н!т т~ ( Р, )<г-нРс сЬ Р2 Т. (Р21 Следовательно, ~н ~а 1 с Р2 )~г гят Tс — ТЬ г Рс l в) И С [т ти (Ть т )1+рз(У Рь) =с [т,— т — т +т„+(у — 1) (т,— т )] = =с [у(т,— т ) — (т — т,)].
Гт 2. Второй лаком термозииамики 110 'Теплота, поглощаемая при процессе Ь вЂ” ис, равна е',)=Ср(Т,— Ть). Следовательно, т — т т(=1 —— т,— ть Отсюда с учетом равенств — — ТМ = Тьуе ' и ТМ ' = Т„УГ' получаем соотношение, которое требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е. В соответствии с выводами задачи 4 к. п. д во всех трех случаях не должен превышать 1 — Т,~Т,. 6. Приведенное утверждение очевидно, если абсолютная температура определяется с помощью неравенства Клаузиуса (2.9) (равенство имеет место только в случае квазистатического процесса).
Если абсолютная температура не определена, то следует воспользоваться доказательством соотношения (2.8) в 3 5. 7. При квазистатическом изменении состояния моля идеального газа изменение энтропии ЫЯ определяется соотношением (2.16) аУ+р а'е' Т где У вЂ” внутренняя энергия, р — давление и 1л — объем. С помощью равенств дел' = С'„НТ и рУ= ВТ получаем е ЫЯ = — «ЫТ+ — е)й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
