И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Но М~ $н„(1') — х]'=0(1' — 1) равномерно на каждом компакте на основании леммы 2 5 2. Следовательно, М 1 йь х(з) -ВН,. (з) ]з= О(Г'-1) Используя (4) и (6), можно получить аналогичные оценки и для д Зг з йьз(з) з„1 4,к(з) Объединяя утверждения замечаний 1 и 2, получаем следующую теорему. Теорема 3. Если $ь,(з) — решение уравнения (14) а 2, козффициенты которого а(1, х), Ь1(1, х), ..., о (1, х) удовлетворяют условиям теоремы 2, а функция ~(х), определенная на Я"', непрерывна, ограничена и имеет непрерывнгяе и ограниченные производные до второго порядка включительно, то функция и (1, х) = МР (зи, (з)) определенная при (ь «= 1( з, хе= Я'", непрерывна и имеет производные по х до второго порядка включительно, непрерывные по совокупности переменных 1, х.
5 4. Метод дифференциальных уравнений В атом параграфе выводятся дифференциальные уравнения, позволяющие определить распределения некоторых функционалов от диффузионных процессов. Попутно дается новый вывод первого (обратного) уравнения Колмогорова для диффузионных процессов. Пусть Д1) — решение уравнения (13) 5 2. Как установлено в 3 2, условное распределение процесса к(з) на (1, Т] при условии, что $(1) = х, совпадает с распределением $ь „(з). Будем обозначать Мь,з) условное математическое ожидание случайных величин т), являющихся функциями от траектории процесса $(з) на (1, Т], при условии, что ь(1) = х.
Из сказанного выше выте. кает, что Мь„ч=м(), метод диеьвгвгн(ихлы!ых згхвнвнии $41 где Ч вЂ” величина, полученная из т1 подстановкой вместо траектории й(з) траектории $/,~(з). Для определения вероятностей перехода процесса достаточно определить М),„ф(а(з)) = ~ (р(у) Р(1, х, з, ((у) для достаточно гладких функций (з. Теорем а 1. Пусть для процесса е(/) выполняются условия теоремы 2 3 3, функция (З(х) ограничена, непрерывна и имеет ограниченные и непрерывные производные до второго порядка включительно. Тогда функция и(Г, х) = М(,.р(й(з)), Ген ((„з), имеет непрерывные производные по х' до второго порядка включительно, дифференцируема по 1, удовлетворяет уравнению — и(1, х)+" а'(1, х) —,и(1, х)+ ! + — ~Д Ьь (!, х) Ьь (г, х) —, и (К, х) = О (1) и!,! ! и условию 1!пти(1, х) =(р(х).
Здгсь а", Ьь, х' — компоненты век!зю торов а, Ьь, х соответственно. Доказательство. Дифференцируемость функции и((,х) по х„ а также непрерывность и ограниченность частных производных вытекает из теоремы 3 $ 3. Заметим, далее, что и(г, х) = М/, хй) 5(з)) = М!,./М!+ь/, ъ(!+ь!)(р~Х(з)) = = М!.хи(1+ съ(, Ц(г'+ о!)). Используя формулу Иго, можем записать и(Г+ с)1, $(г+ ог)) — и(1+ оГ, ~(1)) = с+ы ~~ —,(1+ от, а(З))а!(З, й(З))+ с "г-! .(-+ г ь(ь, !(*)1/((,, !( )),/, (/.) ь/, !(,))]и./. й,!,! ( дх! дх! с+ьс + ~ Д Ьд(з, В(з)) — (и(с+йг, й(з))аЪь(з). а, !-! $4! метод диФФеРенцикльных уРАВнениЙ Для определения распределения величины У достаточно определить функцию ох(1,х) при Уев(УВ, Т), хяЯ"' и всех мнимых Л, так как тогда о„(!э, х) дает нам условную характеристическую функцию величины У при условии е(!В) = х.
Проинтегрировав ох(сэ, х) по начальному распределению, получим безусловную характеристическую функцию величины У. Теорема 2. Если $(!) удовлетворяет уеловссяхс теорелсы 2 д д' 5 3, а У(1, х), — У(1, х), —.У(1, х) (1, 1=1, ..., и) непре- дхР ' дх! дх! рывны и ограничены, то яри Уев(УВ, т) функ!(ия о„(У, х) удовлетворяет уравнению — ох (У, х) + ~ а' (с, х) — 1 ох (с, х) + с 1 ! ! дс + — А Ьэ!(У, х)ЬА(1, х), ох(У, х)+ЛУ'(1, х)ох(У, х)=0 (3) дхс дх! ' С,с,й-1 и условию 1!т ох(1, х)=1.
с(ст Доказательство. Последнее условие выполняется очевидным образом. Непрерывность и дифференцируемость ох(1, х) д и непрерывность и ограниченность производных —. ох(У, х), дхс дс ! ох(У, х) вытекает из формулы (2) и дифференцирудх! дх! емости $1,,(з) и У(з, х) по х точно так же, как при доказательстве теоремы 3 $3. Из соотношения т 1-р(41(ь,!(((4Н)п*,с(((4 = С р т т = 41(411(..!(.((")- р(р1((.,!(.((4.~ получаем при !' < !", беря Мс ...
что т .(р,,(-ми..,р((41((.,!щр,~- г р(миг((,!(эр(н, р(р)цц!(эр с' р ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОПЕССЫ (гл. Пи Но т м,-р(»р1»р*. ррррр*~= т =мт.м, рм.;*р(р.1»р., р! ррр,)-м, ...О,»!р !». 1" Поэтому ОЪ((', Х) — М», О«(»", Ь((о)) =) ~ (У(И, Р(З, В(З)) ОХ(З, ЫЗ))»(З Так как »(з, $»,,(з)) о«(г, $(з)) — »(»', х) о„(»', х)-+О по вероятности при»' — !.г, то существует предел 1 —,„',, 1 М, .И.,~(.)).,(., и.)) (.=ж.) ..((,.).
»'.+» Поэтому существует предел "(»' «)-М»,.ох(»м й(»м)) »"-!'Уо »' +» о«(»', х) — ох(»", х) о! (»", х) — М». „о! (», ц(»м))~ 1ип »"-!'Фо »'+» Но, как установлено при доказательстве теоремы 1, М»сх»рр, (», $ (»')) — чр! (», «) ! 11щ '" „, ' — ~ а»(», х) — »о«(», х)+ »"-!'оо »» »»х! !' +! ! ! + ' '~~ Ь,'(»,х)Ьа,((,х) —",, о„(»,х). »,»,й 1 Следовательно„ существует предел ох(»", х) — ох(»', х)») 1!щ „, ~ = — ор(»,х) и выполняется уравнение (3). И 5 Н ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 493 9 5. Граничные задачи для диффузионных процессов Пусть 9(!) — решение стохастического дифференциального уравнения вида (12) 5 2, коэффициенты уравнения (12) удовлет- воряют условиям теоремы 4 5 2, так что решение 9(!) уравнения (12) существует и единственно.
Пусть Π— некоторая связная область в !!ь, Т) ХЯ"'. Обозначим через О~ область в Я": О, = =(х: (1; х)~О), = ! 1(зч ° (1,, Т), ~(~) ~О.), если множество под знаком 1п1 непусто, и т = Т в противном случае. т является марковским моментом относительно о-алгебр 5ь порожденных величинами $(!ю) и жА(з) — шА(ГЯ), й = 1, ... ..., Гп, ген(!ь, !).
Действительно, обозначим О' дополнение к О в (гь, Т) Х Я", р((1;х), О') — расстояние точки (1; х) до О', Тогда т = зпрк„, где т„=!п1 (ж р((з; $(з)), О') ( 1/п), если множество под знаком 1п1 непусто, и т = Т в противном случае. То, что т„— марковский момент, вытекает из равенства (т„) !) =П(ел р((з„; $(зг)), О') ~~!/п), где (зА) — всюду плотное на (!о, !) множество. Момент т назы- вается моментом первого выхода из области О, Нас будут инте- ресовать следующие распределения, связанные с т; 1) распре- деление $(Г) при условии, что т ) 1, 2) распределение т, 3) рас- пределение 3(т).
Обозначим через Ои(1, х) параболический дифференциальный оператор, определяемый левой частью соотношения (1) 5 4. Теорема !. Пусть функция Ф(1,х) определена и непре- рывка на замыкании О П 1!ь, !1) Х Я"', во внутренних точках этого множества она дважды непрерывно дифференцируема по х и один раз по 1, ОФ(1, х) = О и Ф(1, х) = О при ! Ен(го, й), х ен ~ Ос, где Оà — граница Ос в Я"', Ф(!н х) = !(х).
Тогда Ф (1, х) = М1 (Ви г (1~)) Х(т, „ы,1, где тц,— величина первого выхода из области О для процесса ~с,„являющегося решением уравнения (14) $2, Доказательство. Используя формулу Ито (см. (11) в $1) при те я !ь можно доказать, что ц Ф(!н Ь(!)) — Ф(1, х) =3 Т.Ф(з, В,„( ))Ж+ с ц „, 2 Х $ Х Вх ( ' ~П" ( )) М(З1ЬГ (З))Г™~(~)' (1) А-ю с ю-1 диаеузионныв пгоцвссы [гл, юп Формулу (1) можно получить следующим образом. Пусть О,— последовзгельность односвязиых компактов в ((„Т) КЯ™, для которых 0хс 0 +ь ()О =0.
Обозначим через Ф (1,х) функцию, совпадающую с Ф(1, х) на Р„, дважды непрерывно дифференцируемую по х и один раз по 1 и ограниченную со своими пРоизвоДными на (Гм Т] ХЯ™'. ТогДа к Ф„(1, х) пРименима фоР- мула Ито и Фа(1п Вь х (11)) — Фх(Г, х) = ~ БФ„(з, 4,,(з)) ~Ь+ т Ь юх + ~~~ ~ ~' — ~Ф„(з, Внх(з))дм(з, Вь (з))Ишь(з). х-~с с 1 Очевидно, что при 1, < т, „будет н 1, < т)"~, прн некотором достаточно большом и, где т',"~,— момент первого выхода из 0„ процесса В, х(з). Но при з(т)"1„ Ф.(з, Вьх(з))-Ф(з. Впх(з)), ~Фх(з, Вь„( )) ~.Ф(з, Вьх(з)), , Ф.
(з, Вг, х(з)) —, Ф(з, зь х(з)) д д дх1 дх~ Тем самым формула (1) доказана Пусть т'„=1, Л т)'~,. Тогда т'„— марковский момент и при з < т'„ЕФ(з, В, „(з)) =О. Поэтому (',В ('))= т л ух =-ФР, )+~, ~ ~,ф( В, ())д ( В, ())а () х-~ г 1-1 ~хю Беря математическое ожидание и учитывая, что при з--'т„' дФ вЂ”,(з, Вь х(з)) ограничены, так как(з, В~ х(з)) лежит в компакте 0„, дх' получим МФ (т'„, В (т'„)) = Ф (1, х), Переходя к пределу при и -+ оо, получим МФ(ть х Л1о В(тох Л ~0)=Ф(~, х).
$ и гглннчпые з«дхчн для диеегзиопцых пгоцгссов 495 Но пРи 1, >то„«Р(ть„Д«ь $(ть„И(,)) Ф(ть„, «(тьк))=0, так как точка в(т, к) лежит на границе Р,, „. Поэтому М(р(ть х Л 1ь В (ть к Л 1~)) = МФ(1н ~Й, х (1~)) К(«,,~О) = М1(6«к (11)) К(кь х>«11' Для того чтобы определить совместное распределение т и $(т), достаточно определить Мф(т, $(т)) для всех достаточно гладких функций ф(Ох), заданных на границе Г области Р. Т е о р е и а 2. Пусть и (1, х) — непрерывная фуякиия в Р 0 Г, для ((; х)я Р 1п(1,х)= 0 и при Г > 1«, (1;х)~ Г и(1,х) = = ф(1, х). Тогда и((, я) = Мф(тик, аьх(тик)) Доказательство Опять используя формулу Ито и те же рассуждения, что в теореме 1, можем получить равенство о(т',",'., Ви.
(тх,",'„)) — и (1, Вь. (1)) = к (л) ких =~ $ ~ — „'т(з, ы,к(з))Ь«п(з, ас.(з)) дш«(з), х-1 так как при з<ть„(з, ~, х(з)) ен Р. Беря математическое ожи- дание на основании формулы (14) $1 находим и (г х) — Мо (т(л> ««(т~л~ )) Переходя к пределу прн и-ь оь и используя равенство и (ти х, Ь. к (ть х)) = ф ('гь» 5ь х (ти х)) (точка (ть, $ь х(ть *) ) е=- Г), получаем доказательство теоремы. й Рассмотрим теперь однородный процесс л(1), являющийся решением уравнения с(а(1) =а(Ч(!))«(1+ К Ьл(В(1)) с(шх(1), (2) определенный при 1~(0, со).
Через $„(1) обозначим решение уравнения (2) с начальным условием С(0) = х. Пусть 6 — некоторая область в Ял'. Пусть Р = [О, оь) ХЯ . В этом случае вместо решений уравнения Еп = 0 (параболнческого типа) для нахождения величин, рассмотренных в теоремах 1 и 2, можно использовать решения более простого уравнения (эллиптического диеетзионпыв пгоцвссы !гл. чш 496 типа) с дифференциальным оператором Е,и(х)=~~~ а~(х) — (, + — ~ ". ~~ Ьы(х)ддз(х). (3) 1 ь (-1 з-! Теорема 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
