Р. Кубо - Термодинамика (1134470), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Критический обзор теории Каратеодори, написанный доступно для студентов-физиков, содержится в старой статье Бориа [3[ (см.также[4[). ПРИМЕРЫ 1. Вывести принцип Клаузнуса из принципа Томсона, а также принцип Томсона нз прннцюха Клаузиуса. РЕШЕНИИ Чтобы-доказать, что принцип Клаузнуса можно вывести из принципа Томсона, достаточно доказать, что если принцип Клауэнуса нарушается, то принцип Томсона также нарушается.
Принцип Клаузнуса будет нарушен, если от ниэкотемпературпого теплового резервуара Яв будет взято количество тепла в), (()в -> 0) и передано более горячему тепловому резервуару Яз беэ каких- либо других ивменений системы. Предположим, что такой процесс возможен. Объединим его с циклом Карно С, действующим между двумя тепловыми реэервуарамн Яз и Яг.
От резервуара Яз берется тепло (), + ()з (величина гез также положительна), а резервуару Яг передается тепло ()ы при этом производится работа, эквивалентная гез (фиг. 26, а). Тогда суммарным результатом дей- Гл. 3. Второй закон термодинамики является поляым дифференциалом) имеем Так как дЧ//дТдР=дЧУ/дй'дТ, то (4) или (5) Подставим р=-/()е)Т; тогда правая часть соотношения (4) обра- щается в нуль, следовательно, ©),=о, т. е. У ие зависит от )'. 3. Внутренняя энергия и единицы объема газа является функцией только от Т, а уравиеяие состояния газа имеет вид р = = и (Т)/3.
Определить функциональную форму и (Т). гвшвиив Рассмотрим газ, имеющий температуру Т и заключенный в объеме )е. Виутреииюю эиергию У можио записать в форме 7У вЂ” — Ри (Т). Подставляя в соотношение (5) примера 2 соотношение (1) и урав- иеяие состояния р .= и (Т)/3, получаем 3 а'Т 3 ни(Т) ) Т вЂ” „— йи (Т) =- О. (2) аи (Т) иТ Ж).=+И вЂ” ':),+ 1 где р — давление, )е — объем и У вЂ” внутренняя энергия. Интегрируя, яаходим 1п и (Т) — 41п Т = сопз$, и (Т) = сопз$ Т', т.
е. виутреияяя энергия и пропорциоиальяа четвертой степени температуры. (Таким газом является поле теплового излучения, т. е. газ квантов света — фотонов.) 4. Пусть цикл Карно действует между тепловыми резервуарами с температурами Те и Тз = Т, — НТ, а рабочим веществом служит газ. Используя этот цикл, доказать следующее уравиеиие: 77рилеры РЕШЕЯИЕ Пусть У1 — объем газа в состоянии 1 (4 =- 1, 2, 3, 4), ()1 и ()2— количество тепла, поглощенного при изотермических процессах 1 — 2 и 3-+.
4 (фиг. 27). Из первого закона термодинамики (2 19) следует 2 0= ) (( — „у ),+р)~' 2 з 4 1 В+4,)2= ) р'Л ~ ~ ре41'~+ ) рд + ~ рде ° (2) 1 2 з 4 Р (3) О1 , дз — -, — =.О. Т1 Т2 Поскольку разность температур дТ =- Т, — Т, бесконечно мала, мы можем считать )ез ж Из и 1'4 ж У1 и отбросить в уравнении (2) второй и четвертый члены. Кроме того, разность давлений р в соответствующих точках (т. е.
точках, отвечающих одинаковым значениям объема) изотерм 1-+. 2 и 3-+.4 У бесконечно мала и ее можно Фиг. 27. положить равной (др/дТ)~ х М (Тз — Т,) =- — (др7дТ)тдТ. При атом соотношение (2) принимает вид 2 4 2 з 2 О,+О,=(рду+Р~ ду=~ др — ) д = с~®),др. 1 з 1 (4) Теперь соотношение (3) можно переписать в виде — '+ — '=- —.Ф1+ Ы вЂ” — 1% = О! Т,* (5) илн 6Т а+а= — „е, (6) Так как цикл Карно предполагается идеальным, справедливо соотношение (2.6) 95 Примеры в состоянии (У = У! + Ую Т, р) на чистые газы, находящиеся в состояниях (У, Т, р,) н (У, Т, ре).
Такой процесс может быть реализован с помощью устройства, иэображенного на фнг. 28. Контейнер объемом У состоит иэ двух контейнеров, причем полупроницаемая стенка В пропускает только частицы гала 2, в то время как полупроннцаемая стенка А пропускает только частицы гаса 1. Давление, которое оказывает на полупроннцаемую перегородку не пропускаемый ею гаэ, равно его парциальному давлению.
Отсюда следует, что при разделении двух контейнеров стенки контейнера с газом 1 испытывают парцнальное давление р„так что полная сила, действующая на контейнер, равна нулю. Следовательно, при адиабатическом процессе работа не совершается, и внутренняя энергия и температуры остаются неизменнымн. Соответственно не происходит и иэменения энтропии.
Чтобы вернуть гасы в исходные состояния, раэделенные газы иэотермически сжимаются от объема У до объемов У, и У! соответственно. Интегрируя выражение Ы = ее'!е!Т = р!1У1Т = пВИУ!У, получаем приращение энтропии для каждого компонента !)еЯ! = п!В 1п —, АЯ! = пеВ 1п— у! 12 е (2) Таким образом, суьача ЛЯе-', — е1Яе представляет собой изменение энтропии при обратимом разделении смешанных газов. Следовательно, увеличение энтропии при диффузии должно быть равно ее~ — (ее~! + ее~!) = В ! и! 1п + пе 1п ) У! !25 у) 6. Показать, что для адиабатического изменения абсолютной температуры Т магнетика, подчиняющегося закону Кюри М = СН!Т (М вЂ” намагниченность, Н вЂ” магнитное поле, С вЂ” константа), справедливо соотношение где Ся — теплоемкость на единицу объема при постоянном магнит- ном поле.
РЕШЕНИЕ Обозначим внутреннюю энергию, энтропию и намагниченность на единицу объема соответственно' череэ и, г и М (изменение объема не учитываем). Энтропия г является функцией от Т и Н, Га. 2. Второй закон термодинамики поэтому имеет место равенство 7 е7г — Т ( —,) 6Т-';Т ( — ) езН. (() Согласно определению, Сн =. Т (дг!ВТ)я. Кроме того, имеет место соотношение (2) которое доказывается следующим образом: из равенства ези = Т езз -'; ' НезМ вытекает (3) Продифференцируем первое из этих соотношений по Н, а второе по Т; после этого, приравнивая их правые части, приходим к соотношению (2). Подставляя (2) в (1), с учетом определения Сн находим Те)г=.=С е)Т+Т ( — ) йХ. При адиабатических условиях (е)г = О) отсюда получается требуемое соотношение 7.
Доказать, что если не происходит обмен веществом между системой и термостатом, то минимальная работа езИ' „„равна: а) приращению свободной энергии езг' при постоянных температуре и объеме; б) приращению термодинамического потенциала Гиббса ее6 при постоянных температуре и давлении. РЕШЕНИЕ При изотермическом процессе температура системы равна температуре Тое термостата, поэтому (2.24) принимает вид (И = (Н вЂ” Тйб+р<ЧУ= (й+р~>аП (Ц Здесь мы воспользовались определением свободной энергии (2.22). При постоянном объеме (сУ =- О) соотношение (1) означает, что езИ'и „= езг'.
Если давление системы постоянно и равно внешнему давлению р<'>, то соотношение (1), согласно определению термодинамического потенциала Гиббса (2.23), дает езИ'и,„= Ж. ЗАДАЧИ 1. С помощью принципа Клаузиуса доказать неравенство Клаузиуса а (2.9) 2. Если система путем обратимого пзотермического изменения возвращается в свое исходное состояние, то полное количество поглощенного тепла равно нулю и совершенная работа также равна нулю. Доказать это утверждение: а) с помощью неравенства Клаузиуса и б) непосредственно с помощью принципа Томсона.
3. Доказать, что пересечение двух квазистатических адиабат невозможно, так как это приводит к нарушению принципа Томсона. 4. Доказать, что к. и. д. тепловой машины т) не может превышать 1 — (Тими!Тизис)~ где Тимка — максимальная температура тепловых резервуаров, от которых тепловая машина получает тепло, а Тꄄ— минимальная температура тепловых резервуаров, которым она передает тепло.
5. Доказать приводимые ниже выражения для к. п. д. следующих трех циклов (рабочим веществом является идеальный газ): а) цикл Отто (фиг. 29, а) Ч=-1 — ( — уз)т ', б) цикл Дя1оуля (фиг. 29, б) з) =-1 — ( — ') в) цикл Дизеля (фиг. 29, в) 1 (Гз,'( з) — (Гз!1 9 7 6'з(Уз) — (зз(~ з) При этом считать, что Сг, Ср и Ср/Ст = — у — константы. 6. Пусть для некоторого вещества адиабаты а, а' и изотермы 1, 1' на р — зз-диаграмме пересекаются в точках А, В, С,;0 (фиг. 30). Доказать, что при циклическом процессе АВСР отношение количества тепла, поглощаемого при процессе АВ, к количеству тепла, отдаваемого при процессе СР, определяется значениями 1 и 11 и не зависит от выбора адиабат.
7. Вывести выраясение для энтропии идеального газа для случая, когда удельная теплоемкость при постоянном объеме С„ = = С~. = сопз1. Задачи 8. Идеальный гаэ адиабатически расширяется иэ объема У~ в вакуум. Вычислить возрастание энтропии, если в конечном состоянии газ имеет объем г'ю и показать, что процесс расширения является необратимым. Фиг. 30.
Фиг. 31. 9. Рассмотреть возрастание энтропии при нагревании идеального газа от Т~ до Тз. а) при постоянном давлении и б) припостоянном объеме (фиг. 31). Доказать, что в первом случае возрастание энтропии в у раз больше, чем во втором случае, где у — отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. 10. Для некоторого газа экспериментально установлено, что произведение давления р и удельного объема э зависит только от температуры и что внутренняя энергия также зависит только от температуры. Что можно сказать относительно уравнения состояния такого газа с точки зрения термодинамикиг' 11. Для газа заданы соотношения: а) рУ =- ~ (О) и б) (дУ(дУ)е —— = О.
Показать, что ~ (О) имеет смысл абсолютной температуры. Здесь Π— температура в некоторой произвольной температурной шкале, р — давление, У вЂ” объем и У вЂ” внутренняя энергия. 12. Вычислить плотность энтропии з поля излучения, используя следующие соотношения между плотностью энергии и, радиационным давлением р и абсолютной температурой Т: р= — и, и=оТ' (о=сопМ). 1 Изобразить также иэотермы и адиабаты и рассмотреть цикл Карно для такого газа. 79 Гл. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
