И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 77
Текст из файла (страница 77)
' ( 1 1 ) Доказательства этих формул проводятся аналогичным образом. Докажем, например, (11). Из (6) вытекает /3 с сс М фс, „(з) — х)' = М ~ $ а(и, $„„(и)) сХи + $ о(и, фс, „. (и)) с(и) (и)) . Поскольку ~ с 12 с м [) ), с „) ))с 1 () — ~) [я '), ь.*) ))с ) — ь, с а / 9 к2 с М ~~ о(и, ас,„(и)) с(и) (и)~ = ~ М [о(и, $с,„,(и)))гаси( с (К'~ М (1+ [ас,(и) [с) с(и 0(з — 1), с СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВГННОСТЪ РЕШЕНИИ 479 ТО ич,.и-*г=а[[.(..ь..мш м);- ° В-4- ~ М О' (и, КВ х (и)) 4(и + О (з — 1). Воспользовавшись равенством ! Нн МО' (и, $О „(и)) = О (1, х), итс вытекающим из возможности перехода к пределу под знаком математического ожидания (в силу неравенства О'(и, ~, „(и)) ( ~ К4(1+[Ь,„(и) [')' н следствия 1 из теоремы 2) и непрерывности а(1, х), находим 5 ~ Ма'(и, 5ь„(и))ди= оз(1, х)(з — 1)+ о(з — 1), (12) где щА(1), й = 1, 2, ..., т, — независимые винеровские процессы, Функции а(1, х) и ЬА(1, х) определены при 1ее [1м Т), х ВЕЯ н принимают значения из Я'".
Уравнение (12) эквивалентно уравнению й(1)=$(1е)+ ~ а(з, $(з))4(з+ ~Ч ~ Ь„(з, й(з))дш„(з). (13) с, А 1П Это уравнение решается при заданном Ц(ТВ), которое всюду в дальнейшем будет считаться величиной, не зависящей от процессов ЩА(1) ° Пусть 5~ — минимальная О-алгебра, порожденная величинами Е(1В) и ид(з) — ЩА(14) при й = 1, ..., т; зее[1м 1) Решением откуда и вытекает (11). Щ Перейдем к построению многомерного диффузионного про- цесса $(1) с вектором переноса а(1, х) и оператором диффузии В(1,х).
Положим ЬА(1, х) = ~/АА(1, х) еь(1, х), где еА (1, х) — собственные векторы, а ХА (1, х) — соответствующие им собственные значения оператора В(1, х). Процесс е(1) мы будем искать как решение уравнения Оя (1) = а (1, $ (1)) й + ~ ЬА (1, $ (1)) ах (1), 1гл. тип дпььязпонныг. пгоцессы (13) будем считать такой процесс $(г), для которого существуют интегралы в правой части (13) н при каждом 1ен((ы Т) (13) выполняется с вероятностью 1.
Сформулируем в виде одной теоремы основные свойства решении уравнения (13). Теорема 4. Пусть а(1,х), Ь~(1,х)... Ь (1,х) — определенные при 1с(1ы Т), хе=,Ж борелевские функции, прини.иающие знамения из Я", Если существует такое К, гго т ! а (1, х) г + Х 1 Ьь ((, х)!е < К' (1 + ~ х Р), ~а(1, х) — а(1, у)~+ Х ~Ьь(1, х) — Ьь(1, у)!е К/х — у( ь-1 для всех х и у из йс", то уравнение (13) имеет единственное с точностью до стохастической эквивалентности с вероятностью 1 непрерывное решение $((). Это решение В(1)будет процессом Маркова, переходные вероятности которого Р(1, х, з, А) при 1 с' з определтаотся соотношением Р (1, х, з, А) = Р ($и х (з) ен А), где $нх(з) является реигением уравнеи~я з ы ь Ки,(з)=х+ $ а(и, 4,,(и))с(и+ ~~ ~ Ьь(и, 4,„(и))дшь(и).
(14) ь=! Если функции а((,х) и Ьь((,х) непрерывны по 1, то процесс й(1) будет диффузионным процессов с вектором переноса а((, х) и оператором диффузии В(1, х), удовлетворяющим соотношению т (В(1, х) х, г) = ~ (Ьь(1, х), г)'". ь=~ Доказательство всех этих фактов в принципе совершенно не отличается от доказательств для одномерных процессов, приве- денных в теоремах 1, 2, 3, 3 а и е ч а н и е 1. Если ьь, (з) является решением уравнения (14), коэффициенты которого а(з, х) и Ьь(з, х) удовлетворяют условиям теоремы 4, то существует постоянная Н, для которой при з >1 М ~ Ь „(3) — х ~Я(Н(з — 1)г(1+ ~ х 1), Это утверждение аналогично тому, которое доказано в лемме 2 для одномерного процесса.
диФФеРеициРуемость РешениЙ 481 3 а м е ч а н и е 2. Если коэффициенты а (1, х) и Ьь(1, х) уравнения (12) не зависят от (, т. е. уравнение имггг вид ги дС(!)= а($(1)) д!+ 2 Ьь(е(!)) дшь(!), (15) сс а(х), Ьь(х), Ь = 1, ..., т, удовлетворяют условиям тгоргмьс 4, то решение е(!) уравнения будет однородным процессом Маркова, т. е. переходная вероятность Р(г,х,!+Ь,А) не зависит от й Действительно, Р(1, х, !+ Ь, А) совпадает с распределением ь1 „(Ь)=$и„(!+Ь), но, как вытекает из теоремы 4, ~1 „(Ь) будет решением уравнения т дй~,к(Ь)=пан,®)дЬ+ Е йьй~~„Я)дь[п1ь(!+Ь) — шл(!)) с начальным условием Ь1, Р(0) = х. Так как совместное распределение [п1ь(!+ Ь) — шк(!)), Ь = = 1, 2, ..., и, не зависит от 1, то и распределение 1,1,„(Ь) пе будет зависеть от Е 5 3.
Дифференцнруемость решений стохастических уравнений по начальным данным Цель зтого параграфа — доказать, что функция $1,,(з), введенная в предыдущем параграфе как решение уравнения (14), является дифференцируемой функцией х при достаточно гладких коэффициентах а(1,х) и Ьк((,х). Так как ь1,,(з) — случайная функция х, то нужно уточнить, в каком смысле будет пониматься производная от 31 „(в). Для наших целей удобно рассматривать среднеквадратическую дифференцируемость случайных функций.
Если 1р(х, ы) — случайная функция, зависящая от точки х пространства Я , а х', ..., х'" — координаты точки х, то под — мы будем понимать такую случайную величину, дФ дк1 для которой 11ш йй ~ —, [ф(х1,..., х'+ Лх1, ..., х'", 4ь)— ь Р 1 .Р ь — 1р(х1, ..., х', ..., х, ы)[ — 'Р ' ~ =О.
д (х,е) 1з х' Как и в предыду1цем параграфе, мы дадим полные доказательства лишь для одномерных процессов. Т е о р е м а 1. Пусть функции а (1, х) и о (1, х) определень1 и непрерывны при хенвх1, !Ен[сь, Т) и имеют непрерывные ограниченные частные производныг а',((, х), а,",(1, х), о,'(1, х), о'„',(1, х). 482 диььтзионныв пьоцессы >гл чш Тогда решение В>,.(з) уравнения (б) 5 2 дважды дифференцируемо по х, причем производные непрерь>вны по х в среднем квадратическом.
Доказательство теоремы будет опираться на следующую лемму. Л е м и а 1. Пусть процессы ~„(1), и = О, 1, ..., явля>отса решениями ствхастических уравнений ~.(~)=ц.(1)+ $ Р.(е) ~.(з)д + $Х.(з)~.(з) ди(е). (1) Функции ц>„(1), >)>„(г) и Х„(г) при каждом 1 измеримы относительно бц, зпр М 1 ч>„(1) Г < ьо, и существует такое К, что с вероятностью 1 ~ >р„(з) ! ( К, ~ у„(з)1< К, Если прп п - ьо зпрМ ~ ч>„(>) — >рь(1) Р— «О и при каждом мачт„Я- >Рь(т), х„(>)- тл(4) по вероятности, то и зпрМ)~„(т) — ~ь(г)>>~ — «О при и- ьь. с Доказательство. Отметим, во-первых, что точно таким же образом, как и при доказательстве теоремы 1 5 2, доказывается существование и единственность решения уравнения (1), а также то, что в этом случае апрМ|~„(1) ~'< ьо.
Поэтому можем записать М / ~„ (г) — >„ь (С) Р (~ ЗМ ~ ц>ь (1) — ц>ь (() Р + ° с «2 + ЗМ ~ ~ ( Рь (з) ьь (з) — Фо (з) ьо(зН дз ~ + „->и(1».> к.> > — х>*»,>*»» >)— - Зм, «. »>- «. »> > -«>н (1 «„>.>».
>*> —,.>.>> ш,, >, > «е >» + ) ьь (в) И. (в) — Рь (в)) д ~ + ЗМ ~ ~ Хь (з) (~. (з) — ~, (з)) д ( ) + с, -«)ь>.>».>*> — >.>.»».>) к >> т> «ч > ( Ь„(1) + бМ ~ ~ К ~ ~„(з) — ~о (з) ~ сЬ) + ОК' ~ М ~ ~ь (з) — ~ь (з) 1' дз, с. пнвьв внцнгкгмость гашении 8 з1 483 где б„(1)х 6М! рх(1) — р,(1)!х+ + 6(т — то) 1 М ! Ьо(8) ! ! Фх(8) — Фо(8) ! с(8+ с +6~ М!а,(8)!е!х.()-у (8)!'дз. Так как знР бх(1) ~ 3 впР М! Р„(1) — ~Рь(т) Р+ + 6(Т вЂ” (ь+ 1) ~ М! ~о(8) !'(! Ф~(8) — фо(8) !'+ ! у,(8) — Хо(8) !') с(8, то б„(1) равномерно относительно 8 стремится к нулю (интеграл стремится к нулю по теореме Лебега, так как подынтеграль.
наа фУнкциа огРаничена величиной 4Кх!Ьь(8)!з и стРемитсЯ к нулю по вероятности). Если положить Н = бааз(Т вЂ” 1ь'+1), то с М!Ьх(1) Ьо(т)!~~знрбл(1)+ Н ~ М! Ьх(8) Ьь(8) !хав ° Тогда в силу леммы 1 й 2 М ! с„(т) — Ьь (т) Р ~ знр б (1) еп 'т ". Последнее неравснсзво доказывает лемму, 181 3 а м е ч а н и е. Лемма остается справедливой, если проиессы будут зависеть от непрерывного паратлетра а и соответствующие пределы будут существовать при а -э О, Приступим теперь к доказательству теоремы.
Положим С.,"(~)= ~. Г~к»+.х(~)-Вк.~. ТОГда ПрОцЕСС Ь„вх(8) будЕт РЕШЕНИЕМ ураВНЕНИя Ь„,х(8)= 1+ ~ Ф„вк(и)Ьх к(и)ди+ ~ Х„вх(и)~„Ь„(и)дв(и), с ю где (х Ве, +в~.(~1) "(х Вк (х)) (8)— х, ьх 8~ к+ лк ОΠ— й~ . РП в(х'1! к+ххбб) в(х 1~ х!х)) К, (8)— х, Ьх ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ~гл. шп 484 Так как а(з, х) и о(з, х) имеют ограниченные производные по х, то существует такая постоянная К, что с вероятностью 1 (~р„д„(з)~(К и ~11, д„(з)~~~К. Поэтому М (~„д,(з)1'<3+ 3(Т вЂ” 1„) ~ К'М~Ь„д„(и))~Ни+ +ЗК' ~ М ~~х д„(и)~'Ми<3+ Н ~ М /~, д,(и)/'с(и, где Н = 3(Т вЂ” 1, + 1) К'. Из леммы ! 5 2 вытекает, что М ( ~ (з) !'( Зе" ~г-'о>, и„ следовательно, прн некотором Н, М!В, х+дх(з) — Вс х(з)!2<НЕЕ(ЛХ)'. (2) Последнее соотношение показывает, что $, „+ „(з) — $, „(з)-ФО по вероятности прн Лх-+О, поэтому р, ,(з) — а', (з, В, „(з)), К„ д„ (з) — о'„ (з, $, , (з)) по вероятности при Ьх-+ О.
Обозначим через 4„(з) решение уравнения с ь„(з) =1+ ~ а',(и, $, „(и))ь„(и)йи+ с + ~ о„' (и, $, „(и)) ь„ (и) иж (и). (3) Заметим, что из соотношения (3) вытекает равенство ь„(з) = ехр ~ $ (й„(и, $, „(и)) — — (а',(и, $, „(и))~з) Ыи+ 1 1 + ~ о„'(и, 8ч (и))йш(и) 1. (4) Из леммы 1 следует, что М~4, „(з) — ь„(з)!з-+О прн Лх-+О, . т. е. что ьх (з) = А „ее х (з) д !гл шн ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ 486 равномерно ограничено. Из формулы (4) легко находим, что д существует — „с„(з) в среднем квадратическом и д„, зс,х(з)= дх "«(з) =ехр ~(а„(и йс, „(и)) -гс:С",г„ьгг')с с-(кг,ь.счгс сс)х с 5 Х ~ ~ (а",«(сс, ьс х(и)) — о',(и, фс х(и)) о„"„(и, эс х(и))) Ь„(и) да + +1.".С,гь.ь)гсЛ«с ы] сч с Из этой формулы вытекает и среднеквадратическая непрерывд' ность —, $с„(з). И Для многомерных процессов имеет место Теорема 2.
Пусть $с,(з) является решением уравнения (14) 5 2, а функции а((,х), бг((,х), ..., б (1,х) определены и непрерывны при 1~[(ь, Т), х~ ах"' и обладают ограниченными непрерывными производными по всем переменным х', ..., х"' до второго порядка включительно. Тогда функция эс,(з) дифференцируелса дважды по х в среднем квадратическом, причем сгроизводные д дг , Вс.«(~) с г Вс.х() и'„(х) = М)„'(ф, х(з)) Ь„(з). (Т) как функции х, будут непрерьсвны в смысле среднего квадратического. Доказательство этой теоремы проводится в том же плане, что н доказательство теоремы 1, поэтому мы не будем приводить его. 3 а и е ч а н и е 1.
Если выполняются условия теоремы 2 и 1(х) — ограниченная непрерьсвная функция, имеющая непрерывные и ограниченные производньсе до второго порядка включительно, то функция и(х) = (гс1)'(зс, (з)) дважды непрерывно дифференцируема по х. Проверим справедливость этого утверждения опять лишь в случае одномерных процессов. Покажем, что диеэкгьнцигугмость гашении Действительно, МГ""+"'" "" '"-Г(й ())~()Х» йк„х„„() — аь „( ( ((х) — ( (у) ввиду ограниченности , сходимости х — у ( Я. хв (х)) — ( (6~, х (х)) г л (д) г (х) х~ 1,к к нулю по вероятности и соотношений 3 ни М ~ ~ „(в) — ~ (в) ~' = О, М ! ~ (в) ~' < со.
Но 1 и("","?="") -Мт:СВк,())~„(.)~» » ~ М [ —— ,'х (Р (~их+„(в)) — Р(~ь „(.))) — Р;(~к,(.)) ~,(.)1' ~и'. Отсюда и вытекает (7). Аналогично устанавливается, что и'„'х = М(,"х (И,(в)) ьх(в) + МЯВОМ х (в)) вх 4х (в). (Р) Непрерывность и', и й'„следует из непрерывности процессов г„(в) д и вх ь„(в) в среднем квадратическом. Замечание 2. Процессы д а Вкх(в)~ Вх Ььх(е), Вх~ Вс,х(в) являются стохастически непрерывными функциями ( при фикси. раввином в, (ь» в» Т, равномерно относительно х на каждом компакте. Пусть 1» г' » в; тогда Вк,(в) — Ви „(в) = В, „((') — х+ $ (а (и, Ек„(и))— 5 — а(и, 5, „(и))) сКи+ $ [о(и, ~, „(и)) — о(и, Цк,(и))) сКш(и).
диэсо'зпонныз пзоцзссы ~гл. чш Следовательно, при некотором Н справедливо соотношение М Йих(з) — Вн,.(з)]'~~3М] Ви.(1') — х]з+ + Н ~ М Йи (и) Вм, „(и)]з ди, и из которого вытекает неравенство М Ви. (з) — йн,х(з)]з ~(3М] 5нх(т ) — х]тени-' >.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
