И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Лусть ( — ограниченная непрерывная функция в замыкании 6, ил(х) — функция, удовлетворяющая условиям: она определена, непрерывна и ограничена в замыкании 6, дважды непрерывно дифференцируема в 6, удовлетворяет со- отношению Хил(х) — Л,ил(х) = ~(х), А > О, и ил(х) = О на границе Г области 6. Тогда ил (х) = М ~ е Ч ($х (()) Х( „> О сй о (4) Пусть ты1 — момент первого выхода из компактного множества Р„, где Р„ — возрастающая последовательность компактов, для которой () Р„= 6.
Тогда т~,"' Л Т < т„и при з < т," Л Т веди личины — Тл($„(з)) ограничены. Подставляя в (б) 1=т',"'Л Т и дх учитывая (4), найдем ты~лт к Ми (К (тая ЛТ))е '" ~ — и (х)= — М $ е-лвг($„(з))дз. о Переходя к пределу при и — ~ со, получим |„лт Мил(Ь(т„Л Т))е ~'.~~ — ил(х) — М ~ ~(й„(з))е л'дз. (7) а еде т„— момент первого выхода процесса $,(~) из области 6 (т„=+ оо, если 9, (~) ен 6 для всех Г). Доказательство. Пусть г < т„. Тогда, применяя формулу Ито к функции е л'ил$„(1)), получим с илЯ„Я)е-" — ил(х) = ~ ( — Ре лзиЯ„(з))де+ е-л*А,ил(К„(з))) Нз+ о дил с + ~' $ ~' "л ( (з)) ды (~ (з)) д„, (з) л-~ о г-1 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФХЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 497 Заметим, что !1гпих(~(т, Л Т))е "~ =О, т.м. " так как при т„конечном и„($,(т„)) =О, поскольку 5,(т„) ен Г, а при т„=+ ОО ! иь(9 (т„Л Т)) !е ~хат(зцр)иь(у) !е "— «О.
Кроме того, ! иь В„(т Л Т))!е "«Ат зир! и„(у) ! Значит, Ищ Ми (в (, А Т)) -~т„лт т-« Переходя в (7) к пределу при Т-«оо, получим доказательство теоремы. И Для того чтобы найти совместное распределение величин т и ~(т), достаточно знать Ме А'ф(9(т)) для А > О и всех достаточно гладких функций ф, заданных на Г.
Теорема 4. Пусть фунниия оь(х) определена, ограниченна и непрерывна на 6 0 Г, дважды непрерывно дифферен~~ируема в 6 и в 6 удовлетворяет уравнению Хоь (х) — Тпоь (х) = О (Х ' О). Если оь (х) = ~Р (х) при х ен Г, то оь(х)=Ме ' ф($„(т,)). Доказательство. Используя формулу Ито, для функции е — А1оь(9„(1)) находим при 1( т Г де,,„(йя (О) оь(й„(1)) е А' — оь(х) = ~~ г1 ~ А ", йь, (й„(з)) с(ыь(з). А1о1-~ Точно так же, как и при доказательстве теоремы 3, получаем отсюда равенство Моь(К„(т„)) е 'х = оь(х). Остаетсязаметить,что оь(е„(т„)) ф(9„(т„)), так кант (т„)~Г, И 3 а м е ч а н не 1.
Полагая А = О, можем найти распределение $(т): Мф(й„(т„)) = о(х), где о(х) — непрерывная ограниченная функция в 6() Г, удовлетворяющая уравнению Е,о(х) =О внутри 6 и равенству о (х) = ф(х) при х ы Г. Замечание 2. Положим ф(х)=1. Тогда оь(х)=Ме о„(х) — функция, непрерывная и ограниченная в 6() Г, удовлетворяющая условию ох(х)= 1 при хан Г и уравнению Хоь(х) — Ь,оь(х) = О. (й) ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ 4эв [ГЛ. НН1 Продифференцируем это соотношение по Л и положим Л=О. Пусть — — ол(х) )„ь=М,(х). Тогда М,(х)=Мтх; из (8), учид дЛ тывая равенство оь(х) =1, получаем Е!М) (х) = — 1, М,(х) =0 при х~ Г.
Пусть М,(х) — функция, непрерывная и ограниченная в 6()Г, дважды непрерывно дифференцируема в 6, М,(х)=0, хыГ, !.!М! (х) = — !. Тогда (т(т„= М, (х), (9) Чтобы убедиться в этом, применим формулу Ито к функции М, (ь„(Г«при [ ен ~0, т',"~~: М,6,(т(")) — М! (х) = (и) (х) к т х т Е,М,ф (в«сЬ+" ~ ~~) — М,9,(в«бь!(~„(в«с(ш~(в) о ь-! о (х) д =- „«+~ ~ —,, ~,в,(«~.,в.(.«~ .(). дх) ь-! ь Беря математическое ожидание и переходя к пределу при и-Ф со, устанавливаем (9). ПУсть фУнкциЯ М„,(х) = М(тх)"-' непРеРывна в 6 () Г. Если существует такая непрерывная в 60Г и дважды дифференцируемая в 6 функция М„(х), для которой М„(х) = 0 на Г и А!М„(х) = — пМ„, (х), то М„(х)= (ч((т„)". Действительно, аналогично предыдущему получаем М„(х) =())) ~ пМ„,($„(ю«а[в.
о Заметим теперь, что при в<т„т, „) — — т,— в(по истечении времени в процесс $,( ) попадет в точку $„(в), и до выхода из области 6 останется времени на в меньше, чем с начального момента времени). Поэтому при в ( т, в силу марковости процесса М С(тх —.)"-'! 6,1= М.—,($.(.«, О Б! ГРАНИЧНЪ|Е ЗАДАЧИ ДЛЧ ЛИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЯССОВ 499 где 5, — о-алгебра, порожденная величинами юо(и), и ". з, Ф = 1, ..., По. Таким образом, М„(х) = М ~ иМ ((т, — а)" ' ~ 5о ) с(г = о = М~к(, „)М1(тх — з) '15,1аз= о 1 МА( „)М Ь вЂ” 3) 16Л а о = п ~ МА( 1(т з) с(з = М ~ а (т з) с1з = М (т ) ° Рассмотрим одномерный однородный процесс $„(1), являющийся решением стохастического уравнения коэффициенты которого удовлетворяют условиям теоремы 1 9 2. Пусть т,— момент первого выхода процесса $,(1) из интервала (и, р).
Введем функцию е~)-)нр( — ) ',~ ~ ~*~Юг. Ьо(х) о и Легко видеть, что функция ф(х) является решением уравнения а (х) р' (х) + — Ь~ (х) ф" (х) = Егф = О (такой вид в данном случае имеет оператор Е~). Всякое решение уравнения Еи = О имеет вид и = с1ф+ сь где с~ и с, — некоторые постоянные. Используя замечание 1, можем записать Мф($„(т„)) =ф(х), Покажем, что т„— конечная величина. Для этого найдем решение уравнения а (х) М~ (х) + — с (х) М1 (х) = — 1, М, (а) = М, 1р) =- О.
[гл юи диеерзионныв процассы Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию М~(ср) = = О, имеет вид х Сф(х)+ 2 " ~ * дг. ,1 ь'(г) ф'(4 а Значит, учитывая, что фф) чь О, находим а Х (хР 2 ф (х) 1 ф (Р) — ф (г) лх 1 2 ( ф (х) — ф (Я) ф (Р) 1 ь ( ) р' ( 1 ,1 ь' ( 1 р' ( ) В силу замечания 2 Мт„=М,(х) ( со. Из конечности т„вытекает, что $(т,) принимает с вероятностью 1 одно из значений я или 11. Поэтому ф(х) =Р($(т.)=р)фФ), РЬ(т.) =И= — ","„'. Ра(т.) =.) = "",","'. Пусть а=О, Ь=1. Тогда ф(х)=х — а, Р(~(т.) =.) = — „'-„", Рй(т.) =~) = — "-„. В этом случае легко подсчитать все моменты величины т, Уравнение для М,(х) имеет вид — М (х)= — 1, М~(а)=М,((1)=О, М,(х)=(х — а)(х — р).
Для М„(х) имеем уравнение — М, (х) = — аМ„1(х), М„(а) = М„())) = О. Значит, к 6 М„(х) = 2и ~ (х — г) М„,(г) р(х+ 2и — ~ (р — г) М„, (г) Ыг. Это соотношение позволяет рекуррентно вычислять все моменты величины т„. Распределение т„можем найти с помощью замечания 2: Ме 'х= ох(х), где ох(х) — решение уравнения ~ ох(х) — )ох(х)=О АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР 501 с граничными условиями оь(а) = о„(р) = Е Значит, 5 6.
Абсолютная непрерывность мер, отвечающих диффузионным процессам Если $(() — некоторый случайный процесс, определенный на (О, Т), принимающий значения из Я™, то по теореме Колмогорова (гл. П, 5 2) ему соответствует мера в пространстве (У м,ть 6), Гдс У РЛ т1 — ПрОСтраНСтВО ВСЕХ фуНКцИй Х((), ОПрЕдЕЛЕНИЫХ На (О, Т) со значениями в Я-, 5 — а-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами. Если заранее известно, что процесс е(г) непрерывный, то меру, соответствующую процессу, можно построить на (В'м,тв 5), где Ум т| — пространство непрерывных функций.
Далее мы будем рассматривать только непрерывные процессы и меры, отвечающие этим процессам, будут заданы на $рлт1 Обозначим через рь меру, отвечающую процессу Е( ). Нас будет интересовать, при каких условиях для двух диффузионных процессов $~( ) и $з( ) меры, соответствующие этим процессам, будут абсолютно непрерывны одна относительно другой. Напомним, что если на измеримом пространстве (Х,6) заданы две меры р1 и рз, то рз абсолютно непрерывна относительно р„если рз(В) = 0 для всех В ~ 6, для которых р1(В) = = О. Известная теорема Радона — Никодима утверждает, что рэ абсолютно непрерывна относительно р~ тогда и только тогда, когда существует такая 6-измеримая неотрицательная функция р(х), что для всех В ~ 6 р, (В) = ~ р (х) р, (йх).
э Функция р(х) определяется однозначно с точностью до мно. жеста, мера р| которых равна 0; она называется плотностью (производной) меры рз относительно р1 и обозначается р(х)= „~' (х). В этом параграфе не только исследуются условия абсолютной непрерывности для мер, отвечающих диффузионным процессам, но и вычисляются соответствующие плотности. Заметим, что если процесс $(О= $(Г, о) задан на некотором вероятностном пространстве (ьс, 6, Р), то соответствующая ДНО РУЗ!ЮННЫГ ПРОПЕССЫ [ГЛ. Чп! ему мера есть просто образ меры Р при отображении $ [ .
о! ьг — ~ !у[о,т! в пространстве У[о,ть Для любого множества В ~[й [с (В) = Р (ем а ( °, [о) ~ В). Это позволяет строить меры на $'[о, т[, абсолютно непрерывные относительно щ, отображая с помощью функции 5(, о[) меру Р(А) = ~ р(со) Р(й[о), А где р([о) — Я-измеримая неотрицательная функция, для которой $ р([о) Р(й[о) =1 (последнее условие нужно для того, чтобы Р(11) = 1). Обозна- чим через 5(1) случайный процесс, задаваемый функцией $(1, [о) на веРоЯтностном пРостРанстве (Й, [б, Р), а чеРез [[1 меру со ответствующую этому процессу на У[о т[.
Тогда, если 6Ь вЂ” о-ал- гебра в 11, порожденная величинами $(1, [о), 1~ [0, Т], то ли1 — „, ($(,ы))=М(р(ы)Ф). (1) Действительно, для А еи 5 [[! (А) = Р (в ( °, [о) е= А) = ~ р ([о) Р (й[о) = Мр([о) КА($ ( ' » [о)) = А = МХА(в( ' » [о)) М (р(оо) 1~ ) ~ М (р ([о) 1~[) ~, [»:. (йк) А (мы воспользовались тем, что М(р([о) ~Ж) является функцией от $(.), а математическое ожидание от этой функции есть ии- теграл по мере [с ).
Сейчас мы докажем одну теорему, которая позволит описать класс функций р([о), для которых мера в $'[о,г[, полученная отображением из Р, будет соответствовать диффузионному про- цессу, если только и процесс $(1, [о) на (й, Я, Р) был диффу- зионным, Теорема 1 (Гирсанов). Пусть ге[(1), ..., и[ (1) — незави- симые между собой винеровские процессы, 5[, О =1( Т,— се- мейство о-алгебр, для которык с[[, с: 6[„при 1! 1о, и[о([) измеримо относительно 5„а величины ([еь(з+ 1) — а[о([), з ) О, й = 1..., т) в совокупности не зависят от 6,. Если |гл, х|н днееузионныв птоцтссы 504 Для неступенчатых функций (2) может быть получено предельным переходом. Лемма 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
