Том 2 (1134464), страница 9
Текст из файла (страница 9)
10.33. с!етшрнадцауь решеток Брани а — кубическая Р; б — кубическая у; в — иубичг*кая Рт и — тстрагоиальная Р; д — гстраго- еельнал Н а — ромбкческая Р: ос — ромбическая С; а — ромбическая у; и — ромбическая Р~ 'с — мояокчннная Р; л — моиоклннная Рл м — грнкяагп~ая; я — геасагокалмая; о — ромбо- аярнческая.
4а Часть 2, Етрактцра Ркс. 16.34. Трлнслкивя, винтоваи ось и плоскость скольжении, число пространственных групп. В действительности существует только 260 пространственных групп, которые объясняют структуру всех возможных кристаллов, Определение вространстверной группы в сложная задача, связанная с детальным изучением впут.- реннега строения кристалла, но здесь пет необходимости рассматривать ее. Свойства кристаллов. Значение группы сямметрни молекул па. зволяет сразу сделать вывод об их фнзнчсскях свойствах; та же самое можно сказать о кристаллах. Например, хотя сами по себе индивидуальные элементарные ячейки кристалла могут и не быть оптически активными, поскольку отдельно взятые они совместимы с кх зеркальными отображспкями Гетр," 16), кристалл, который онн составляют, может иметь оптическую активность.
Следовательно, чтобы определить, обладает кристалл онтическай активностью нлп нег, нужна проверить ега симметрию и посмотреть, отсутствует лн зеркально-поворотная ось 1стр. 16). Кварц, например, имеет симметрию 32 1котарая в системе Шенфлиса обозначается как Т) и является оптически активным. В та же время кальпит имеет центр симметрии 1сга симметрия %и или Ваа), и поэтому мы сразу заключаем, что ан не будет оптически активным.
Приложение. Матрицы Матрицы — эта проста ряды и столбцы чисел со специальными правилами комбинации их друг с другам. В общем, матрица может иметь любуго форму, на мы рассмотрим только квадратные матрицы нХн, Часто 2. Структура Квадратная и-мерная матрица состоит из ла элементов. М,„М, .„, Мга Ма, Мов ... Мтч М„,М„, ...М,„ Элемент в ряду г и столбце с обозначается М„, (г и с соответствуют широте и долготе ва географической карте). Две матрицы раваьь что записывается в виде М=й, если только все соответствующие элементы равны: М„=№, для всех г и с.
Сложение двух матриц записывается как М+Ж=Р и производится путем Р„=М„+№с (т. с. складываются соответствующие элементы). Например, ссли 12 66 М+Х= + Умяожзяне двух матриц записывается как М1ч=Р и производится путем Р„=УчМ, К,с. Это правило моткио запомнить на основе следующей диаграммы: /е. Симметрия. Описание и еяедетеия Сложение Умнетнеиие 11апрнмер, для прнаеденных ваще матриц 1 2 5 6 ! хб+2х7 ! хб+2х8 19 22 Отметим, что в общем случае с/МчьМо(. В данном случае, напри- /23 341 мер, произведение в!М= (31 46). Это означает, что матричное умножение некоммртотавно. Существует опредечеппыи тнп матриц, которые имеют специальпыс названия и свойства.
Среди пих отметим следующие: Дипгональная матрица — это матрица, в которой М„=О, кро- /1 О~ ме М, для которых г=с. !1апрнмер, М = ~ 2 ! — диагональная /О 11 матрица, а 12 0) — нет. Единичная матрица записывастся как 1; это диагональная матрица с ненулевыми элементами, равными 1. Следовательно, /! 01 1 / †двумерн единичная матрица. Трансионироваиния матрица М записывается как М; элементы этих матриц связаны следующим образом: М„=Ме, Так, сс- /1 21 — /1 3~ ли М=~3 4), то М=(2 4) (меняются местами ряды н столбцы). Матрица, обратная матрице М, записывается как М-', это матрица, которая удовлетворяет условию ММ-'=М вЂ” 'М=1. Она строится иа основе следующего набора правил: 1. Находим детсрящнант (де! М) матрицы М.
Например, если /! 2з )1 2! М=13 4/, то 4е! М~3 4~=!Х4 — 2ХЗ= — 2. Гели де! М равен нулю, то матрица М является синзулярной и М ' нс существует (точно так же, как Π— ' соответствует пеонределенпости в Часта 2. Стрчктура б2 обычной арифметике). Если бе( МФО, то обратная матрица существует, поэтому читайте дальше. 2. Записываем перестановку М матрицы М. Например, М= (2 4) 3. Определяем М', где тт4;,— минор (с соответствующим зна. 4 — 21 ком) матрицы М,;. Например, М'=( З 1~. (Вообще говоря, минор — это детерминант матрицы с вычеркнутыми рядом т н столбцом с.) 4.
Тогда инверсии матрицы М определяется как М-'=М7г(еИИ. 2й /-2 Например, М вЂ” ' = (1~ — 2) З 1) =-~ З 1 ~. Очень легко про. в в верить, что зта матрица удовлетворяет соотношению ММ-'= =М 'М=-1. Одно нз важных применений матриц (кроме их роли, как представдений операций симметрии, рассмотренной в этой главе) состоит в решении системы уравнений.
Предположим, что вы встретились с системой из и линейных уравнений вида й4мх, +М,зхт+ ° ° ° +т)4,„х„=с~ Ммх3+М2ха+ ' +М х ст М„,х,+М„зх,+ .. +М„„х„=с„ и хотите найти х. Выразим это уравнение через матрицу М и мйтрицы 1Хтт (столбцовые вехторы) (х, с, с, П вЂ”, с в виде Мх —. с (проверьте это уравнение с помощью правила умножения матриц). Поскольку М вЂ” тМ=1, умножнм обе части па М-' и получим х-М "с (так как 1х=х). Это и есть решение системы уравнении; для его получения необходимо лищь инвертировать матрицу, и данные выше правила говорят, как это нужно делать.
16. Симметрия. Описание и сяедгтеил Литература йте91 О, Вупипе1гу, Рг!псе!оп Бпгеегзйу Ргеви Рипсе!оп, !952. джаффе Г., Орчин М. Симметрия в химан. Пер. с англ.— Мя Мир, 1967. Саггап Р.,4., С)зеш)сэ! эрйсаиопз ог йговр 1)зеогу, %11су, Ием зог(г, 1971. На)! У.. О., Огопр ()зевсу апб зугпше1гу 1п сйеш!з(гу, МсОгам-НВ1, 1(езиуогд 1969. В(заир О. л(., Огоир Гпеогу апб с)зеш(з(гу. С!агепбоп Ргезэ, Ох(огд, 1973, Виегйег М. Х„1пггобис(зоп 1о сгуз1а! псоше1гу, МсОгагг-Н1И, (з)ечг уог)г, 1971. Агй(пз Р.
(е'., СЖд М. б., РЛ(Шре С. 5. С., ТаЫез (ог йгоир 1)зевсу, С!аз«одоп Ргезз, Ох(огб, 1970. Задачи 16А. Назовите точечные группы, к которым принадлеигат следующие объекты: шар, равнобедренный и рэвззостароикнй треугольники, нсзатаченный н заточенный карандаши, зрехлопастный пропеллер, раза, снежинка, стал, вы сами, 16.2. Запишите элементы симметрии следующих молекуч н назовите точечные группы, к которым онн принадлежат; )з)0« (изогнутая), СНзС1. СС1зН, СНз=СНь лис.СНС1=СНС1, транс-СНС1=СНС!, нафталин, антрацеп, хлорбенэол.
16.3, Сделайте то же самос для следующих молекул: СНзСНз (эатормол',енная), днклагексан (кресла). ВзН«, СОз, Со(сп)зз«(«гп> означает этиленднамин; не об. ащзйте вниманззя на его детальпуга структуру), Яз (корона). 64. Группа Сзз содержит элементы Е. Сз. аь !. Составьте таблицу группового умножения. Найдите пример молекулы, обладающей симметрией этой группы. 16.5. Группа О*«имеет ось С,. перпендихулярвую главной осн 2.го порядка, а также горизонтальную зеркальную плоскость, Покажите, что эта группа должна иметь также цсвтр инверсии. 16,6, Какие нз молекул в задачах 162 и 16.3 могут иметь постоянный электрический дз1польный момент? 16.7.
Какие из молекул в задачах 16.2 и 16.3 могут быть оптически активпыииз 16Я, Рассмотрим молекулу воды (которая имеет симметрию Сз„) и возьмем в качестве базиса для построения молекулярных орбиталей две водородные !з-орбятали, а также 2з- и 2р-орбиталн кислорода. Напишите матрицы 6 К 6, которые воспроизводят влияние операций симметрии группы на этот базис. 16.9. Используйте матрицы, выведенные в предыдущей задаче„чтобы падтвср. лить, что оии правильно представляют групповые умножении: а) Сза,=о,' н б) па„С. 1616. Матрицы (одяомерпые) 0(Сз) — 1, 0(Сз) 1 и 0(Сз)=1, 0(Сз) — 1 явлиются разными матричными представлениямк для группы Сзз в том смысле, что они правильно воспроизводит умножение ѫѫ-Сз прн 0(С«д, равном ! в первом случае и — ! ва втором.
Подтвердите это, используя таблицу характеров. Каками являзотся представления а, и ае в каждом случае) 16,11. Одно нз полезных качеств таблид характеров состоит в том, что их можно использовать для очень быстрого получения вынадон с минимальной затратой работы. В качестве первого в серии упражнений по их использованию рассмотрите молекулу )з)Оз (Сз !. Комбинация р з — р,. где рю н р,з — орбнталн двух атаман кислорода (ось х перпендикулярна плоскости), относится к симметрии Аз. Есть ли у центрального атома азота какие-нибудь орбатали, с которымн эта комбинация может дать суззмарное псрскрынаниез Что будет н таи глчюс, если псигральныи атомом янляетса сера? 1642.
Основное состояние ИО, имеет симметрию А,. В какие возбужденные состояния мажво возбудить эту молекулу, когда ана поглощает свет (дипольпым переходоч), и какую поляризацию света необходима использовать) !663. Молекула С10и имеющая симметрию С,.„поймана з твердую ловушку. Известно, что ее основное состояние имеет симметрию Вз (она содержит один электрон ва р, орбитачи, выступающей нз компактной основы мозскулы, а р, Часть 2 Структура имеет синие>рию ВО, Свет, поляризованный параллельно оси у, возбудил молекулу до более высокого электронпого состояния. Какона симметрия этого сот>ояиия? !6.14, Какие состояния а) бснзала и б) нафталина могут быть достигнуты при поглощенна света их оспоапымк состояниями А>» н какова поляризация переходов> 16А5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
