2 (1134467), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В матричной записи операция 2Ь '(1/2, О, 03 имеет вид ( о [ о) [-', о, о~ Матрица 3 х 3 характеризует операцию вращения, проводимую относительно начала координат. Как и при более раннем обсуждении то- * На всех диаграммах отсчет ведется относнз ельно начала координат, находящегося в верхнем левом углу. Точка, к которой смещается ось от начала координат, находится на грани знеменоарной ячейки, ~ерпенлнкулярной ~роходящей через нее осн. Глава !7 чечных групп, матрица 3 х 3 преврашает х в — х, у в — у и г в Символ 1!/2, О, 0) представляет собой операцию трансляции на половину длины элементарной ячейки в направлении и. Математически операция трансляции точки на ьо гм г, определяется как (го гц гз] (х, у, г) = ((1 + х, гз+ у, (з -Ь г). Операция 2ь (1,72, О, 0] над точкой (х, у, к) включает сначала операцию 2, (матричное умножение), а затем векторное сложение (172, О, 0] (или наоборот, поскольку зти операции коммутируют).
Комбинация этих двух операций — вращения вокруг оси Ь и трансляции 1'1/2, О, О]— эквивалентна вращению второго порядка относительно точки (1,74, О, 0). Для проверки этого утверждения рассмотрим точку (О, 172, 0). Видно, что элемент, изображенный на рис, 173,А, должен переводить зту точку в точку (1/2, 1/2, 0).
Рассчитывая результат другого вращения второго порядка относительно получившейся точки, имеем т.е. исходная точка восстанавливается. В примере, изображенном на рис. 17З,Б, мы имеем 2, при (174, 1/4, 0) или 2, 11/2, 1!2, О]. 2. Винтовые оси. Как упоминалось ранее, винтовые оси возникают в том случае, когда трансляция осуществляется в направлении оси вращения, например, 2„11(2, О, О] обозначают как 2,. Если винтовая ось находится при у = 174 и к = 174, то операция записывается как 2, (172, 172, с я(х) а в(а,о,о) Ь(у) (О, я,О) (О,Р,О Рис.
17.3. Преобразование точки под действием собственной оси второго порядка (чч) (А), параллельной Ь, и собственной оси второго порядка, параллельной г (Б). 365 Рентгеновская кристаллография ! 4 ! 4 дед сгуйса сдсгуй оси дад сдскд Рис. 17.4. Альтернативные изображения, демонстрирующие винтовую ось второго порядка, параллельную а и находящуюся нв А-грани при у = 1,'4, е = 1/4. На месм рисунке эгмк !Уа отмен т н л ление элемент !уа лл нм эле сигарной ааейки эа ол око»там бу. маги Праамй рисунок нрелсгаалает собой аил алека линас рисунка 112). При осуществлении этой операции над любой точкой мы производим сначала вращение второго порядка 2, вокруг оси а, т, е, относительно начала координат (у=о, у=О), а затем производим трансляцию (в квадратных скобках) результата операции 2„.
Эта винтовая ось показана на рис. 17.4. В точечных группах наличие двух операторов (таких, как две перпендикулярные оси второго порядка) приводит к существованию и третьего оператора. То же справедливо в некоторых пространственных группах. Например, собственная ось второго порядка вдоль и при (О, О, 1,14) и собственная ось второго порядка вдоль (у при (1уг4, О, 0) порождают винтовую ось второго порядка 2, вдоль с при х = 114 и у = 0 [при (1уг4, О, 0)). Это можно изобразить с помощью выражения 2» 0 0 '2» "" 0 0 = 2, —,О,— Такой тип умножения следует осуществлять путем простого добавления компонент оператора трансляции и проведения матричного умножения операторов вращения (как и в операциях точечных групп): тралсууяу(ии ~о,о, Х~ ~~~,о,о] = ~ф,о, Я ираи(еиия о — 1 о о 1 о = о — ! о 2ь 2, Глава !7 366 Рис. 17хя Два обозначения а-скольжения.
ретл и е еииу тире и то у» ет р н еет и етибу и и ер е ли«у. лир»о ей 3. Зеркальные алоскосеи. Зеркальная плоскость, перпендикулярная Ь и пересекающая Ь при у = 1/4, может быть представлена в вцде опера- пуь— : Π— ! О тора отражения в сочетании с трансляцией перпендикулярно плоскости, в этом случае !О, 172, О!. 4. Плоскостна скользтсения. Плоскость скольжения вдоль а перпендикулярно Ь при у = 1/4 обозначают как упе [172, 1,2, 0] (рис.
! 7.5). Здесь пти представляет собой элемент отражения перпендикулярно оси Ь при Ь = = О, а скобки характеризуют трансляцию, как и в случае оператора, соответствующего винтовой оси. Описанный элемент должен называться а-скольжениеме если трансляция осуществляется в направлении а. Если плоскость по-прежиему перпендикулярна Ь, то указанная операция может быть с-скольжением при трансляции вдоль с или и-скольжением при трансляции одновременно наполовину длины элементарной ячейки вдоль Ь и наполовину вдоль с. 5.
Ценгпрированные решетки. Другим оператором пространственных групп, не имеющим аналога в точечных группах, является центрируюший оператор. Этот оператор приводит к трем общим типам кристаллических решеток, которые называют гранецентрированными (обозначаются Е), бокоцснтрированными (А, В или С *) и объемноцентрированными (!). Симметрию этих решеток можно описать только операциями трансляции, которые включают трансляции только наполовину длины ребра ячейки.
Например, в А-центрированной решетке для каждой гочки (х, у, г) должна существовать эквивалентная точка (х, 172+ у, 1уу2 -1- я). * Разднчаюгся только трн грани, принимая во внимание идентичность операторов 10, О, О] н 11, 1, 1]. Рентгеновская кристаллография Таким образом, А-центрируюший оператор представляет собой (О, 1/2, 1/21. Аналогично гранецентрируюший оператор (т.е.
/-центрируюший) требует, чтобы для каждой точки (х, у, г) существовали три дополнительные точки (1/2-1- х, 1/2-ь у, г), (х, 1/2 -ь у, 1/2-ь г) и (1/2+ х, у, 1/2+ +г), так что /-центрируюшими операторами являются (1/2, 1/2, 01. '(О, 1/2, 1/2) и (1/2, О, 1/21 (в дополнение к операции тождественного преобразования [О, О, 01). Объемноцентрирующим оператором служит (1,'2, 1/2, 1/22. Эти типы решеток показаны на рис.
Ч И 1 (в приложении ЧИ). Отметим, гго если атом или молекула находится в начале координат ячейки, то другая такая же частица находится в центре грани А (перпендикулярно а) при А-центрировании; при /-центрировании еше три частицы находятся в центрах граней А, В и С; аналогичный особый случай можно указать для объемного центрирования. На практике чаще встречаются нецентрированные элементарные ячейки, которые называют лримитивными реьиетками. Следует подчеркнуть, что определение операции центрирования требует, чтобы группы находились в центре (например, в центре грани) только в том случае, если другая группа находится в начале координат. в. Пространственные группы.
Символы пространственных групп записывают таким образом, чтобы их можно было однозначно отождествить с кратчайшей возможной записью каждой из 230 различных групп, которые могут быть образованы из рассмотренных выше различных операций. Мы проиллюстрируем метод записи, а также продемонстрируем совокупности операторов, составляющих группы. Рассмотрим ромбическую систему, которая даст также несколько еще не обсужденных операторов.
Из символа пространственной группы Рита (читается как «Р вЂ” и — т — а») следует, что решетка этого типа относится к примитивной решетке; элементами симметрии этой группы являются л-скольжение, перпендикулярное оси а, зеркальнак ллоскость, перпендикулярная оси Ь, и а-скольжение, перпендикулярное оси с.
Условия, используемые при записи символов такого вида, и вытекающая из них информация сведены в табл. 17,1. В первом столбце приведены семь различных кристаллических систем наряду с симметриями точечных групп элементарной ячейки (т.е. симметрией, которой они обладали бы, если бы не было трансляции). В столбце «характеристическая симметрия» приведены те сушесгвенные элементы симметрии, которые делают кристалл единственным в своем роде по отношению к приведенным точечным группам.
В столбце «положение в символе точечной группы» описаны условия записи этого символа и указан порядок (первичный, вторичный, третичный), в котором элементы симметрии перечислены в символе. В приведенном выше примере Рита Р— символ решетки, а и, т и а соответственно первичный, вторичный и третичный символы. Какие же другие элементы симметрии порождаются тремя элементами, перечисленными в символе Рита, и где зти последние должны находиться в кристалле? На зти вопросы можно ответить следующим образом. Таблица 17.! Стандартные элементарные ячейюз, их симметрия и символы Кристаллогра- Соотношения фическая сиота- между осями ма и ~очечные и углами' группы Пр- мер первичный вторичный третичиый 1 Р Р1, Р! 2 1-й ва- )Р риант (В 2-й ва- ГзР рнант Р2„7с, С2(с Моноклннная 2, т, 2/щв 1-й вариант аФЬФс а=В=90', ! 2-й вариант анбнс а =- у = 90' Ф В 2-й порядок (вращение и(илн) инверсия) вдоль оси у 2-й порядок (вращение н(или) инверсия) вдоль оси х 2-й порядок (вра- Рати.
щение и (или) нн- Р2,2,2, версия) вдоль асн г аФЬФс и = В = у = 90 Ромбическая 222, тт2, нита Рв 2-й порядок (вращение и(или) инверсия) влоль других направлений" Тетрагональная 4. 4. 4ут': 422, 4внт, 42т, 4(щщщв 4-й порялок (вращение и(или) инверсия) вдоль осн г 2-й парялак (вращение п(зши) инверсия) вдаль осей х и у а = Ь зл с э=В=у=90" Р4бт. ! 4знт Триклинная 1, ! а Ф Ь и с и Ф В Ф у вь 90в Характеристи- Число Символы ческая симмет- решеток реше~ок рня Бравэ в системе Симметрия только первого порялха (тождественное преобразование илн инверсия]" Ось второго порядка (вращения нлн инверсии) талька в одном направлении; берется как ось т в первом варианте и как ось у во взором варианте Оси второго порядка [вращения илн инверсии) в грех взаимно перпендикулярных направлениях Ось четвертого порядка (вращения или инверсии) вдоль оси х Положение в символе точечной группы Только один символ, который обозначает все направления в крнсзалле Символ дает природу единственной оси второго порядкал (вращения и(илн) инверсии) 1-й вариант: единственная в своем роде ось т' 2-й вариант: единственная в сяоем роде ось у )( г Тригональная (Ромбоэдрии гексагональ- ческие оси) нпя Зт 3 6, 6/т(622, бтт, п=()=ук <120 Ф90 (Гексагональные оси) а=бис и = () = 90', у = (20 Кубическая л = Ь = с 2з, тЗ; 432, 43нх Ось третьего порядка (вращения или инверсии) вдоль диагонали кристалла с использованием ромбоэдрических осей или Влезть направления оси а с использованием гексагональных осей Четыре оси третьего порядка, каукдая нз которых отклоняется на 54" 44' от кристаллографических осей 3-й илн 6-й по- рядок (вращение и(или) инверсия) вдоль сси .- 2-й или 4-й порядок (вращение и(или) инверсия) вдоль особых плоскостей" 2-й порядок (вра- щение и(илн) ин- версия) вдоль осей х, у и и (.х у и и в плоскости на 120 ) 3-й п орялок (вращение и(илн) инверсия) вдоль диагонали кристал- ла 2-й порпдок (вра- РЗт21, щение и(или) ин- КЗС, версия) перпен- Рбэ 22, дикулярно осям Рбсс ч, у и и в особой плоскости и 3-й порядок (вра- Р„З, щение н(нли) нн- РтЗ, версия) вдоль 143т особых направлений" б Зива Д подразумевает нерзветктво, что обус.ов е а с мм трнем, сс есзвенэю, монет меть моста у а" с со дсзше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
