Б.М. Гуревич - Курс лекций по теории случайных процессов (1134105), страница 7
Текст из файла (страница 7)
По леммеБореля – Кантелли для почти всех ω существует N (ω), такое что для всех n > N (ω) событие Bn не выполняется,1то есть ∆nk 6 2nγпри всех k = 1, . . . , 2n .Докажем теперь равномерную непрерывность на множестве D. Опишем идею. Нам нужно оценить приращение процесса на отрезке [s, t]. Мы можем разбить приращение процесса от s до t на более мелкие шаги и оценитьсумму приращений на каждом шаге.
Стоимость шага показательно зависит от его длины, причём сумма всехвозможных стоимостей сходится. Если шагать одинаковыми шагами, то можно заплатить слишком большойштраф за количество шагов. Поэтому мы будем шагать по возможности разными по длине шагами.Назовём правильным шаг длины 21n , у которого начало и конец представимы в виде дробей вида 2kn . Пусть|s − t| < 21N , а s и t — двоично-рациональные точки. Нам нужно представить отрезок [s, t] в виде дизъюнктногообъединения правильных шагов.Назовём самой круглой точкой отрезка [s, t] несократимую дробь вида 2kn с минимальным знаменателем.Легко видеть, что на данном отрезке такая точка существует и единственна.
Обозначим её через d.Теперь исчерпаем отрезки [s, d] и [d, t] следующим образом (если так получилось, что d совпадает с однимиз концов отрезка, ситуация только улучшится). Опишем процесс заполнения отрезка [d, t], а отрезок [s, d]заполняется аналогично.22233.3.1. Построение непрерывного винеровского процесса на полупрямойБудем исчерпывать число t−d двоичными дробями с числителем 1, всегда используя самый большой возможный шаг. Ввиду существования (и единственности) разложения всякого двоично-рационального числа в суммутаких дробей, мы рано или поздно исчерпаем весь отрезок от d до t.
Заметим, что в этом разложении не будетдвух одинаковых по длине шагов, и все шаги будут правильными. В разложении отрезка [s, d] тоже не будетдвух одинаковых по длине шагов. Таким образом, в разложении всего отрезка [s, t] не встретится более двуходинаковых шагов.Осталось оценить сверху штраф. Рассмотрим самый тяжёлый случай, когда придётся просуммировать всемыслимые шаги, начиная с некоторого шага длины 21m , где m > N . Тогда штраф не превысит удвоенной суммыпрогрессии:n γ∞ ∞XX1111= mγ · 2=:· M.(40)|ξs − ξt | 6 2nγγm2222n=mn=0Пусть n таково, что 21n 6 |s − t| <Положим m := n, тогда12n−1 .Тогда самый большой шаг, который можно сделать, равен|ξs − ξt | 612nγ12nили· M 6 M · |s − t|γ .12n+1 .(41)Но это и означает равномерную непрерывность.
Ура! Доказав теорему, можно собрать урожай: мы будем более подробно исследовать винеровский процесс.3.3. Винеровский процесс3.3.1. Построение непрерывного винеровского процесса на полупрямойРассмотрим винеровский процесс на отрезке [0, 1] и применим к нему теорему Колмогорова. В силу свойстввинеровского процесса, имеемWt − Wsη := √∼ N (0, 1),(42)t−sпоэтому M|Wt − Ws |4 = M|η|4 · (t − s)2 = 3(t − s)2 , так как M|η|4 = 3. Итак, в теореме Колмогорова достаточновзять α = 4, β = 1, а C = 3.
Следовательно, винеровский процесс обладает непрерывной модификацией.Зная, что у винеровского процесса на отрезке существует непрерывная модификация на отрезке, построим(i)непрерывный винеровский процесс на всей прямой. Пусть Wt — непрерывная модификация винеровского про(i)цесса на отрезке [i, i+1]. Пусть все W независимы. Тот факт, что можно построить счетное число независимыхвинеровских процессов, следует из теоремы Колмогорова. Для этого нужно взять(j) cov Ws(i) , WtТеперь построим процесс Wt так:Wt :=(:= δij min(s, t).(43)(0)Wt ,t ∈ [0, 1];(i−1)(i)W1+ Wt−i , t ∈ [i, i + 1].(44)То, что построенный процесс непрерывен, ясно: мы брали непрерывные модификации W (i) . Покажем, что этовинеровский процесс. Воспользуемся первым определением.
Процесс гауссовский, потому что (Wt1 , . . . , Wtn ) —объединение нескольких гауссовских векторов, соответствующих процессам W (i) , независимых между собой.Очевидно, что это тоже гауссовский вектор. Осталось посчитать ковариационную функцию. Если s и t попалив один отрезок, то результат сразу получается из того, что на этом отрезке процесс винеровский. Пусть, дляопределённости, s < t и пусть s ∈ [i, i + 1], а t ∈ [j, j + 1]. Тогда(j) (j) cov(Ws , Wt ) = cov Ws , Wj + Wt−j = cov(Ws , Wj ) + cov Ws , Wt−j .(45)Второе слагаемое в правой части равно нулю, так как процессы W (i) и W (j) независимы при i 6= j. Осталосьразобраться с первым слагаемым:(j−1) cov(Ws , Wj ) = cov Ws , Wj−1 + W1= . .
. = cov(Ws , Wi+1 ) = s.(46)При t > s аналогично получаем t вместо s. Итак, ковариационная функция нашего процесса Wt — это min(s, t),что и требовалось доказать.23243.3.2. Асимптотика траекторий винеровского процесса: оценка сверху3.3.2. Асимптотика траекторий винеровского процесса: оценка сверхуТеорема 3.8.
Пусть Wt — винеровский процесс, имеющий почти наверное непрерывные траектории. ТогдаWt п.н.= 0.t→∞ t(47)(t · W1/t , t 6= 0,ξt :=0,t = 0.(48)limРассмотрим процессПокажем, что процесс ξt гауссовский и имеет ковариационную функцию Kξ (s, t) = min(s, t). Действительно,если вектор (Wt1 , . . . , Wtn ) гауссовский при любых t1 , . . .
, tn , то и вектор t1 W1/t1 , . . . , tn W1/tn — тоже гауссовский, так как получается из гауссовского линейной (даже диагональной) заменой. Значит, конечномерныераспределения у ξt гауссовские. Найдём ковариационную функцию. Пусть s, t > 0. ТогдаKξ (s, t) = M(ξs · ξt ) = M s · W1/s · t · W1/t = st · M W1/s · W1/t =1 11 1st= st · KW,= st · min,== min(s, t), (49)s ts tmax(s, t)что и требовалось.
Очевидно, что Mξt ≡ 0. Итак, мы доказали, что процесс ξt является винеровским. Следовательно, для него имеет место теорема Колмогорова и у него существует непрерывная модификация ηt . Крометого, очевидно, что ξt непрерывен почти наверное при всех t, кроме, быть может, точки t = 0.Множество тех ω, для которых траектория ξt (ω) непрерывна на (0, 1], обозначим через Ωξ . Это множествополной меры. Аналогично, через Ωη обозначим множество полной меры, на котором непрерывны везде траектории ηt . Поскольку ξt ∼ ηt , а ξ0 = 0 по определению, получаем, что существует множество Ω0 полной меры,на котором ξ0 = η0 = 0. Далее, пусть D := (0, 1] ∩ Q.
Положим Ωq := {ω : ξq (ω) = ηq (ω)}. В силу стохастическойэквивалентности процессов, множества Ωq тоже имеют полную меру. Наконец, рассмотрим множество полнойe на котором выполнены все нужные нам свойства, а именно, положиммеры Ω,\e := Ωξ ∩ Ωη ∩ Ω0 ∩ΩΩq .(50)q∈De Поскольку η0 = 0 и непрерывен на отрезке, ηt → η0 = 0 приДалее все события ω будем брать только из Ω.t → 0. Но на всех рациональных точках q ∈ [0, 1] процессы ξq и ηq совпадают, поэтому ξq тоже стремится к нулюпо рациональным точкам. Но все его траектории и так были непрерывными везде, кроме, быть может, нуля,поэтому на самом деле он стремится к нулю по всем точкам. Таким образом, почти наверноеξt = t · W1/t → 0,t → 0.(51)Делая замену переменной s = 1t , получаем утверждение теоремы. Таким образом, траектории винеровского процесса почти наверное лежат в конусе |y| 6 t.3.3.3.
Неограниченность вариации винеровских траекторийМы будем предполагать, что рассматриваемый винеровский процесс Wt имеет почти наверное непрерывныетраектории.Пусть T = [a, b] и P — разбиение T точками a = t0 < . . . < tn = b. Рассмотрим случайную величинуSP =nXi=1ИмеемMSP =(Wti − Wti−1 )2 .nXi=1(52)(ti − ti−1 ) = |T |.(53)Покажем, что SP → |T | в L2 , то есть M(SP − |T |)2 → 0. Для краткости положим ∆i := Wti − Wti−1 и di :=ti − ti−1 .
Распишем второй момент для частичной суммы:MSP2 = MXi∆2i2=XiM∆4i + 2XM∆2i M∆2j =i<j=2X3d2i + 2iXid2i +Xd2i + 2idi dj =i<jXi<j24Xdi dj = 2Xid2i +Xidi2=2Xid2i + |T |2 . (54)253.3.4. Асимптотика траекторий винеровского процесса: оценка снизуP 2PДалее, поскольку для всяких чисел {ai } имеет место очевидное неравенствоai 6 max |ai | · |ai |, получаемXXM(SP − |T |)2 = DSP2 = MSP2 − |T |2 = 2d2i 6 2λ(P )di = 2|T |λ(P ) → 0, λ(P ) → 0,(55)iiчто и требовалось показать.Утверждение 3.9.
Почти наверное вариация винеровской траектории на любом отрезке T неограничена:nXi=1|Wti − Wti−1 | → ∞,λ(P ) → 0.(56) Применим доказанное выше утверждение: SP → |T | в L2 при λ(P ) → 0. Из сходимости в L2 , конечно, неследует сходимость почти всюду, зато следует сходимость по мере (неравенство Чебышёва). По теореме Рисса, изсходящейся по мере последовательности можно выделить подпоследовательность разбиений {Pk }, для которыхSPk → |T | > 0 почти наверное. Отсюда уже следует, чтоnkXi=1(k)|∆i | → ∞,k → ∞,(57)потому что если бы такая последовательность была ограничена, тоnkXi=1(k) 2∆i6(k)max |∆i |i·nkXi=1(k)|∆i | → 0,k → ∞,(58)за счёт малости первого множителя.
Полученная оценка означает, что вариация не является ограниченной. Следствие 3.1. Винеровская траектория почти наверное не принадлежит классу C1 . В самом деле, на всяком отрезке C1 -функции всегда имеют ограниченную вариацию. На самом деле справедливо более сильное утверждение (но его мы доказывать не будем).Теорема 3.10. Почти наверное винеровская траектория не дифференцируема ни в одной точке.3.3.4. Асимптотика траекторий винеровского процесса: оценка снизуВыше было показано, что траектория винеровского процесса «разбегаются» не слишком быстро, а именнорастут (по модулю) не быстрее, чем растёт t. Сейчас мы покажем, что вместе с тем они осциллируют достаточносильно. Но сначала мы напомним одну из важнейших теорем из теории вероятностей.Теорема 3.11 (Закон 0 и 1 Колмогорова).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
