И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В условиях леммы 1 (п~ т т т м(„р(~ 1! ||и .! ! — — '1т ||||м)~з)-~. е ! ! | ь ! Доказательство. Обозначим (т |, м ,, ! |= |(У,)|,ь|! .! |--,'1У, ||м|м). е-! /г ! При (! =(,. р,, (ы) =1. Используя формулу Ито, находим др|м|(|ь) =р|м М Х ! Яс( ' Я Поэтому р,, (|в)=1+ ~ рь,(|ь)~~ (е(з)|( (з). |, ь-! Так как в силу леммы 1 |ю т |~ ~ Мр';м, (ы) ~~ Я (з) сЬ < )У ~ е'н |! ! ! дз < со то ° |, П$ м )р, | |1.| ! |~ !.|!з )=з.
° ь-! Следствие 1. Каковы бы ни были |5;измеримые функт ции ~ь((), для которых ~ ~~ 7~~(()сП<со, о е-! (иу т т б~ м(-|(т. 1!.|*м..! |--,'1К !!!с») ~ч)» . ь-! ! с е-! Это неравенство является следствием теоремы Фату. Следствие 2. Если Мр, т(ы)=1, то и ари 0 (! <(е =Т М (р! . |, (|0) ! Ц|,) = 1 Действительно, 1=МР,.ь( ) М( илн( ) М( „,,( ПЗ„) Д,). (2) ЛБСОЛЮТНЛЯ Р!ЕПРЕРЫВР!ОСть МеР 505 Если бы с положительной вероятностью выполнялось неравен ство М(р! ! (ер)(6!) < 1, то, в силу следствия 1, и правая часть (3) была бы строго меньше 1.
Перейдем к доказательству теоремы. Будем обозначать математическое ожидание по мере гр через М. Для любой случайной величины $(йр) на (1й,6) М$(йр) = М$(йр) Р(йр). Для доказательства теоремы достаточно показать, что при р! < 1й и любых вещественных гй '(- ( Е(.00-.-.(а.) р,)- =- (-ЛР.-(!Е ф й-! Другими словами, для всякой ограниченной 5(,-измеримой величины Ч мр.»р( Г (м л(р! — р,(рл*,) = *р — —,' (р! — чЕ,,~мр. й-! (4) Из следствия 2 вытекает, что для В,-измеримой величины я МЬ=МЬра,((йр)р(г(йр)-Мймрор(йр) М(рс,г(йр) (6!)=МБРР,с(эр), поэтому (4) эквивалентно равенству м —,.р( — —,'(Р,— Р,)г",((м„, (РР й ! гДе Ч = ЧРР ! (БР) — (рР! "измеРимаЯ величина, ДлЯ котоРой М!Ч ~<-." По формуле Ито "*р( й. (р.(рр ™.
Ир. ) рь.,(.!- й-! =.„; К (р,(р! а,(р,)!.,) рь,,( ! Х й ! хГЕ !,(ррр,(ррр- Г.,р,(! — )Е.,р+рЕ (,(р!.,р]. ьй-! й-! 'й! й-! диеегзионныв пгоцвссы 1гл. еш Поэтому "Х'е('(') — '('л')~,.~')= = ~ -~ 1, К ~~,(ю) — ~го.„) Р,,( ) х о й-. ~й х( ~.,~.,ю|-~~ ьпи .в~- й ~л и ( »х --.' Х и(-~( Х сю.()-,о*.ф,,(.за. й ! а ! Пусть ~, Д(()(М. Тогда в силу леммы 1 А-~ м(1 Р г~(В О) — ~,о,~~„,,()Х й ! х ~ (а, -~ т, (о ~ . (ч ~ 5,,) = о. М-! Значит, "' " Ьй(~.й--.о .)Р„,.м= т ( т =~~'--,Х ч)а~ .Р( К ~в,о|-~,ев.,~„,~.~а. ь-~ ь й-1 Полагая па мч' ~1 Х (е„СО -э О.,), ь>=ле~, находим т Ч(,) = М )' — —,' ~ з, ()К Я й, ь-~ ь откуда и а Г) = мп'юр ~ — —,1.' *$ (0, — ~)~. й-1 Тем самым формула (5) при сделанном предположении отно- сительно )ь(1) доказана.
р 6! АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ РОЕР 607 Пусть теперь )оя)(7) удовлетворяют условиям Х Ж)(Ч'~до А-С ~ ,') ((,(() — 1о,)(())' 1 Б с-! при ЛР— асс. Положим йрьосс) (с) = нс (~) — ~ с'Аозс) (з) с(з, 0 ( ррр рП ':,.'„о )= * (Х))Гор! ..и--,,'11'Остчр)7 ~ А-! С, с, Ф-! По доказанному рр! и!рг! о ! р('ьоа, ор) — ро ор))*)= й-! !рр — рррр'")о ! *р( — 'с.~с! — р)~. ор) А-! Поскольку й)ьосс)(1)- йс (1), ос 1, ..., Нс, по вероятности, то рр ° м„рь, о,)„р(! К оа, ~Ор) — р, Ор,))*,) = л-+ А ! ррр =ярри,о ! р(рь ось!!,) о!))') где с таково, что ~)) ~~(с. Покажем, что )пп М ирон)(В)) — Р,(В)) ~=0. сс-Ррр (1О) (7) Далее, ! рс.!ГО о )-! Ор Й Ор)рн Ор) - рг'О! ))*.)- в мрр,,о ! р~рй о~о ор!) — рг'ор)),) ~ с. Ф-! Рсо с (В)) Ро с (В))! (8) 1МЧРосс"(,(В)) МЧР (В))!~~ЕМ!Рсо с) (В)) Ро с,(В))1, 588 днффтзнонныа пвоцвссы [гл.
юп Имееаа ]Ро,1( ) Ро,г(со)[™(!Ро»(оо) Ро»(оо)]+Ро ф(оо) — Ро)(оо)), так как Мр,, (оо) = МР<н> (оо) 1. Но ] Ро,1(оо) Ро, »(оо) ]+ Ро г(оа) Р~о"~ю(оо) «~2ро»(оо) и Р~$~) (ы) — р,, (а) -ь 0 по вероятности. Поэтому (10) выполняется в силу теоремы Лебега. Переходя к пределу в равенстве (6) с учетом (7), оценок (8) и (9) и равенства (10), получим (5) (с учетом значения »1'). ф Применим доказанную теорему для доказательства абсолютно»1 непрерывности мер, соответствующих двум диффузионным процессам, задаваемым стохастическими дифференциаль. ными уравнениями й~,Я=аЯ,В,(1)) й1+ Е ЬЯ,В,(1))йюа(1), 8,(О) =х. (11) Теорема 2.
Пусть коэффициенты уравнений (11) удовлетворяют условияи: 1. Существует такое К, что 1) ~ а,(1, х) — а~(1, у) !+1а»(1, х) — а,(1, у) |+ + ~ ! Ь» (1, х) — Ьа (У, у) ~ ( К1х — у (; а-! 2) ~ а, (~, х) ~о+ ) а,(1, х) ~о+,Е ~ Ьа (1, х) ~о < К(1+ ~ х ~о). П. Существуют такие непрерывные функции х1 (1, х), ... ...,Х (1,х), а» (Г, х) — а ь (Р, х) = 2, Х» (1, х) Ь» (1, х). »-1 Тогда мера 1» абсолютно непрерывна относительно 1» и онв — „„'- В,(с,м))= лнв (п~ У т т =и[-~(~1~.о,аоод,ы--,'Х11ц.аово] о'].
а-1 о а-1 о (12) где би — о-алгебра, порожденная величинами $1 (1, оо), 1еп [О, Т), Доказательство. Пусть (11, 8, Р) — то вероятностное про. странство, на котором заданы процессы а>а(1), А = 1, ..., па, и АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР 3!(1) — решение уравнения (11) при ! = 1. Положим г г ~! != п(К )ье$!!)!,!! — —,' К !НР!! !! !~. 2-! О 2-! О Предположим сначала, что Мр(е) = 1 (13) (это будет, например, выполнено при ограниченных Хд(з,х) в силу леммы 2). Обозначим Р меру на !В, определяемую равенством Р(Л) = ~ р(2!) РИ!2).
В силу теоремы 1 процессы ю2 (Е) = в2 (!) — $ ХА (з, Е! (2)) !22 о являются независимыми виперовскими процессами. Рассмотрим процесс е!(1) на вероятностном пространстве (О, 6, Р). Он удовлетворяет соотношению т $! (1) — хз — — ~ а! (з, ~! (2)) 2Ь+ ~~ ~ ЬА(з, $! (2)) йеА (з) = О 2-! о = ~ а!(з, $!(2))гй+ ~~ ~ ЬА(з, Е!(2)) [сКЙА(з)+ХА(з, К!(2)) а!4 = !! й ! О 2р Ий =1(~!.,! ! !!!-2 ! [,2[2! [,ь! !!]а!. о Ф-! + ~~ $Ь,(2, е!(2)) 12ЬА(2) = ~ о2(з, е!(Е)) с!з+ 2-! О + ~' ~ ЬА(з,й(з)) И„(з). 2-! О Таким образом, $!(2) совпадает с решением уравнения 262(~) 222(1з $2(1)) ь! + Х ЬА(1~ Б2 (1)) 2(!вы (г) 2-! 510 диеетзнонныв пгоцвссы [гл, шп на вероятностном пространстве (й, Ь, Р). Поэтому мера р1 совпадает с рч В силу формулы (1) — „'* а (, в)) =М(р(в) ~Вь), ав теорема в предположении (13) доказана. Покажем, что соотношение (13) всегда выполнено.
Пусть Лаз(1,х) таковы, что Л,(1,х)=Ло"(1,х) при 1х!()У, Лаго(1,х) непрерывны, Л1о1(1, х) = О при 1х ~ ) 2У и функция ~» а',»(1 х) а~(1 х)+ ~с," Л~' (; г)Ьо(1 х) В-~ удовлетворяет условиям (а~1х1(1, х) — а1н1(1 у) /(К ~х у ~ ~а';~'(1, х)~'(К,(1+ /х1'), где К, — некоторая постоянная (не зависящая от Ж). Тогда, полагая т р„(в) =акр ~ ~ ~ Л'~1(з, $,(з))Ы~,(з)— й=! о т --,'Л(1Г(.~,ов1' ~ Й ! 0 будем иметь по доказанному ан в1 — (В,(, в)-М(рх(в)~~ь), где Цв (1) — решение стокастнческого дифференциального уравнения ~~1~' (1) =х, + ~ а<~'(з, $~1~~(з)) дз+ ~ ~ Ь ~(, $',1~(з)) йи,(з).
(14) о ь ~о Заметим теперь, что р д(в) = р(в) при зцр1$,(1, в) ~ ((У, Поэтому Мр(в)11(зцр~~,(1, в)!~(Ф) = Мрл(в)т,(зцр!$,(1, в) ~(У)= =Р(зцр~Ц"1(1)~ч.-,Ж). (15) з б) АБСОЛЮТНАЯ НБПРГРЫВНОСТЬ МЕР Оценим М ~ Ц(А() (1) ~2. Поскольку 2 м((т~о)( (( к2([(*,('.км() ) (,, $, ())ш* )о к- мГ ()(,Р. (г (.))к..(*) ]= й ( о [(*,( 1[~; .:" Я~+ к- 1,'(~, ( .
В"'(*)) ('] к ] ~ Ф ( м ( ) 2) [( *,> .к (кк, к. к) 1 р к- м ((( ( ((') к ] . о М ~ Ц(м) (1) ~2== К,. Имеем гг Р (зцр ) Ц(~) (1) ( > Л() а Р ~ ~ ] а(~) (з, Ц") (з) ) ] дз + о (16) (и +ь .Р 1(,(,() ())к,(*) >к — (*,(]. о Используя неравенство Чебышева, оценку ~ ] ао(~) (з, Ц~) (з)) ] Ыз ( ~ — (1 + ( а(м) (з, фю (з)) (2) (й ~~ о о 2+ 2К(~( +!Ц ()!) о то, используя лемму 1 5 2, убеждаемся, что существует К2 (не зависящее от Л)), для которого ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ (гл. нпс а также свойство дс Э 1 для стохастическнх интегралов, по ко- торому с Р(» (»,(,сг(.ссс,(*с >.[~ с.
с<г О < — ~ М [Ь (з ф("'(з))['с(з< — ~ М(1+ [~(ссс(з)[с)асз и, наконец, (!6), убеждаемся, что " (знр [$)г'(с)[) сн) =(с ( ~:) и, значит, правая часть (15) стремится к 1 при Лс-+ оо. Поэтому Мр(сэ) = 1пп Мр(о»)11(знр~ Зс (с, э») ! =Лс) =!. ЛГ-» а с Тем самым доказана справедливость (13) и теорема. вй Замечание. Пусть матрица В(з,х)= (Ьсс(з,х)), 1,Ь= = 1,... „т (Ьд; — координаты вектора Ьд), невырождена. Тогда в условиях теоремы 2 ~ и (ес( °, (э)) =р(е»). лсид Чтобы убедиться в этом, покажем, что р(а») является ЬЬ-измеримой величиной.
Для этого достаточно показать Ь~сизмеримость процессов нсд(1), Ь = 1, ..., пс. Обозначим сдс(з, х) эле. менты обратной матрицы к матрице В(з, х): х'., Ь„с(з, х)асс(з, х)=бди с с Пусть, далее, О = зо < з, « ... з„= с, Азс = зс+, — зс, 'тогда л-с л» ад(Г)= Исп ~~' ~ссд(зс, Вс(зс))Х лслл л С-»л С с ос=с 'с+с »с[с((„,) — с(( с — 1.,(, с,(с1л1 07) лс в смысле сходимости по вероятности; здесь Ес и ас — координаты векторов $с и ас.
Действительно, выражение под знаком лвсол|отнАЕ непРеРывность мер ю1а предела справа в (17) имеет вид О-| |О О| '|+ Х Х с|а(8|, В(8|)) Х 1 Ьн(8, Ь!(8)) с|и||(з)= | оу ю| О-| О| т '|+| С ~, ~ $ „л(вне|(8|))ЬО(8, й,(8)) (~ ()= ||ОБ=|| | Ю| ~ ф|ы(8)йг,(8), |-| 0 где фм| (8) — ~', Ьи(8, $| (8)) с|А(зн Оы (8|)) при 8|к 8 ~ 8|ем |-| Заметим, что |ь',ы (8) й|л + О равномеРно при |пах Лз, -э О в силу непрерывности функций ьц(8, ~|(8)) и см(8 В|(8)) самым, (17) вытекает из свойства 1Ч 5 1 для стохастнческих интегралов. Очевидно, что правая часть (17) Яь-измерима. ГЛАВА 1Х ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ На протяжении этой книги уже неоднократно встречались процессы, которые получались предельным переходом из более простых случайных процессов.
При изучении случайных процессов значительное внимание уделяется методам нахождения распределения различных функционалов от случайного процесса, например: ~ 1($(з)) г(з, знр $(1), 1п1 $(1). Естественно поставить вопрос; если процесс $(1) получается оп. ределенным предельным переходом из последовательности процессов $,(1), то нельзя ли получить и распределения функционалов от процесса ~~(1), зная распределения функционалов от процессов К„(1) г В дальнейшем мы будем предполагать, что последовательность процессов $„(1) по крайней мере слабо сходится к некоторому процессу $(Г), т. е.
конечномерные распределения ~,(1) сходятся к конечномерным распределениям $(1). Эти требования являются слишком слабыми, чтобы из пих можно было вывести сходимость распределений для достаточно широкого класса функ' ционалов (например, для функционалов, отмеченных выше). Поэтому естественно искать дополнительные условия, при которых распределения функционалов из некоторого класса Г от процессов к„(1) будут сходиться к распределениям соответствующих функционалов от процесса $(1).
Класс функционалов Е должен быть таким, чтобы 1($„(1)) и 1'($(1)) при 1" ен г" были случайными величинами. Следовательно, выбор класса г" должен зависеть от свойств процессов $ (1) и 5(1). Мы будем рассматривать случаи, когда процессы непрерывны с вероятностью 1 или с вероятностью 1 не имеют разрывов второго рода. слАБАя сходимость РАспРеделении $ и В каждом из этих случаев рассматривается свой класс функционалов. Предельные теоремы для случайных процессов важны не только для определения распределений функционалов от предельного процесса с помощью предельного перехода от более простых процессов. Не менее естественно использовать непрерывные процессы для описания предельного поведения дискретных процессов: процессы с независимыми приращениями — для описания последовательности сумм независимых случайных величин, непрерывные процессы Маркова — для описания цепей Маркова с дискретным временем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
