Б.М. Гуревич - Курс лекций по теории случайных процессов (1134105), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Используя соотношение2µ(∆) = kζ(∆)k , можно очень наглядно представлять себе связь между структурной и ортогональной мерами.Векторная мера интервала выдаёт вектор, соединяющий точку, в которой процесс был в начале интервала,и точку, в которую он пришёл к концу интервала. Структурная же мера µ возвращает квадрат длины этоговектора. Таким образом, интеграл от функции f по процессу — это просто интеграл Лебега по мере ζ. Это будетнекоторая случайная величина. Обозначение таково:ZZZf dξt := f (t) ζ(dt) ≡ f dζ.(11)TTT2.1.4. Ортогональная и структурная меры винеровского процессаАбстрактную чепуху предыдущего раздела проще переварить, если рассмотреть её на примере винеровскогопроцесса Wt на множестве T = (0, C].

Как мы уже отмечали, его приращения независимы, а потому ортогональны. Пусть ∆ = (s, t]. Поскольку (Wt − Ws ) ∼ N (0, t − s), а дисперсия вектора с нулевым средним — этов точности квадрат его длины, получаем, что22µ(∆) = kζ(∆)k = kWt − Ws k = t − s.(12)Мы видим, что в нашем случае структурная мера процесса — это просто мера Лебега!Пусть теперь f — некоторая (квадратично интегрируемая) функция. Положимηt :=Zt0f (u) dWu = I f · I[0,t] .(13)Покажем, чтоZs∧tKη (s, t) =|f (u)|2 du.(14)0Легко видеть, что Mηt ≡ 0 (это следует из того, что M(Wt − Ws ) = 0). Поэтому имеемKη (s, t) = (ηs , ηt ) =Zf (u) · I[0,s] f (u) · I[0,t] µW (du) =T=ZTZs∧tZs∧t2|f (u)| · I[0,s∧t] µW (du) =|f (u)| µW (du) =|f (u)|2 du, (15)200поскольку µW — это обычная мера Лебега.Чтобы иметь возможность говорить о dWs при s < 0, нужно определить ортогональную меру на R− . ПустьWt+ — винеровский процесс, а Wt− — ещё один винеровский процесс, не зависящий от Wt+ .

Пусть этим двумпроцессам отвечают ортогональные случайные меры ζ + и ζ − соответственно. Определим теперь меру ζ на всейпрямой, положив+A ⊂ R+ ;ζ (A),ζ(A) := 0,(16)A = {0} ; −ζ (−A), A ⊂ R− .Для всех остальных множеств определим значение меры как сумму мер пересечений множества с R+ и R−соответственно.Задача 2.2. Проверить, что полученная мера действительно является ортогональной.11122.1.5. Процесс Орнштейна – Уленбека2.1.5. Процесс Орнштейна – УленбекаОпределение (1). Процессом Орнштейна – Уленбека называется случайный процессξt := e−αt Wf (t) ,f (t) :=e2αt,2α(17)α > 0.Определение (2). Процессом Орнштейна – Уленбека называется центрированный гауссовский стационарный процесс ξt с ковариационной функциейKξ (s, t) =1 −α|s−t|e,2α(18)α > 0.Утверждение 2.5.

Определения процесса Орнштейна – Уленбека эквивалентны. Покажем, что из первого определения следует второе. Очевидно, Mξt ≡ 0, так как MWt ≡ 0. Он будетгауссовским, поскольку вектор (ξt1 , . . . , ξtn ) получается из гауссовского вектора (Ws1 , . . . , Wsn ), где si = f (ti ),линейным преобразованием, а значит, тоже является гауссовским. Найдём ковариационную функцию. Пустьs < t. Тогда имеем 2αs 2αt ee1 −α(t−s)−αs−αt−α(t+s)−α(t+s),=e. (19)Kξ (s, t) = M eWf (s) , e Wf (t) = eM Wf (s) Wf (t) = emin2α 2α2αЕсли же t < s, получим Kξ (s, t) =1 −α(s−t).2α eИтого получаемKξ (s, t) =1 −α|s−t|e.2α(20)Отсюда же видно, что этот процесс является стационарным (в широком смысле), ибо ковариационная функциязависит лишь от разности аргументов.Обратно, пусть ξt — процесс Орнштейна – Уленбека в смысле второго определения.

Рассмотрим процессηt :=√2αt · ξg(t) ,g(t) :=ln t,2α(21)и положим η0 := 0. Покажем, что он является винеровским (для этого проверим все условия первого определения винеровского процесса). Центрированность очевидна, а гауссовость проверяется аналогично. Найдёмковариационную функцию. Пусть s 6 t, тогда g(s) 6 g(t). Имеемr sln tln t ln s11s1cov(ηg(t) , ηg(s) ) = Kξ g(t), g(s) =exp −α−=exp=.(22)2α2α2α2α22α tОтсюда√√√1Kη (s, t) = 2αt · 2αs · cov(ηg(t) , ηg(s) ) = 2α st ··2αrs= s.t(23)Аналогично можно показать, что при s > t получим Kη (s, t) = t. Таким образом, мы показали, что Kη (s, t) =min(s, t), то есть совпадает с ковариационной функцией винеровского процесса.2αuСделаем замену t = e2α .

Тогда√ln tln 2α=u−,2αt = eαu .(24)2α2αТогда, обозначая c :=ln 2α2α ,получаемeαu ξu−c = Wf (u)⇔ξu−c = e−αu Wf (u) ,c = g(2α) =ln 2α.2α(25)Мы видим, что процесс ξt с точностью до сдвига по времени4 совпадает с процессом Орнштейна – Уленбека. Задача 2.3. Доказать, что процесс Орнштейна – Уленбека можно представить в видеξt := e−αtξ0 +Zt04 Этоeαu dWu ,(26)ни на что не влияет, ибо для гауссовских процессов стационарность в узком и широком смыслах совпадают. Значит, у неготочно такое же распределение, как и у «несдвинутого» процесса.12132.2.1. Примеры и свойства стационарных процессов1и не зависит от Wt .где α > 0, а величина ξ0 имеет распределение N 0, 2αРешение. Для краткости положимI(t) :=Zteαu dWu .(27)0Вычислим ковариационную функцию процесса ξt .

Пусть, как обычно, s 6 t. В силу независимости ξ0 и Wt имеем1cov ξ0 + I(s), ξ0 + I(t) = cov(ξ0 , ξ0 ) + cov I(s), I(t) =+2αZs∧t11 2αs1 2αse2αu du =+(e− 1) =e .2α 2α2α(28)0Отсюда1 −α(t−s)e.Kξ (s, t) = e−αs · e−αt · cov ξ0 + I(s), ξ0 + I(t) =2αАналогично, при s > t получаем1 −α(s−t)Kξ (s, t) =e.2α(29)(30)1 −α|s−t|Таким образом, показано, что Kξ (s, t) = 2αe.Осталось объяснить, почему полученный процесс будет гауссовским. Это следует из общего факта о том,что предел гауссовских величин тоже является гауссовской величиной, а интеграл есть предел частичных сумм(линейных комбинаций гауссовских приращений винеровского процесса). Пользуясь результатами предыдущего раздела (доопределение dWs при s < 0) и этой задачей, можно доопределить процесс Орнштейна – Уленбека на всей прямой:ηt := e−αtξ0 +Zteαs−∞dWs ≡ e−αtξ0 +Zt−∞eαs ζ(ds) .(31)2.2.

Стационарные процессы2.2.1. Примеры и свойства стационарных процессовe − t). Для упрощения обознаРассмотрим стационарный процесс ξt , у которого m(t) ≡ const и Kξ (s, t) = K(sчений мы не будем писать волну у функции K, потому что сама ковариационная функция нам здесь не нужна.В общем случае получаем, что K(−t) = K(t), а если процесс вещественный, то K будет чётной функцией. Заметим, что если K непрерывна в нуле, то процесс непрерывен в среднем квадратичном, а потому непрерывнавсюду его ковариационная функция.

Но тогда K будет непрерывна всюду.Рассмотрим несколько примеров стационарных процессов.Пример 2.1. Если ξn — независимые одинаково распределённые случайные величины, то процесс ξn стационарен в узком смысле.Пример 2.2. Пусть Mξn = 0, Dξn = σ 2 и ξi ⊥ξj при i 6= j. Тогда процесс ξn стационарен в широком смысле.Пример 2.3. Пусть ξk — вещественные ортогональные случайные величины, и Mξk = 0. Пусть λk ∈ R.Рассмотрим случайные величиныNXηn :=ξk eiλk n , n ∈ Z.(32)k=1Покажем, что процесс ηn стационарен в широком смысле. Очевидно, что Mηn = 0, поэтому Kη (n, m) = M(ηn η m ).Следовательно,Kη (n, m) = MNXk=1ξk eiλk n ·NXl=1NXξl e−iλl m =eiλk n e−iλl m M(ξk ξ l ) =k,l=1=NXk=1eiλk n e−iλk m M|ξk |2 =NXk=1eiλk (n−m) M|ξk |2 = K(n − m).(33)Таким образом, ковариационная функция зависит только от разности своих аргументов.

Это и означает стационарность в широком смысле.13142.2.2. Теоремы Бохнера – Хинчина и ГерглотцаПример 2.4. Пусть ξn ∈ L2 (Ω, P) независимы и одинаково распределены, и {an } ∈ ℓ2 . Положим∞Xηn :=(34)ak ξn+k .k=0Можно считать, что Mξn ≡ 0 (ковариация будет такой же). Покажем, что процесс ηn стационарен в широкомсмысле. Имеем XXX(35)cov(ηm , ηn ) =ak ξm+k ,ap ξn+p =ak ap M(ξm+k ξ n+p ).kpk,pВ силу независимости останутся только слагаемые, для которых m + k = n + p, то есть p = k − (n − m). ПустьM|ξn |2 = M . Тогда ковариация равнаXXcov(ηm , ηn ) =ak ak−(n−m) M|ξn+k |2 = M ·ak ak−(n−m) .(36)kkТем самым показано, что ковариационная функция зависит только от разности n − m.2.2.2.

Теоремы Бохнера – Хинчина и ГерглотцаДве теоремы, которые далее будут сформулированы, мы доказывать не будем.Определение. Функция K(t) называется неотрицательно определённой, если таковой является функцияbK(s, t) := K(s − t) для всех s, t ∈ T .Будем называть функцию K(t) симметричной, если K(−t) = K(t).Теорема 2.6 (Бохнера – Хинчина). Пусть функция K(t) непрерывна на R, симметрична и неотрицательно определена. Тогда имеет место представлениеZK(t) = eist µ(ds),(37)Rгде µ — некоторая конечная мера на R.Теорема 2.7 (Герглотца). Пусть симметричная функция K(n), где n ∈ Z, является неотрицательноопределённой. Тогда5 имеет место представлениеK(n) =Zπeisn µ(ds),(38)−πгде µ — некоторая конечная мера на [−π, π].Пусть ξt — стационарный процесс, а Kξ (t) — его ковариационная функция.

Заметим, что к функции Kξ (t)применима теорема Бохнера – Хинчина:ZKξ (t) = eist µξ (ds).(39)RПолученная мера µξ называется спектральной мерой процесса ξt . В случае, если она оказалась абсолютно непрерывной относительно меры Лебега, её можно по теореме Радона – Никодима представить некоторой плотностью,называемой в этом случае спектральной: µξ (ds) = ρξ (s) ds.2.2.3. Теорема о спектральном представлении стационарного процессаПусть, как обычно, H := L2 (Ω, P), а ξt — стационарный в широком смысле центрированный процесс, и K(t)непрерывна в нуле.

Характеристики

Список файлов лекций