Б.М. Гуревич - Курс лекций по теории случайных процессов (1134105)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций послучайным процессамЛектор — Борис Маркович ГуревичIII курс, 6 семестр, поток математиковМосква, 2005 г.Оглавление1.2.3.4.Общая теория случайных процессов1.1. Первая теорема Колмогорова . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Определение случайного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Конечномерные распределения случайной функции . . . . . . . . . . . .1.1.3. Теорема Колмогорова о согласованных конечномерных распределениях1.2. Ковариационные функции. Гауссовские процессы .

. . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Ковариационная функция случайного процесса . . . . . . . . . . . . . .1.2.2. Гауссовские случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Стационарность случайных процессов . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .1.2.4. Непрерывность случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................4444455688Стохастический интеграл и спектральное представление процессов2.1. Стохастические интегралы . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Интеграл от случайного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Ортогональная векторная мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3. Интеграл по ортогональной векторной мере . . .

. . . . . . . . . . . .2.1.4. Ортогональная и структурная меры винеровского процесса . . . . . .2.1.5. Процесс Орнштейна – Уленбека . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Стационарные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.2.2.1. Примеры и свойства стационарных процессов . . . . . . . . . . . . . .2.2.2. Теоремы Бохнера – Хинчина и Герглотца . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Теорема о спектральном представлении стационарного процесса . . .2.2.4. Эквивалентное условие дифференцируемости стационарного процесса2.2.5. Эргодическая теорема . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................99910101112131314141516Пуассоновский и винеровский процессы3.1. Пуассоновский процесс . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1. Определение и свойства пуассоновского процесса . . . . . . . . . . .3.1.2. Явная конструкция пуассоновского процесса . . . . . . . . . . . . . .3.1.3. Ортогональная случайная мера пуассоновского процесса . . .

. . . .3.2. Вторая теорема Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Ещё раз непрерывности процессов. Стохастическая эквивалентность3.2.2. Вторая теорема Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .3.3. Винеровский процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1. Построение непрерывного винеровского процесса на полупрямой . .3.3.2. Асимптотика траекторий винеровского процесса: оценка сверху . . .3.3.3. Неограниченность вариации винеровских траекторий . . . . .

. . . .3.3.4. Асимптотика траекторий винеровского процесса: оценка снизу . . .............................................................................................................................................................17171718202121212323242425Марковские процессы4.1. Марковские моменты. Мартингалы . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1. Определение марковского момента . . .

. . . . . . . . . . .4.1.2. Принцип отражения для винеровского процесса . . . . . .4.1.3. Мартингалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Шесть эквивалентных определений марковского процесса4.2.2. Примеры марковских процессов . . . . . .

. . . . . . . . .4.3. Марковские цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Переходные вероятности марковского процесса . . . . . .4.3.2. Конечномерные распределения марковской цепи . . . . .4.3.3. Переходная функция марковского процесса . . . . . . . .4.3.4. Однородные марковские процессы и цепи .

. . . . . . . . .4.3.5. Стационарные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................................26262626282828292929303031332..............................................................................ВведениеПредисловиеУбедительная просьба ко всем читателям: в случае обнаружения ошибок немедленно сообщайте авторамна dmvn@mccme.ru или загляните на http://dmvn.mexmat.net и посмотрите, где можно достать в настоящеевремя самих авторов. Все пожелания и предложения по поводу оформления и содержания документа будутобязательно приняты к сведению.

Последнее обновление: 27 января 2006 года. В данной версии уже есть всё,что было в программе экзамена 2005 года.Слова благодарностиХочется отметить добрым словом деятельность Иры Шитовой, Влада Короткова, Миши Малинина, КолиРудого, Вани Вегнера, Ани Черниловской, Паши Наливайко, Руслана Суюндыкова, Юры Кудряшова, СашиВоронцова и Пети Митричева за многочисленные замечания и багоисправление. Порядок имён столь же случаен,как и сия загадочная наука, и не указывает на чьё-либо превосходство в данном неблагодарном деле.

Всемспасибо!Используемые в тексте обозначения• Значком « » будем обозначать независимость случайных величин. Не следует путать с ортогональностью⊥, которая всего лишь означает, что величины некоррелированные (их ковариация равна нулю).• Через Law будем обозначать распределение1 (грубо говоря, этот значок — сокращение для слов «законраспределения»).• x ∧ y := min {x, y}.Литература[БШ] Булинский А.

В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.1 Обозначениезаимствовано из книги [БШ].341.1.1. Определение случайного процесса1. Общая теория случайных процессов1.1. Первая теорема Колмогорова1.1.1. Определение случайного процессаОпределение. Пусть T — произвольное множество. Пусть всякому t ∈ T поставлена в соответствие некоторая случайная величина ξt на некотором фиксированном вероятностном пространстве (Ω, F , P). Таким образом,можно считать, что задана функция ξ : T ×Ω → R (или C), причём при всяком фиксированном t ∈ T отображениеξ(t, ·) является случайной величиной. В этом случае ξ называется случайной функцией.Желая подчеркнуть, каким именно множеством заиндексировано семейство ξ, мы будем использовать записьξt , t ∈ T для обозначения случайной функции в целом.В самом общем случае можно считать, что задано измеримое пространство (X, A), а случайная функцияимеет вид ξ : T × Ω → X и при всяком фиксированном t является (F , A)-измеримой функцией.

Определение,данное выше, соответствует X = R и A = B(R) — борелевская σ-алгебра на R.Часто имеет смысл рассматривать менее абстрактные случайные функции.Определение. Если ξ — случайная функция, а T ⊂ R, то ξ называется случайным процессом. В этом случаена T появляется естественное упорядочение, поэтому оно часто называется временем.Примеры процессов с дискретным временем — это процессы, у которых T = N или T = Z.

Примеры процессовс непрерывным временем — это случаи T = R, T = [0, ∞).Другой важный класс случайных функций — это так называемые случайные поля, у которых T = Zk .Определение. Пусть S — некоторое множество функций, называемых основными (как правило, C∞0 ). Непрерывное линейное отображение, ставящее в соответствие функции f ∈ S некоторую случайную величину ξf ,называется обобщённой случайной функцией. Линейность означает, что ξλf +µg = λξf + µξg , а непрерывность —что если fn → f в S, то ξfn → ξf .

Сходимость может пониматься в разных смыслах — по вероятности, почтивсюду, по распределению, и т. д.1.1.2. Конечномерные распределения случайной функцииКак это принято в теории вероятностей, функцию распределения величины ξ будем обозначать Fξ .Пусть ξ : T × Ω → X — случайная функция, а (X, A) — измеримое пространство. Зафиксируем t ∈ T .Распределение случайной величины ξt будем обозначать µt . Это некоторая мера на пространстве X: пустьA ∈ A, тогдаµt (A) = P(ξt ∈ A) = P {ω : ξt (ω) ∈ A} .(1)В случае, когда A = (−∞, a], получаем Fξt (a) = µt (A).Аналогично построим конечномерные распределения. Положимµt1 ,...,tn (A1 × .

. . × An ) = P {ξt1 ∈ A1 , . . . , ξtn ∈ An } .(2)µt1 ,...,tn (A1 × . . . × An−1 × X) = µt1 ,...,tn−1 (A1 × . . . × An−1 ).(3)µt1 ,...,tn (A1 × . . . × An ) = µtσ(1) ,...,tσ(n) (Aσ(1) × . . . × Aσ(n) ),(4)Очевидно, чтоНе менее очевидно, что для произвольной подстановки индексов σ ∈ Sn имеемпоскольку непосредственно из определения следует, что это меры одного и того же множества.Определение. Условия (3) и (4) называются условиями согласованности конечномерных распределений.1.1.3. Теорема Колмогорова о согласованных конечномерных распределенияхОпределение.

Пусть (X, ρ) — метрическое пространство. Борелевской σ-алгеброй B(X, ρ) на пространстве X называется σ-алгебра, порождённая всеми открытыми множествами (в метрике ρ).Определение. Измеримое пространство (X, A) называется борелевским, если существует полное сепарабельное метрическое пространство (Y, ρ, B) и Y0 ∈ B такое, что (Y0 , B ) ∼= (X, A).Y0Теорема 1.1 (Колмогорова).

Пусть имеется борелевское пространство (X, A) и множество T . Пустьтакже для всякого набора t1 , . . . , tn определена мера µt1 ,...,tn на (X n , An ), причём все эти меры согласованы.Тогда существует случайная функция ξ : T × Ω → X на некотором вероятностном пространстве (Ω, F , P),конечномерные распределения которой совпадают с заданным семейством мер {µ}, то есть для всякого набораt1 , .

. . , tn имеемµt1 ,...,tn (A1 × . . . × An ) = P {ξt1 ∈ A1 , . . . , ξtn ∈ An } .(5)451.2.1. Ковариационная функция случайного процессаМы не будем излагать полностью доказательство теоремы Колмогорова, а чуть ниже изложим основнуюидею доказательства. Перед этим сделаем ряд замечаний.Эта теорема показывает, что условия согласованности конечномерных распределений являются необходимыми и достаточными для существования случайной функции с заданным набором конечномерных распределенийв классе борелевских пространств. Вообще говоря, этот класс очень широк. Кроме того, если ограничиться рассмотрением лишь вещественных (или комплексных) случайных величин, то пространство (X, A) автоматическистановится борелевским, ибо X = Rk , а A = B(Rk ).Заметим ещё, что для случая, когда T — конечное множество, эта теорема была фактически доказана в курсетеории вероятностей.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций