Б.М. Гуревич - Курс лекций по теории случайных процессов (1134105), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пусть |T | = n. ПоложимΩ := X n ,F := An ,P := µt1 ,...,tn ,ξti (ω) = ξti (x1 , . . . , xn ) := xi .(6)Фактически, i-я случайная величина есть i-я координатная проекция. Очевидно, что это действительно случайная величина, поскольку прообразы множеств при координатных проекциях — это цилиндры с одномернымиобразующими, а такие множества, конечно, принадлежат нашей σ-алгебре.Задача 1.1. Показать, что µti1 ,...,tik = Law(ξti1 , . . . , ξtik ).Напомним, что через X T обозначается множество всех отображений f : T → X.Задача 1.2.
Показать, что если |T | = n, то X T ∼= X n.Определение. Цилиндр — это подмножество в X T вида,...,AkCtA1 1,...,t:= {f : f (t1 ) ∈ A1 , . . . , f (tk ) ∈ Ak } .k(7)Множества A1 , . . . , Ak называются образующими цилиндра.Наметим теперь доказательство теоремы Колмогорова. Основная идея уже была изложена, когда мы рассмотрели случай конечного T . Итак, в общем случаеположим Ω := X T . На цилиндрических множествах вероятность определяется так:P(C) := µt1 ,...,tk (A1 × .
. . × Ak ).(8)Если доказать, что на алгебре объединений цилиндров полученная мера счётно-аддитивна, то можно применитьтеорему о продолжении меры, и всё будет доказано — искомая вероятностная мера будет распространена наσ-алгебру, порождённую всеми цилиндрами. В доказательстве этого факта и содержится основная трудность,и мы не будем этого делать.После этого всё совсем просто: положим ξt (f ) := f (t). Мы здесь используем нестандартное обозначение длясобытия, чтобы подчеркнуть, что в нашем случае события — это функции.
С помощью теоремы Колмогорова можно легко доказывать существование независимых одинаково распределённых случайных величин. Пусть µt — вероятностная мера на (X, A). Пусть Law ξt = µt . Применим теорему Колмогорова и заметим, что для пространства (X n , An ) имеем µt1 ,...,tn = µt1 ⊗ . . .
⊗ µtn . В самом деле,nQµt1 ,...,tn (A1 × . . . × An ) =µti (Ai ), поэтому по определению величины ξt1 , . . . , ξtn будут независимыми.i=11.2. Ковариационные функции. Гауссовские процессы1.2.1. Ковариационная функция случайного процессаРассмотрим самый простой пример нетривиального случайного процесса. Пусть ξ — случайная величина,а f : R+ → R — произвольная функция. Рассмотрим процесс ξt (ω) := ξ(ω)f (t). Очевидно, что он удовлетворяетвсем аксиомам случайной функции. Однако этот пример неинтересен тем, что если f (0) 6= 0, то, зная ξ0 и f , мысможем определить его в любой момент времени.Мы чаще всего будем рассматривать вещественные или комплексные случайные процессы, поэтому в дальнейшем, если не оговорено противное, они будут подразумеваться таковыми.Определение.
Пусть ξt — случайный процесс. Положим m(t) := Mξt . Процесс называется центрированным,если m(t) ≡ 0.Определение. Ковариационной функцией процесса ξt называется величинаKξ (s, t) := cov(ξs , ξt ) = M(ξs − Mξs )(ξt − Mξt ).Теорема 1.2 (Свойства ковариационной функции).1◦ Если η(t, ω) = ξ(t, ω) + f (t), то Kη = Kξ .5(9)61.2.2. Гауссовские случайные процессы2◦ Антисимметричность: Kξ (s, t) = Kξ (t, s).3◦ Kξ (t, t) = Dξt .4◦ Неотрицательная определённость: для ∀ t1 , . . .
, tn ∈ T и ∀ z1 , . . . , zn ∈ CXzi Kξ (ti , tj )z j > 0.(10)i,j Первые три свойства вытекают непосредственно из определения. Докажем последнее свойство. В силупервого свойства можно ограничиться рассмотрением случайных процессов, у которых Mξt ≡ 0. А для такихслучайных процессов имеемXX2XXXzi Kξ (ti , tj )z j =zi M ξti ξ tj z j = Mzi ξti ·zi ξti = Mzi ξti > 0,(11)i,ji,jчто и требуется. 1.2.2. Гауссовские случайные процессыОпределение. Случайная функция ξt называется гауссовской, если все её конечномерные распределениягауссовские, то есть для ∀ t1 , . . .
, tn вектор (ξt1 , . . . , ξtn ) имеет многомерное нормальное распределение.Из курса теории вероятностей (см. например, [БШ, с. 51]) известно следующееУтверждение 1.3 (Эквивалентные определения гауссовского вектора). Пусть ξ~ = (ξ1 , . . . , ξn ) —случайный вектор. Он является гауссовским, если выполнено любое из трёх эквивалентных условий:1◦ Характеристическая функция ξ~ имеет вид1 ~~~~ϕξ (t) = exp i(~a, t) − (C t, t) ,2(12)где C — некоторая симметрическая неотрицательно определённая матрица (матрица ковариаций) и ~a —некоторый фиксированный вектор (среднее значение).P2◦ Для любых c1 , .
. . , cn ∈ R величинасi ξi имеет нормальное распределение.◦~3 Вектор ξ получается из стандартного гауссовского вектора с независимыми компонентами путём линейного преобразования, то есть ξ~ = Aξ 0 , где A — произвольная матрица, а ξ 0 = (ξ10 , . . . , ξn0 ), и ξi0 ∼N (0, 1) и независимы в совокупности.~ то есть матрицу cij = cov(ξi , ξj ), будем обозначатьДля краткости ковариационную матрицу вектора ξ,через cov(ξ).Теорема 1.4. Для любых вещественнозначных функций m(t) и K(s, t), где K(s, t) удовлетворяет всемсвойствам ковариационной функции, существует гауссовская случайная функция ξt , у которой Mξt = m(t)и Kξ (s, t) = K(s, t).
Снова нам достаточно рассмотреть случай m(t) ≡ 0. Фиксируем произвольные t1 , . . . , tn ∈ T и рассмотрим матрицу C := (cij ), где cij := K(ti , tj ). В силу свойств функции K(s, t), эта матрица симметричнаи неотрицательно определена. Значит, она диагонализуема с помощью ортогональной замены координат, то−1есть найдётся оператор O ∈ On (R), для√ которого√C = O DO, где D = diag(d1 , .
. . , dn ) и все di > 0. Извлечём−1корень из матрицы C. Положим A := C := ODO. Проверим, что квадрат матрицы A действительно равенC:√ 2√√√ √C = (O−1 DO)(O−1 DO) = O−1 D DO = O−1 DO = C.(13)√ 0Положим η := Cξ , где ξ 0 — стандартный гауссовский вектор. Имеем Mη = 0. Покажем, что ковариационная матрица у вектора η есть в точности матрица C.
Действительно, ковариация есть билинейная функция насоответствующем пространстве. Мы знаем, как меняется значение билинейной функции при замене координат:если η = Aξ, то cov(η) = At cov(ξ)A. Значит, в нашем случае√√cov(η) = cov(Aξ) = At cov(ξ)A = CE C = C,(14)так как у стандартного вектора координаты не коррелируют. Таким образом, распределение η при каждомнаборе t1 , .
. . , tn задаёт конечномерное распределение искомого гауссовского процесса.Остаётся показать согласованность конечномерных распределений. Мы знаем, что гауссовские распределенияоднозначно определяются матрицей ковариаций и вектором математических ожиданий координат. Выполнение671.2.2. Гауссовские случайные процессывторого условия согласованности очевидно — перестановке ti и tj соответствует перестановка i-го и j-го столбца,а также i-й и j-й строки в матрице ковариаций (поэтому «переставленное» распределение будет как раз таким,как нужно).
Что касается первого свойства, то оно тоже очевидно, ибо любой подвектор гауссовского векторатоже гауссовский (это хорошо видно из третьего эквивалентного определения), и новая ковариационная матрицаявляется подматрицей в исходной матрице. Пример 2.1. Пусть T = [0, ∞). Рассмотрим процесс, у которого K(s, t) = min(s, t), а m(t) ≡ 0.
Симметричность K очевидна. Докажем её неотрицательную определённость: рассмотрим функции fs := I[0,s] (индикаторсоответствующего отрезка). Очевидно, чтоZ∞(15)fs ft dx = min(s, t).0Осталось заметить, чтоXi,jzi z j K(ti , tj ) =Xzi z ji,jZ∞0fti ftj dx =Z∞X0Z∞X2Xzi fti (x)zi fti (x) dx = zi fti (x) dx > 0.(16)0Определение (1). Пусть T = [0, ∞). Гауссовский процесс Wt , у которого m(t) ≡ 0, K(s, t) = min(s, t),называется винеровским процессом.Определение. Процесс ξt называется процессом с независимыми приращениями, если для любых моментоввремени 0 = t0 < t1 < .
. . < tn величиныξt0 , (ξt1 − ξt0 ), . . . , (ξtn − ξtn−1 )(17)независимы в совокупности.Утверждение 1.5. Винеровский процесс Wt обладает независимыми приращениями. Покажем, что приращения винеровского процесса — это некоррелированные случайные величины. В самом деле, пусть q < r < s < t. Тогдаcov(Wr − Wq , Wt − Ws ) = cov(Wr , Wt ) − cov(Wq , Wt ) − cov(Wr , Ws ) + cov(Wq , Ws ) == min(r, t) − min(q, t) − min(r, s) + min(q, s) = r − q − r + q = 0, (18)что и означает некоррелированность.
Но для гауссовских случайных величин из некоррелированности следует2независимость, а приращения винеровского процесса, очевидно, гауссовские, поскольку векторW0 , Wt1 − W0 , Wt2 − Wt1 , . . . , Wtn − Wtn−1(19)легко получить из вектора (W0 , Wt1 , . . . , Wtn ) линейным преобразованием (там будет транспонированная жорданова клетка −J t (−1)). п.н.Определение (2). Винеровским называется процесс Wt с независимыми приращениями, у которого W0 = 0,и (Wt − Ws ) ∼ N (0, t − s) для любых s < t.Утверждение 1.6. Оба определения винеровского процесса эквивалентны.п.н.
Покажем, что из первого определения следует второе. Имеем W0 = 0, так как DW0 = K(0, 0) = 0. Независимость приращений была отдельно проверена в предыдущем утверждении. Величина Wt − Ws имеет нормальное распределение как линейная комбинация гауссовских величин. Найдём дисперсию. Так как MWt = 0,то мы имеемD(Wt − Ws ) = K(t, t) − K(s, t) − K(t, s) + K(s, s) = t − 2 min(s, t) + s.(20)Если s < t, то D(Wt − Ws ) = t − 2s + s = t − s, что и требовалось доказать.Обратно: положим s = 0.
Тогда Wt − Ws = Wt − W0 = Wt ∼ N (0, t). Значит, MWt = 0. Гауссовостьследует из того, что можно получить вектор (Wt0 , . . . , Wtn ) из соответствующего вектора приращений линейнымпреобразованием, а координаты вектора приращений независимы (см. эквивалентные определения гауссовскоговектора). Вычислим ковариационную функцию. При s = t доказывать нечего. Пусть теперь s < t. ИмеемK(s, t) = cov(Ws , Wt ) = cov(Ws , Wt − Ws ) + cov(Ws , Ws ) = cov(Ws − W0 , Wt − Ws ) + DWs = 0 + s = s.(21)Если же s > t, то аналогичной выкладкой получаем K(s, t) = t. Итак, доказано, что K(s, t) = min(s, t).
2 Некоррелированность означает, что матрица ковариаций диагональна. Значит, характеристическая функция распадётся в произведение характеристических функций компонент вектора. Это условие является необходимым и достаточным для независимости.781.2.3. Стационарность случайных процессов1.2.3. Стационарность случайных процессовОпределение.
Случайный процесс ξt называется стационарным в широком смысле, если m(t) ≡ constи Kξ (s + h, t + h) = Kξ (s, t) для всех h.Отметим, что винеровский процесс не является стационарным, но является процессом со стационарными(в широком смысле) приращениями, то есть для q < r < s < t выполняются свойства:1◦ M(ξt − ξs ) = f (t − s), где f — некоторая функция;hihi2◦ M (ξr − ξq )(ξt − ξs ) = M (ξr+h − ξq+h )(ξt+h − ξs+h ) для всех h.Определение. Процесс ξt называется стационарным в узком смысле, если его конечномерные распределения инвариантны относительно сдвигов, то есть обладают свойствомµt1 +h,...,tn +h = µt1 ,...,tn .(22)Пример 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
