Б.М. Гуревич - Курс лекций по теории случайных процессов (1134105), страница 5
Текст из файла (страница 5)
ПоложимHξ0 := hξt1 , . . . , ξtk | ti ∈ T i .(40)Это минимальное линейное пространство, натянутое на множество векторов {ξt | t ∈ T }. Рассмотрим пространствоHξ := Cl Hξ0 .(41)Заметим, что Hξ сепарабельно, поскольку в силу непрерывности процесса коэффициенты линейных комбинацийи моменты времени можно брать только рациональными.5 На самом деле, теорема Герглотца утверждает большее: представимость функции K(n) таким интегралом является необходимым и достаточным условием для неотрицательной определённости.14152.2.4. Эквивалентное условие дифференцируемости стационарного процессаЗаметим, что пространство L := L2 (R, µξ ) также сепарабельно и потому изоморфно Hξ .
Построим явноизоморфизм Φ : L → Hξ . Обозначим ϕt (λ) := eiλt . Положим(42)Φ(ϕt ) := ξtи покажем, что определённое так отображение сохраняет скалярное произведение. Действительно,ZZZ!(ξt , ξs ) = M(ξt ξ s ) = K(t − s) = eiu(t−s) µξ (du) = eiut · e−ius µξ (du) = eiut eius µξ (du) = (ϕt , ϕs ).RR(43)RВ равенстве, отмеченном «!», применяетсятеорема Бохнера – Хинчина. Распространяя отображение Φ по лиPнейности и замечая, что функцииck ϕtk плотны в L2 по любой мере, получаем искомый изоморфизм. Сюръективность следует из того, что образами функций ϕt являются как раз порождающие пространства Hξ .После того, как изоморфизм Φ построен, можно сформулировать и доказать саму теорему о спектральномпредставлении.Теорема 2.8 (О спектральном представлении стационарного процесса).
Существует ортогональная случайная мера Zξ на R такая, чтоZeist Zξ (ds).ξt =(44)R Построим ортогональную векторную меру ζ : B(R) → L2 (R, µξ ). Пусть A — борелевское множество напрямой. Положим ζ(A) := IA . Она действительно будет ортогональной векторной мерой, поскольку (IA , IB ) == µξ (A∩B). Теперь построим ортогональную случайную меру, «перетащив» ζ с помощью нашего изоморфизма Φна Hξ :Zξ (A) := Φ ζ(A) .(45)Сохранение свойства ортогональности обеспечивается тем, что Φ — изоморфизм гильбертовых пространств.Осталось пояснить, почему верно равенство (44).Вспомним, как велось построение стохастического интеграла (по ортогональной случайной мере). На индикаторе множества его значение полагалось равным ортогональной мере этого множества.
В нашем случаеимеемI(IA ) = Zξ (A).(46)С другой стороны, изоморфизм Φ был устроен так, чтоΦ(IA ) = Φ ζ(A) = Zξ (A).(47)Но если два линейных отображения совпадают на индикаторах, то они обязаны совпадать. Итак, I = Φ, а этои означает, что имеет место указанная формула, ибоZξt = Φ(ϕt (s)) = I ϕt (s) = I(eist ) = eist Zξ (ds).(48)RТеорема доказана. 2.2.4. Эквивалентное условие дифференцируемости стационарного процессаТеорема 2.9. Пусть ξt — стационарный центрированный процесс. Производная ξt′ существует тогдаи только тогда, когда существует интегралZs2 µξ (ds).(49)RПусть процесс дифференцируем.
Тогда существует предел в среднем квадратичном в Hξ :ξt+h − ξt.h→0hξt′ = lim(50)Поскольку при изоморфизме Φ вектору ξt соответствует вектор ϕt , получаем, что существует и соответствующийпредел в L2 (R, µξ ):ϕt+h − ϕtdd its lim= ϕt (s) =e= is · eits .(51)h→0hdtdt15162.2.5. Эргодическая теорема2Следовательно, функция is·eits должна лежать в L2 (R, µξ ), то есть существует интеграл от функции is · eits == s2 . Но это и означает, чтоZs2 µξ (ds) < ∞.(52)RДля доказательства обратного утверждения нужно лишь заметить, что рассуждения обратимы.
Заметим, что производная стационарного процесса, если она существует, автоматически является стационарным процессом, поскольку всякий линейный оператор с постоянными коэффициентами, очевидно, не портит стационарности в широком смысле (не верите — напишите ковариационную функцию для произвольнойлинейной комбинации стационарных процессов, раскройте всё по линейности и убедитесь в том, что полученноевыражение инвариантно относительно сдвигов).Задача 2.4. Пусть ξt — стационарный процесс. Если существует непрерывный процесс ξt′ , то его спектральная мера будет такая:µξ′ (dλ) = λ2 µξ (dλ).(53)Решение. Имеемξt+h − ξt= lim Φh→0h→0hξt′ = limeiλ(t+h) − eiλth= Φ iλeiλt .(54)Пусть Kξ′ — ковариационная функция процесса ξt′ . По теореме Бохнера – Хинчина она представляется интегралом по некоторой мере µξ′ :Z(55)Kξ′ (τ ) = eiλτ µξ′ (dλ).RТеперь явно посчитаем ковариационную функцию Kξ′ .
ИмеемZ Z′ ′iλsiλtKξ′ (s, t) = M ξs ξt = iλe iλe µξ (dλ) = λ2 eiλ(s−t) µξ (dλ).RПоложим τ = s − t :ZKξ′ (τ ) =(56)Rλ2 eiλτ µξ (dλ) =RZeiλτ µξ′ (dλ).(57)RiλτТеперь мы видим, что интегралы от функций вида eпо двум разным мерам совпадают для всех τ . Этифункции всюду плотны в L2 по любой мере. Значит, можно сколь угодно точно приблизить индикатор любогомножества линейной комбинацией таких функций, а отсюда следует, что меры µξ′ и λ2 µξ совпадают.
2.2.5. Эргодическая теоремаТеорема 2.10 (Эргодическая теорема, дискретный случай). Пусть ξn — стационарный центрированный процесс. Тогдаn1Xξk → Zξ {0} в Hξ , n → ∞.(58)nk=1Теорема 2.11 (Эргодическая теорема, непрерывный случай). Пусть ξt — непрерывный в среднемквадратичном центрированный стационарный процесс. Тогда1TZT0ξt dt → Zξ {0} в Hξ ,T → ∞.(59)Нам нужно показать, что наш интеграл сходится в пространстве Hξ . С помощью изоморфизма Φперенесём эту сходимость в пространство L2 (R, µξ ). Величине ξt при изоморфизме Φ соответствует функцияϕt (s) = eits , а мере множества Zξ (A) — индикатор множества A.
Итак, теперь нам нужно доказать, что1TZT0eits dt → I{0} в L2 (R, µξ ).16(60)173.1.1. Определение и свойства пуассоновского процессаНесложно проверить, что имеет место поточечная сходимость1TZT0eitsdt → I{0} =(1, s = 0;0, s =6 0,T → ∞.(61)Осталось обосновать предельный переход T → ∞ и показать, что имеется сходимость в среднем квадратичном.Применим теорему Лебега о мажорированной сходимости. Для нахождения мажоранты воспользуемся неравенством |a − b|2 6 2 |a|2 + |b|2 .
Применяя его, получаем ZT 1 ZT221 itse dt − I{0} 6 2 2 eits dt + 1 6 2(1 + 1) = 4.TT0(62)0А поскольку мера µξ на R конечна, всякая константа является интегрируемой функцией. Замечание. Доказательство дискретного случая этой теоремы ничем не отличается от непрерывного, развечто интеграл от 0 до T заменится на сумму от 1 до n.Пусть процесс ξt стационарен (в широком смысле). Тогда его матожидание постоянно и равно некоторомучислу m. Как мы знаем, интеграл от случайного процесса по времени — это предел интегральных сумм.
Математическое ожидание каждой суммы, очевидно, равно сумме длин отрезков разбиения, умноженных на m = Mξtk ,и потому оно просто равно mT , где T — длина отрезка интегрирования. Значит,1MTZTξt dt =01· mT = m.T(63)С другой стороны, если рассмотреть центрированный процесс ξet := ξt − m, то для него Zξe = Zξ и справедливаэргодическая теорема, из которой следует, что1TZT0Следовательно,1TZT0ξet dt → Zξ {0} .ξt dt → m + Zξ {0} .(64)(65)Следствие 2.1.
Мера µξ не имеет атомов в нуле тогда и только тогда, когда имеет место закон большихчиселZT1ξt dt → m, T → ∞.(66)T0 ЗБЧ будет выполнен, если и только если вектор Zξ {0} равен нулю в Hξ . Но, как мы знаем, структурная мера множества — это квадрат длины значения соответствующей векторной меры на этом множестве.Итак, вектор будет нулевым тогда и только тогда, когда структурная мера нашего множества нулевая.
А этои требуется доказать. 3. Пуассоновский и винеровский процессы3.1. Пуассоновский процесс3.1.1. Определение и свойства пуассоновского процессаНапомним, что случайная величина ξ имеет пуассоновское распределение π(λ), еслиP(ξ = k) = e−λ ·λk,k!k ∈ Z+ .(1)Определение. Пусть T = [0, +∞), а λ — фиксированное положительное число. Процесс ξt называетсяпуассоновским, если17183.1.2.
Явная конструкция пуассоновского процесса1◦ ξ0 = 0;2◦ Процесс имеет независимые приращения;3◦ ξt − ξs ∼ π λ(t − s) при s < t.Утверждение 3.1 (Свойства пуассоновского процесса).1◦2◦3◦4◦5◦1◦2◦3◦4◦5◦Приращения процесса стационарны;ξt ∼ π(λt);Mξt = λt, Dξt = λt;ξt принимает целые неотрицательные значения;ξt непрерывен в среднем квадратическом.В самом деле,Следует непосредственно из определения: распределение приращений зависит только от разности (t − s).п.н.Имеем ξ0 = 0, поэтому ξt = ξt − ξ0 ∼ π(λt).Из теории вероятностей мы знаем, что если ξ ∼ π(λ), то Mξ = λ и Dξ = λ. Теперь всё следует из 2◦ .Сразу следует из 2◦ и определения пуассоновской случайной величины.По определению процесса, (ξt+h − ξt ) ∼ π(λh).
Поэтому2kξt+h − ξt kL2 (P) = M|ξt+h − ξt |2 = D(ξt+h − ξt ) + M2 |ξt+h − ξt | = λh + (λh)2 → 0,h → 0.(2)Ну вот и всё, а вы боялись. . . 3.1.2. Явная конструкция пуассоновского процессаСейчас мы построим некоторый процесс, а потом докажем, что он является пуассоновским. Рассмотримпоследовательность ζn независимых случайных величин, распределённых показательно с параметром λ > 0, тоесть имеющих плотностьp(x) = I{x>0} λe−λx .(3)ПоложимSn :=nXζi ,(4)S0 := 0.i=1Положим теперьξt := max {n : Sn 6 t} ,(5)t > 0.21S0 S1S2S3Рис. 1.
Типичная траектория пуассоновского процессаНапомним, что вариационным рядом выборки X1 , . . . , Xn называются случайные величины X(1) , . . . , X(n) ,полученные из исходной выборки упорядочением по возрастанию.Лемма 3.2. Пусть τi — точки, в которых происходят скачки траектории процесса ξt . Они, очевидно,являются случайными величинами. Пусть t > 0. Тогда совместное распределение величин τ1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
