Б.М. Гуревич - Курс лекций по теории случайных процессов (1134105), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рассмотрим процесс ξn , у которого Mξn = 0 и Dξn = 1, а все ξn независимы. Такой процессбудет стационарен в широком смысле, ибо K(n, m) = M(ξn ξm ) = Mξn · Mξm = 0 при n 6= m и K(n, n) = Dξn = 1.Однако такой процесс не обязан быть стационарным в узком смысле, потому что из стационарности в узкомсмысле следует одинаковость распределений величин ξn , а это может быть и не так.Однако, если потребовать, чтобы величины были независимы и одинаково распределены, то процесс будетстационарным в узком смысле.Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, при условии, что существуютматематическое ожидание и дисперсия.Заметим, что для гауссовского процесса стационарность в узком и широком смысле — это одно и то же, поскольку его распределения однозначно определяются математическим ожиданием и ковариационной функцией.Определение.
Процесс ξt имеет стационарные приращения в узком смысле, еслиLaw (ξt2 − ξt1 ), . . . , (ξtn − ξtn−1 ) = Law (ξt2 +h − ξt1 +h ), . . . , (ξtn +h − ξtn−1 +h ) .(23)1.2.4. Непрерывность случайных процессовБудем рассматривать гильбертово пространство H := L2 (Ω, P) и случайные функции ξ : T → H. При этомбудем предполагать, что T ⊂ R.Определение.
Говорят, что ξt → η в H при t → t0 если M|ξt − η|2 → 0 при t → t0 . Иначе говоря, это обычнаясходимость в норме пространства L2 . Эту сходимость ещё называют сходимостью в среднем квадратичном.Определение. Процесс называется непрерывным в среднем квадратичном в точке t0 , если ξt → ξt0 в H.Рассмотрим центрированный процесс ξet := ξt − m(t). Ясно, что Mξet = 0.
Заметим, что сходимость ξt → ξt0равносильна такому свойству:ξet → ξet0 , m(t) → m(t0 ) при t → t0 .(24)В самом деле, векторы ξet − ξet0 и m(t) − m(t0 ) ортогональны в H, потому что Mξet = 0 и Mξet0 = 0. Теперьвоспользуемся таким фактом: длина гипотенузы прямоугольного треугольника стремится к нулю тогда и толькотогда, когда длины обоих катетов стремятся к нулю. А это как раз то, что мы хотим доказать.В следующих двух утверждениях предполагается, что m(t) ≡ 0.Утверждение 1.7. Если Kξ (s, t) непрерывна в точке (t0 , t0 ), то ξt непрерывен в точке t0 в среднем квадратичном.
В самом деле,2kξt − ξt0 k = M|ξt − ξt0 |2 = K(t, t) − K(t, t0 ) − K(t0 , t) + K(t0 , t0 ).(25)В силу непрерывности K эта сумма стремится к нулю. Утверждение 1.8. Пусть ξt непрерывен при t = t0 и t = s0 . Тогда K непрерывна в точке (s0 , t0 ). В самом деле,K(s, t) − K(s0 , t0 ) = K(s, t) − K(s0 , t) + K(s0 , t) − K(s0 , t0 ) = (ξs − ξs0 , ξt ) + (ξs0 , ξt − ξt0 ).(26)Здесь круглые скобки обозначают скалярное произведение в H. В силу непрерывности скалярного произведения,оба слагаемых стремятся к нулю. 892.1.1. Интеграл от случайного процессаСледствие 1.1. Пусть функция K(s, t) непрерывна на множестве {t = s}.
Тогда K(s, t) непрерывна всюду. В самом деле, из непрерывности на диагонали следует, что процесс непрерывен в каждой точке (в силупервого утверждения). Применяя второе утверждение, получаем, что она непрерывна всюду. Задача 1.3.∃ lim ξtt→t0⇔ ∃ lim Kξ (s, t),s,t→t0 ∃ lim m(t).(27)t→t0Указание. Использовать рассуждения, подобные тем, что были использованы при доказательстве двухпредыдущих утверждений.Определение.
Говорят, что процесс ξt имеет производную в точке t0 , если существует предел в среднемквадратичномξt − ξt0ξt′0 := lim.(28)t→t0 t − t0Задача 1.4. Существует ли производная у винеровского процесса?′′Задача 1.5. Доказать, что если Kst(s, t) ∈ C (a, b) × (a, b) , то на интервале (a, b) существует непрерывная производная ξt′ . Верно ли обратное?2. Стохастический интеграл и спектральноепредставление процессов2.1.
Стохастические интегралы2.1.1. Интеграл от случайного процессаВ этом разделе H := L2 (Ω, P), а случайные функции предполагаются квадратично-интегрируемыми.Нам хотелось бы определить интеграл от случайной функции. При этом возникает та трудность, что прификсированном ω функция ξ(·, ω) не обязана быть измеримой. Поэтому мы пойдём другим путём.Определим интеграл от случайной функции по отрезку [a, b] ⊂ T (по аналогии с интегралом Римана). ПустьP = {a = s0 < .
. . < sn = b} — разбиение отрезка [a, b]. Через λ(P ) будем обозначать диаметр разбиения P . Пустьti ∈ [si−1 , si ] =: ∆i . Рассмотрим интегральную суммуSP (ω) :=nXi=1ξti (ω)|∆i |.(1)Таким образом, интегральная сумма — это некоторая случайная величина. Тогда величина η называется интегралом от ξt по отрезку [a, b], если в H существует предел3lim SP = η.λ(P )→0(2)При этом пишут, чтоη=Zbξt dt.(3)aГильбертово пространство H — это, в частности, полное метрическое пространство, в каком-то смысле малоотличающееся от Rn . В нём тоже есть понятия непрерывной кривой. Так вот, непрерывный в среднем квадратическом случайный процесс — это непрерывная кривая в этом пространстве, или, что то же самое, непрерывнаяфункция ξ : [a, b] → H. Поэтому ничего не стоит дословно перенести на такие функции следующие три утверждения из математического анализа.
Их доказательства проходят дословно, если заменить модуль на нормув H.Теорема 2.1 (Кантора). Процесс, непрерывный на отрезке, равномерно непрерывен на нём.Теорема 2.2. Непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.Теорема 2.3. Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на нём.3 База«λ(P ) → 0» означает, что предел не зависит от выбора точек разбиения.9102.1.2.
Ортогональная векторная мера2.1.2. Ортогональная векторная мераОпределение. Пусть X — множество. Полукольцом R множеств на X называется семейство подмножеств X,замкнутое относительно (конечного) пересечения и такое, что если A ∈ R, то X r A представляется в видедизъюнктного объединения конечного числа множеств из R. Кроме того, ∅ ∈ R.Пример 1.1. Множество всех полуинтервалов на полуинтервале образует полукольцо.Определение. Пусть (X, A, µ) — измеримое пространство с мерой. Пусть R ⊂ A — полукольцо, порождающее σ-алгебру A, то есть A = σ(R).
Пусть H — гильбертово пространство, и имеется отображение ζ : R → Hтакое, чтоζ(∆1 ), ζ(∆2 ) = µ(∆1 ∩ ∆2 ), ∆i ∈ R.(4)Тогда ζ называется ортогональной векторной мерой. Мера µ называется её структурной мерой.Название «ортогональная мера» можно объяснить так: если ∆1 ∩ ∆2 = ∅, то ζ(∆1 )⊥ζ(∆2 ). Осталось оправдать сам термин «мера».Утверждение 2.4. Функция ζ является счётно-аддитивной мерой на полукольце R.F Пусть ∆ = ∆i , причём ∆, ∆i ∈ R.
Докажем, чтоXζ(∆) =ζ(∆i ).(5)В самом деле, имеемnnnnn2 X XXXX ζ(∆i ) = ζ(∆), ζ(∆) − ζ(∆),ζ(∆i ) −ζ(∆i ), ζ(∆) +ζ(∆i ),ζ(∆i ) =ζ(∆) −i=1i=1i=1= µ(∆) −nXi=1µ(∆i ) −i=1nXµ(∆i ) +i=1nXi=1i=1µ(∆i ) = µ(∆) −nXµ(∆i ). (6)i=1Задача 2.1. Пусть ξt — процесс, у которого ξtпостоянен, либо разрывен всюду.Если сумма исходно была конечной, то всё доказано. А для счётных объединений остаётся воспользоватьсянепрерывностью меры µ.
Часто в качестве H рассматривают пространство L2 (Ω, P). В этом случае мера ζ называется ортогональнойслучайной мерой.Определение. Процесс ηt называется процессом с ортогональными приращениями, если для любого наборамоментов времени q < r 6 s < t выполняется свойство (ηr − ηq )⊥(ηt − ηs ).Отметим, что любой процесс с независимыми приращениями и постоянным математическим ожиданиембудет иметь ортогональные приращения (например, винеровский процесс обладает этим свойством).Пример 1.2.
Пусть ηt — процесс с ортогональными приращениями. Рассмотрим полукольцо R полуинтервалов на (a, b]. Построим ортогональную случайную меру. Пусть ∆ := (s, t], тогда положим ζ(∆) := ηt −ηs . Пусть2процесс ηt непрерывен справа. Положим µ(∆) := kηt − ηs k . Заметим, что полученная мера µ непрерывна: если(s, t] ց ∅ при t → s, то µ(∆) = kηt − ηs k2 → 0.Таким образом, мы построили некоторую непрерывную меру на полукольце. Её можно продолжить на σ-алгебру σ(R).
Мера ζ и будет ортогональной векторной мерой, построенной по процессу ηt .ξs при t 6= s и существует Mξt2 . Тогда либо этот процесс2.1.3. Интеграл по ортогональной векторной мереРассмотрим пространство L := L2 (X, A, µ), где A = σ(R), а R — полукольцо. Пусть H — гильбертовопространство, и задана некоторая ортогональная векторная мера ζ : R → H. Мы хотим построить изометричноеотображение I : L → H.Пусть ∆ ∈ R. ПоложимI(I∆ ) := ζ(∆).(7)PПродолжим это отображение по линейности на все ступенчатые функции вида f = ci I∆i :XI(f ) :=ci ζ(∆i ).(8)Проверим изометричность (то есть, попросту, сохранение скалярного произведения):Z XX X XI(f ), I(g) =ci ζ(∆i ),dj ζ(Σj ) =ci dj µ(∆i ∩ Σj ) = f g dµ = (f, g).ci dj ζ(∆i ), ζ(Σj ) =i,ji,j10X(9)112.1.4.
Ортогональная и структурная меры винеровского процессаПоскольку ступенчатые функции плотны в L, наше отображение I можно продолжить по непрерывности навсё пространство L: пусть fn → f в L, тогда положим I(f ) := lim I(fn ). Этот предел существует в силу одновременной фундаментальности последовательности {fn } и её образа в H. Корректность очевидна.Итак, построено изометричное вложение I : L ֒→ H. Заметим, что мы получаем явный вид для продолжениямеры ζ на σ-алгебру A: пусть A ∈ A, тогдаζ(A) = I(IA ).(10)Пусть ξt — процесс с ортогональными приращениями на множестве T = (0, C]. Мы уже знаем, как понему строить ортогональную векторную меру: если ∆ = (s, t], то ζ(∆) := ξt − ξs .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
