Б.М. Гуревич - Курс лекций по теории случайных процессов (1134105), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

. , τn при условии, что на отрезке ∆ := [0, t] имеется ровно n скачков, совпадает с распределением вариационного ряда длянезависимых случайных величин X1 , . . . , Xn , равномерно распределённых на ∆. Обозначим через Y1 , . . . , Yn вариационный ряд, соответствующий величинам X1 , . . .

, Xn . Рассмотримнепересекающиеся упорядоченные интервалы ∆1 , . . . , ∆n на отрезке ∆. Вычислим вероятностьP1 := P(Y1 ∈ ∆1 , . . . , Yn ∈ ∆n ).(6)Очевидно, имеет место равенство событийA := {Y1 ∈ ∆1 , . . . , Yn ∈ ∆n } =[ σ∈Sn18[Xσ(1) , . . . , Xσ(n) =:Bσ .σ(7)193.1.2. Явная конструкция пуассоновского процессаТак как отрезки ∆i не пересекаются (в худшем случае имеют общие концы), вероятность события A равна суммевероятностей событий в правой части.В силу независимости величин Xi и их равномерной распределённости вероятность каждого из событий Bσне зависит от перестановки σ и равна|∆n ||∆1 |·... ·.(8)P(Bσ ) =ttЗначит, просуммировав по всем перестановкам одинаковые слагаемые, коих n!, получимP1 = n! ·n|∆1 ||∆n |n! Y·...

·= n·|∆i |.ttt i=1(9)Теперь посчитаем условную вероятность:P(S1 ∈ ∆1 , . . . , Sn ∈ ∆n ; Sn+1 > t)P(AB).P2 := P(τ1 ∈ ∆1 , . . . , τn ∈ ∆n | nскачков{z на ∆}) = P(B) =|{z} |P(Sn 6 t, Sn+1 > t)(10)BAПоскольку ζi независимы, их совместная плотность — это произведение одномерных плотностей:pζ~ (x1 , . . . , xn ) = I{xi >0} · λn e−λ(x1 +...+xn ) .Вычислим плотность распределения сумм Sn . Имеем  1S1 S2  1   ..  =  .

 Sn(11) ζ1   ζ2  .  .  .ζn10..1.(12)Сделаем замену переменных. Из анализа известно: если имеется гладкая замена переменных y = y(x), то плотность преобразуется по формуле (это обычная замена переменных в кратном интеграле) ∂x p y(x) = p(y) · .(13)∂y−1В нашем случае замена координат линейна, а потому ∂x. Легко проверить, что∂y = С1−1 1−1.C =......−1 10(14)0Значит, C · (y1 , . . .

, yn )t = (y1 , y2 − y1 , . . . , yn − yn−1 )t . Тогда плотность в новых координатах превратится вp(y) = I{06y1 6...6yn } · λn e−λyn .(15)Таким образом, искомая вероятность равнаP (AB) =QZn+1 −λyn+1λendy1 . . . dyn+1 = λZ∞λe−λyn+1Qt∆i ×[t,∞)dyn+1Zdy1 . . . dyn = λn e−λt∆iТеперь вычислим знаменатель. Обозначим Y := {0 6 y1 6 . .

. yn 6 t}. ИмеемZZn+1 −λyn+1n −λtP (B) =λedy1 . . . dyn+1 = λ edy1 . . . dyn .nYi=1|∆i |.(16)(17)YY ×[t,∞)Оставшийся интеграл представляет собою объём n-мерного симплекса с ребром длины t, который равенПоследнее тривиально проверяется, например, по индукции. Итак,P2 =P(AB)=P(B)λn e−λtnQ|∆i |i=1nλn e−λt · tn!19=nn! Y·|∆i |.tn i=1tnn! .(18)203.1.3. Ортогональная случайная мера пуассоновского процессаТаким образом, P1 = P2 и мы доказали, что вероятность попадания двух случайных векторов во всякий параллелепипед одинакова.

Но из совпадения двух вероятностных мер на порождающих σ-алгебры следует ихсовпадение на всей B(∆n ). Лемма доказана. Теорема 3.3. Построенный процесс ξt является пуассоновским с параметром λ. Применим лемму и докажем, что конечномерные распределения у приращений процесса ξt имеют требуемое распределение. Пусть 0 6 t1 < t2 < .

. . < tn = t и k1 + . . . + kn = N , а ∆i := |ti − ti−1 |. ТогдаP := P(ξt1 = k1 , ξt2 − ξt1 = k2 , . . . , ξtn − ξtn−1 = kn ) = P(A|B) · P(B),|{z}(19)Aгде B = {N скачков на [0, t]}.На отрезок бросают N точек. Пусть событие Ai — «точка попала на отрезок (ti−1 , ti ]». Тогда по леммеP = P(ki раз произошло Ai ) · P(B) =nNY∆ki iN!N −λt t·λe=k1 ! · . .

. · kn ! i=1 tkiN!= e−λtnYi=1∆ki i ·nYλN(λ∆i )ki=e−λ∆i. (20)k1 ! · . . . · kn ! i=1ki !Отсюда видно, что распределения приращений пуассоновские. Отсюда же вытекает и независимость приращений, так как совместная вероятность распалась в произведение «одномерных» вероятностей. 3.1.3. Ортогональная случайная мера пуассоновского процессаПостроим по пуассоновскому процессу ξt ортогональную случайную меру. Пусть τi — моменты скачков процесса (их ещё называют пуассоновским потоком), а τi′ — такой же поток, не зависящий от первого и отложенныйв отрицательном направлении оси. Тогда число N∆ скачков на отрезке ∆ равно сумме N1 + N2 , где N1 — числоскачков на ∆1 := ∆ ∩ [0, +∞), а N2 — число скачков на ∆2 = ∆ ∩ (−∞, 0). Величины Ni независимы, поэтомуπ(λ|∆1 | + λ|∆2 |) = π(λ|∆|).(21)ζe := ζ(∆) − M(N∆ ) = ζ(∆) − λ|∆|.(22)Случайную меру зададим так: ζ (a, b] := N∆ .

Но так как у N∆ ненулевое матожидание, рассмотрим меруТогда структурная мера µξ (∆) = DN∆ = λ|∆|. Мы видим, что она пропорциональна лебеговской мере.Замечание. Из всех этих свойств видно, что у пуассоновского процесса много общего с винеровским.Задача 3.1. Найти характеристическую функцию процессаηt :=Zt(23)f (s) dζ(ds).0Ответ:h Ztiϕηt (x) = exp λ eixf (s) ds − λt .(24)0Построим так называемый процесс дробового шума. Пусть f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). Положим τ−n := τn′ и рассмотрим процессXf (t − τn ).(25)ξt :=Zr{0}Можно показать, чтоMξt =Zf (x) dx,Dξt = λRZf 2 (x) dx.RЗаметим, что это будет стационарный процесс, поскольку его матожидание и дисперсия постоянны.20(26)213.2.1.

Ещё раз непрерывности процессов. Стохастическая эквивалентность3.2. Вторая теорема Колмогорова3.2.1. Ещё раз непрерывности процессов. Стохастическая эквивалентностьPНапомним определение сходимости по вероятности: говорят, что ξn −→ ξ, если для всякого ε > 0 имеемP |ξn − ξ| > ε → 0, n → ∞.(27)Определение. Процесс называется стохастически непрерывным в точке t0 , еслиPξt −→ ξt0 ,t → t0 .(28)Определение.

Процессы ξt и ηt на одном и том же множестве T и на одном и том же вероятностномп.н.пространстве (Ω, F , P) называются стохастически эквивалентными, если ξt = ηt при всех t ∈ T .Пример 2.1. Пусть T = [0, 1], Ω = [0, 1], P := λ — мера Лебега на отрезке [0, 1]. Рассмотрим два процесса:ξt (ω) ≡ 0, а второй определим так:(1, ω = t;ηt (ω) := I{t} (ω) =(29)0, ω 6= t.Очевидно, что эти два процесса стохастически эквивалентны, поскольку при всех t функция ηt (ω) отличаетсяот тождественного нуля только в одной точке и потому почти всюду по мере Лебега равна нулю.3.2.2.

Вторая теорема КолмогороваНаша цель — доказать две теоремы о существовании процесса, стохастически эквивалентного данному, с почти наверное непрерывными траекториями (так называемая непрерывная модификация).Нам потребуется несложный факт из анализа, который мы позволим себе не доказывать.Утверждение 3.4. Функция, непрерывная на множестве A, допускает непрерывное продолжение на замыкание этого множества тогда и только тогда, когда она равномерно непрерывна на этом множестве.Теорема 3.5.

Пусть процесс ξt стохастически непрерывен на отрезке T := [a, b] и равномерно непрерывенпочти наверное на некотором всюду плотном множестве D ⊂ T . Тогда он обладает непрерывной модификацией. Перейдём от Ω к множеству полной меры Ω′ , для которого уже верно, что если ω ∈ Ω′ , то ξt (ω) равномерно непрерывен на D. Будем строить процесс ηt , стохастически эквивалентный процессу ξt , у котороготраектории почти наверное непрерывны. Проведём построение траекторий для каждого ω ∈ Ω. Если ω ∈/ Ω′ ,t′то положим η(t, ω) ≡ 0. Если же ω ∈ Ω , то, пользуясь утверждением, можно продолжить траекторию ξ(t, ω)с множества D на множество T по непрерывности до некоторой функции f (t) и положить η(t, ω) := f (t).

Таким образом, у процесса ηt все траектории непрерывны. Осталось доказать, что он стохастически эквивалентенп.н.процессу ξt , то есть ξt = ηt при всех t ∈ T .Если t ∈ D, то доказывать нечего, поскольку в этом случае имеется даже тождественное равенство. Пустьп.н.теперь t ∈/ D. Рассмотрим последовательность tn точек множества D, сходящуюся к t. Тогда ηtn −→ ηt в силунепрерывности траекторий ηt . Но из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности, поэтомуPп.н.Pηtn −→ ηt , то есть процесс ηt стохастически непрерывен. С другой стороны, по условию ξtn −→ ξt , но ξtn = ηtn ,п.н.поэтому на самом деле ηt = ξt .

Теорема 3.6. Пусть процесс ξt на отрезке T := [a, b] обладает непрерывной модификацией ηt . Тогда онстохастически непрерывен и равномерно непрерывен на любом счётном подмножестве D этого отрезка.п.н. Стохастическая эквивалентность означает, что при всех t имеем ξt = ηt . Поскольку траектории ηtп.н.непрерывны почти наверное, то, если s → t, то и ηs −→ ηt . Докажем, что процесс ξt стохастически непрерывен.Как мы знаем, из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Поэтому при всяком ε > 0имеемP |ηs − ηt | > ε → 0, s → t.(30)п.н.Но поскольку при всяком фиксированном t имеем ξt = ηt , при всех фиксированных t и s имеет место равенствоP |ηs − ηt | > ε = P |ξs − ξt | > ε .(31)ОтсюдаPа это и означает, что ξs −→ ξt .P |ξs − ξt | > ε → 0,21s → t,(32)223.2.2.

Вторая теорема КолмогороваДокажем вторую часть теоремы. Пусть D — произвольное счётное подмножество отрезка T . При всякомп.н.фиксированном t имеем ξt = ηt , поэтому существует множество Ωt ⊂ Ω полной меры, на котором уже ξt = ηt .Пусть ΩC — множество полной меры, на которой все траектории ηt непрерывны. Рассмотрим теперь множество\ e := ΩC ∩ΩΩt .(33)t∈De тоже имеет полную меру. Следовательно, приПоскольку данное пересечение не более чем счётное, множество Ωe имеем ξt (ω) = ηt (ω), то есть процессы равны тождественно на D × Ω.e Но траекториивсех t ∈ D и всех ω ∈ Ωeηt (ω) непрерывны при ω ∈ Ω, поэтому по теореме Кантора они равномерно непрерывны на отрезке T . Но еслиесть равномерная непрерывность на отрезке, то тем более есть и равномерная непрерывность на любом подмножестве, в том числе на множестве D.

А на этом множестве траектории совпадают с траекториями процесса ξt ,поэтому ξt равномерно непрерывен на множестве D почти наверное. Теорема 3.7 (Колмогорова). Пусть имеется процесс ξt на отрезке T := [a, b] и существуют такиеC, α, β > 0, что при всех s, t ∈ T имеемM|ξt − ξs |α 6 C|t − s|1+β .(34)Тогда процесс допускает непрерывную модификацию. Покажем, что выполнены все условия предыдущей теоремы. Стохастическая непрерывность следует изнеравенства Чебышёва: M|ξt − ξs |αC|t − s|1+β6→ 0,P |ξt − ξs | > ε = P |ξt − ξs |α > εα 6εαεα|t − s| → 0.(35)Проверим теперь второе условие.

Для простоты считаем, что T = [0, 1], так как к этому случаю можно всегдасвести ситуацию линейной заменой. Покажем, что в качестве множества D можно взять двоично-рациональныеточки отрезка T . Разобьём этот отрезок на 2n равных частей точками rnk := 2kn . Проведём оценку вероятностипри фиксированном n. Пусть γ — некоторое положительное число, которое мы выберем позже. Положимn1 o∆nk := ξrnk − ξrn,k−1 и Ank := ∆nk > nγ .(36)2По неравенству Чебышева имеем 1+β111P(Ank ) = P ∆nk > nγ = P (∆nk )α > nγα 6 M(∆nk )α · 2nγα 6 2nγα · C ·= C · 2n(γα−(1+β)) . (37)222nДалее, положимnBn :=2[Ank .(38)k=1ТогдаnP(Bn ) 62Xk=1P(Ank ) 6 2n · C · 2n(γα−(1+β)) = C · 2n(γα−β) .(39)PВыберем такое γ, чтобы γα − β < 0. Тогда ряд P(Bn ) мажорируется прогрессией и потому сходится.

Характеристики

Список файлов лекций