2 (1134467), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Л.6. Символические обозначения элементов симмегрии, содержащихся в пространственной группе Р2,7е. улова 77 374 лярной оси (Ь), и трансдирующую в направлении стрелки. Штриховые линии обозначают плоскости скольжения, перпендикулярные плоскости бумаги и транслирующие параллельно штиховым линиям. Эти символы даны в «Интернациональных таблицах для рентгеновской кристаллограа 4 Рис. 17.7. Символическое обозначение элементов симметрии Рите. фин».
Из-за трансляции элементарной ячейки [1, О, 0~, [О, О, 1], [О, 1, О) и т. д. в ней находится более чем один элемент каждого из четырех типов элементов. Например, 2„[0, 172, 1(2~ [1, О, О) равно 2, [1, 1/2, 1/2~, что соответствует 2, при х = 1/2 и г = 174. Для пространственной группы Раича можно построить диаграмму симметрии из набора приведенных ранее операторов.
Нарялу с тремя зеркальными плоскостями и тремя осями второго порядка имеется еще и центр инверсии. К трем операторам, включающим зеркальные плоскости, относятся л-скольжение при х = 1/4, зеркальная плоскость при у = 1!4 и а-скольжение при г = 174. Осями являются 2, вдоль а при у = = г = 1/4, 2, вдоль Ь в начале координат и 2, вдоль с при х = 1/4 и у = =О.
Рис. !7.7 демонстрирует все элементы симметрии элементарной ячейки, порожденные данными восемью операторами. Штрихпунктирная линия изображает плоскость л-скольжения, движущуюся по диагонали (направление делит пополам угол между осями Ь и с), а все центры инверсии проецируются на переднюю грань ячейки, хотя можно видеть, что один центр, возникающий при (172, О, 0), связан с центром инверсии, находящимся в начале координат, винтовой осью (при х = 174, Ь= 0) и поэтому находится при с= 172.
17.3. НАПРАВЛЕНИЕ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ Получив некоторое представление о свойствах симметрии внутренней структуры кристалла, займемся теперь анализом взаимодействия рентгеновских лучей с этим кристаллом. Для этого используем соотно- Рентгеновская кристаллография 375 шение, обычно встречающееся в вводных курсах химии и называемое законом Брэгга и; 117.2] а)пО = Из этого математического выражения следует, что если электромагнитная волна с длиной 7. попадает под углом О на две параллельные плоскости, расстояние между которыми составляет г) )рис. !7.8), интерференция лучей, исходящих из точек О и С, происходит лишь в том Рис.
17.8. Отражающие плоскости и направления падающей и отраженной волн, демонстрирующие геометрические соотношения закона Брэгга. случае, когда угол О удовлетворяет закону Брэгга 1н — целое число). Волны с одной фазой возникают при «отражении» под углом О. Эта концепция применима к дифракции в кристалле, поскольку кристаллическая решетка может быть описана с помощью набора параллельных плоскостей с различными расстояниями й между ними. Если пучок рентгеновских лучей падает на любой набор плоскостей под углом, для которого выполняется соотношение Брэгга, то из кристалла будет исходить единственный вторичный пучок. И на самом деле, когда на монокристалл вещества действует пучок интенсивного рентгеновского излучения, из него в различных направлениях испускаются многие тысячи более слабых пучков или отражений, как это показано на рис.
17.9. Угол между каждым отраженным пучком и падающим пучком излучения определяется расстоянием межлу рассеивающими плоскостями. Как описать этот набор плоскостей, используя параметры элементарной ячейки? Можно рассматривать их как определяемые точками равной электронной плотности в ячейке; в этом случае решетка задается симметрией распределения электронной плотности, аналогичным образом плоскости могут задаваться решеткой. Рассмотрим двумерные решетки и наборы плоскостей, показанных на рнс, 17.1О.
Все возможные наборы плоскостей могут быть заданы с помощью так называемых ин- 37б Глава 17 й. Лаоанттлай пучон рентеновснох луней 71ОЕЛОзниокЕЛЬ пунна Рис. 17кь Иллюстрация явления рассеяния кристаллом. Рис, 17.10. Наборы плоскостей, проведенных через к злы решетки влоль оси Ь кРис- твллв. дексов Миллера, которые определяют их однозначно в зависимости от числа частей, на которые эти плоскости делят ребра элементарной ячейки. На рис. !7.!0, А плоскости делят а на две части и с — на одну. В нашей двумерной схеме этот набор плоскостей обозначается как (2, !).
На рис. 17.10,Б показаны плоскости )3, 1), а на рис. 17.10, — -плоскости )1, 2). Трехмерная элементарная ячейка на рис. 17.11 демонстрирует сегменты первых плоскостей (6, )с, 1) = !2, 1, 2) параллельного бесконечного набора, где )з, й и 1 соответствуют осям а, Ь и с. Этот набор плоскостей приведет к одному дифрагированному пучку, если падающий пучок составляет с этими плоскостями такой угол О, что яп0 = п)./2 (1,Ыы ). В то же время отметим, что, хотя рентгеновские лучи рассеиваются электронами, которые распределены в ячейке, а не только в определяемых нами плоскостях, мы в дальнейшем увидим, что рассеяние от содержимого ячейки всегда будет выражаться через рассеяние от наборов плоскостей, задаваемых формой ячейки.
Распределение электронов в ячейке определяет только относительные интенсивности отраженных пучков. Тот факт, что в эксперименте по рассеянию рентгеновских лучей наблюдается лишь один пучок, характеризующий целый ряд параллельных плоскостей, в сочетании с неудобным обратным соотношением между 0 и О. ь вызывает желание описать решетку таким образом, чтобы 0 был прямо связан с расстоянием и каждый ряд плоскостей в реальной решетке представлялся бы точкой в новой обрпшной решезике )о.р.). 377 Реитгеяаегкая кристаллография Обращаясь к закону Брэгга, мы видим, что з(пО, характеризующий отклонение между падающим и отраженным пучками, обратно пропорционален расстоянию г( между плоскостями в кристаллической решетке.
Структуры с большим г( будут иметь сжатую дифракционную картину, а структуры, в которых И мало — растянутую. Если бы обратное соотношение между гйпО и г( можно было заменить на прямое, то интерпретация дифракционной картины упростилась бы. Это достигается конструированием обратной решетки. Точка, выбранная в качестве начала координат в о.р., совпадает с началом координат в реальной решетке. Точку в о.р., соответствующую набору плоскостей в реальной решетке, можно найти, исходя из начала координат и вычерчивая нормали к ближайшим миллеровским Рнс.
17.!!. Участки плоскостей (2, 1, 2) в произвольной элементарной ячейке. плоскостям М1, не проходящим через начало координат. Нормаль оканчивается на расстоянии (Якк, от начала координат. Проводя эту операцию со всеми наборами плоскостей в реадьной решетке, получаем полную обратную решетку. (Отметим, что нахождение точек в о. р. определяется исключительно размером и формой реальной элементарной ячейки, но не ее молекулярным содержимым.) Этот процесс схематически изображен на рис. 17.12 для нескольких плоскостей реальной решетки. Наша следующая задача — распространение анализа рис.
17.12 на случай трех измерений. Если это сделать, то получится ряд плоскостей (они показаны точками на рис. 17.13), соответствующих о.р. Реальная решетка имеет индексы Миллера (О, (г, 1), (1, !1, 1), (2, (г, 1) и т.д. Вместо того чтобы брать в качестве начала координат точку на ребре реальной решетки, как мы это делали на рис. 17.12, поместим ее в центр. Выберем точку А в реальной решетке на оси а. Существует целый набор возможных плоскостей, параллельных линии ОА с 6, равным нулю [т.е, набор плоскостей (О, (г, О3. Перпендикуляры, опушенные из О на плоскости этого набора, напоминают спицы колеса, центром которого является точка О.
Все обратные решетки, построенные на основе нормалей к этим пчоскостям, будут лежать в плоскости О, (г, 1 обратной решетки, показанной на рис. ! 7.13. Все плоскости Глава (7 378 реальной решетки, пересекающие ось а в точке А, будут давать точки 1по одной на реальную плоскость) в плоскости 1, 1, 10 обратной решетки 1этот факт объясняется в работе [31). Аналогичные плоскости возникают для других значений 12. г,у,а байаяо 1,О, йайрбииаи б Рис. 17.12. Связь между некоторыми .точками реальной и обратной решеток.
А й — о к рашьной решетки, к норме вмесш с началом «оорд Ре инат О оо делают емс арную к ей у н — — и а ой т со с рел а»и окна алакоорл атно» зл Они лева во ос сот р с.=о. А — гочки рса ой рею т ровск з нлоскостей; Б- оератша реше ка, о Ра ре н й, указан т стршками на рис. А !здоскссгь 200 нс ар моди через т чки решетки у ф кани Брзгга втер а ар д а, е. 2гб о Реле ет « »РР о 'гра йроггорниоиачьнаа нлоскссть 00. Ренгягеяавекая криегяаллаграфия 379 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Ф ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° — — — — — — 2я[ ° ° ° ° ° ° $ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Рис. 17ЛЗ. Схематическая конструкция обратной решетки а трех измерениях.
Ребра обратной решетки, показанные на рис. 17.14, обозначаются буквами со звездочкой: а*, Ь* и с". Звездочкой помечены и соответствующие углы. Для ромбической ячейки направления а и ав, Ь и Ь* и с и с * совпадают, но длины их различаются. Для моноклинной ячейки соотношения между а и а * и с и с * зависят от !1, в то время как соотношение между Ь и Ь* с углом никак не связано: 1 „1 „1 а*=--- -, Ь"= ая!пр' Ь' ся!и!3 * (17.3) а = 7 = се* = 7* = 90', !3* = 180' — !! ггпу, ! Рис. !7.14. Соотношение между реальной и обратной элементарными ячейками монохлинной системы. ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Ф ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° — — — — — 1Я! $ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° — — — — — оя! ь 380 Гиоеп 17 Обьем реальной ячейки выражается следующим образом: К = — = аЬс гбп р, 1 ря (17.4) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
