И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Таким образом, — = с) (С) (пгс — е (С)), о откуда барс -1 е Сгг лс в (с) е Заметиьс, что (в < ь < 1) О < е(С) =и'(1) — и'(й) =и" (1)(1 — $)~<ссв(1)(1 рс о(1))<сиге' ' ' поэтому интеграл ~ в(С)Ж конечен. Отсюда следует, что при о всг <О О рсгг-к~к. ок. к-,.рс(-).сгркг). о Рассмотрим случай пгс О. Имеем ,сг О) +С вЂ” — (1 — ~(С))=- (1)+й(С) й(1) - — ','" ива).
ввтвюнигсч пгоцгссы а 51 44! где $, — число из иитеРвала (Р,,(!), 1). Так как а" (гы) -~и" (1) при ! -+ со, то —, = — — (птя+ в(!)), где з(!)- 0 при 1- оо. Отсюда следует д(1) —, — +о( — ). аи тм 1- ~ е (т) ат+ 2 о Дополним теорему 2 результатом, относящимся к асимптотическому поведению вероятностей р, „(!) для вырождаюп!ихся процессов. Так как 1!гп р, „(!) =0 (п ) 0), то !пп 1(г, !) =!. Положим 1 .+ с+ д (г, 1) = 1 — 1(г, !). При г= — 0 имеем д(0, !)=1 — 1'(О, !)=1 — р,,(!)=д(!) Ке Можно предположить, что такой же будет скорость убывания функции д(г, !) и при г ~ О. В связи с этим положим г(г, !) ! — 1(г,О 'р (' ') = ч (!) = , (1) ' Заметим, что функцию з)~~ Р~ я!!) л (23) л-~ можно рассматривать как производящую для условного распределения числа частиц ч(!) при гипотезе»(!) =~ О.
Теорем а 3. Если гп! = и'(1) (О, тг — — и" (1) < со, то при Ф -~ со условное распределение числа час!чщ т(!) при гипотезе ъ(!) ) 0 стреггится к определенному пределу, производящая функция которого 1" (г) равна " )-.Т'т 1 (г)=1 — е (24) Доказательство. Рассмотрим функцию !р(г, !). Из (4) следует, что ~р(г, !) удовлетворяет уравнению — =- — — и (1 — о (!) ч!) + — и (1 — а (!)) . де ! Ф дг е (!) ч (!) Разлагая правую часть полученного равенства по формуле Тейлора, получим сг = — — ~и !) — д~!)ври'(1)+-ч ~ (и" (1) +е~)~+ ог Н! + (! ~и(1) — с1(!)и'(1)+ ' ' ' (и" (1) + ег)~, 442 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ (ГЛ. РСС где е, = и"(Ес) — и" (1), Бз = и" (Ес) — и" (1), Ес (Ев) — число, лежащее между ((», () н 1 (между )" (О, () в 1), При 1-в-оо функции гс — О (с = 1,2) равномерно в любой области 1»( =.
р с 1. Предыдущее равенство можно записать в виде Ги . 2 (тв+ ес)+ 2 (пвс+ аз)' де Ч(С) Ес д (с) о Начиная с некоторого достаточно большого (, имеем дзс с) (С) ср / исс ~ 3 — < — (тв + — 1= — твс)(()сР дС 2 ~ 2) 4 откуда — „вс, ~ 4 Гв) ав з р(», ~)~ р(», (в)е Из сходимости интеграла ~ с((т)с(т следует, что функция ср(», 1) и остается ограниченной при (-ь оо. Поэтому уравнение (25) можно переписать в виде — ( и, (1 — р) + а), ср(», О) 1 — », дср с) (С) ср где е = ез — срес-РО при (-+оо.
Представляя решение послед- него уравнения в виде — ) В Св) (вь Н-Ч (в, в))+в) дв сг Ч(., () =(1-.).'~ убеждаемся в существовании предела 1ип ф (», г) = К (»). с +во Кроме того, из (25) следует, что Игп — =О. Так как ср(»,1) дср дС является аналитической функцией внутри круга )»( ( 1 н все использованные предельные соотношения имеют место равномерно внутри всякого круга (»( ( р < 1, то функция К(») также является аналитической внутри круга и дср (», С) дК (в) дз д» 1ип равномерно внутри любого круга ~»(( р ( 1, Для определения функции К(») можно воспользоваться уравнением (9). Подставляя в него ((», () = 1 — с)(()ср(», 1), получим -д'(~)~(~ )-9(~) "д,'н =-и(») «) "д' ".
ветвящиеся пвоцессы 443 Разделив это уравнение на д(Г) при à — г.оо, получим, учитывая, что д'(1)|д(1)-|. т, (см. доказательство теоремы 2), т,К(з) =и(з) — „ |гк (г) причем К(0) = 1пп |р(О, Г) =1. Таким образом, |+ г г К(а) е 1 — /(3, 1) |)(1)К(з) =е ~ е ~ аз) Приведем теперь выражение для среднего числа частиц в момент времени 1 прн гипотезе, что к этому моменту времени процесс не вырождается.
Имеем ем'| т'(() = М (т (Г) (т (1) > 0) = г ч (|) ' (26) откуда, принимая во внимание теорему 2, вытекают следующие асимптотнческие соотношения при 1- оо: 1/К при т'(1) т,(/2 при е"" '/(! — а) при т| <О, т,=О, т, ) О. При т| ) 0 число частиц т(Г) при гипотезе т(1) ) 0 неограниченно увеличивается. Положим т*(1) = —. = т*(г) Тогда М (т*(1) (т'(1) ) 0) = 1. Изучим предельное поведение величины т'(Г) при Г-ь оо.
Так как можно ожидать, что предельное распределение величины т'(г) при гипотезе т(() О, если оно существует, будет кепрерывным распределением на полупрямой (О, оо), целесообразно перейти от производящих функций к характеристическим.
Для характеристической функции д(Х, 1) случайной величины тг(Г) при гипотезе т(1) ) 0 имеем следующее значение: ,,„1| с,— „',.'"„| те(0 ((е "и~,г)-1(о,г) е | склчкоовглзныг мхьковскнг пьоцвссы 1гл, чп 444 или — (,="«, ) Рассмотрим случай т( = О. Теорем а 4. Если (и( —— 0 и тх ( со, то 1!га Р( ",',", (х!.(1)) О~=! —;:---. (27) (28) Доказательство.
Полагая 4р(г, 1) = 1 1(г, 1), получим нз уравнения (4) +"=- (! -ф) = — +(и-(!)+ в(1)), аь ф(г, 0) =1 — г. Так как при ит( = 0 процесс является вырождающимся, имеем (р(г,1) — «О при 1- со равномерно в области,(г~ (1. Отсюдаследует, что е(1)-+ 0 при 1-+ ьо также равномерно относительно г, !г(( й Интегрируя последнее уравнение, получим 1 ф(гО 1 — г 2 — =-(- -«(.ьи.]. о откуда !!гп "",. +"""'+ (1 +-4+' 4+а е™щ о и, следовательно, я (Л) = 1!(п д (т., 4) = —, 1 4.+„"' 1 — 1х Функция д(Х) является характеристической функцией распределения г"(х)= 1 — е- при х > О, г'(х) = 0 при х < О.
® В случае и, ) 0 величина о(1) стремится к пределу 1 — а Ф Ф О. Поэтому нормировка с помощью функции д(1) или переход к условным математическим ожиданиям при гипотезе т(1)- 0 не может играть существенной роли. Докажем следующую теорему. Теорема 5. Если т, ) О, тх ( со, то величина ч(4)епри 1-ьсо сходится в схчьссле среднего квадратического к случайной величине т( =!Лип.ч(1)е ', характеристическая функ- Витая!ппГГя пго11еГсы 4 51 445 ция д()р) которой удовлетворяет фунсгциональнолсу уравненисо е сх) сс — рСсСС р~ — ( с„с,, 'с', "Р ~ — — сс. 1551 ! Для доказательства сходнлгости величины т (1) =т (1) е- н в смысле среднего квадратического воспользуемся критерием Коши.
Пусть 1 = 1'. Тогда М (5с (1) — с (! ))з = Мт (1)' + Мт (1) — 2 М (т (1) 5с (1)). В силу формул (16) и (19) Мт(1) т./тс при 1-и сю, Используя определение ветвящегося процесса и его однородность, получим М (т (1) т (К)) = Мт (1) М (т (1') с)ч (1)) = Мч' (1) Мч (1' — В откуда следует в силу тех же формул (16) и (19) М (т (1) р'(1 )) тс/тс. Таким образом, М(5(1) — г(1'))'- О при 1, ('-Рос и сусцествует предел т) =1.!.1п.т(1). Записывая уравнение (4) в ви;1е сС) и (!) — тс (1 — 1) 1 — 1 и(0 У вЂ” 1) с(/=т псг и интегрируя его по ! от О до 1, получим с 1п(1 — /) — ~" ", )(„' йо=т,1+!п(1 — г), о Полагая здесь г=еи" сс) н устремив 1 к ио, придем к равенству 1 (1- )-1 и» '"'" "й =1 (- .), и (и) (и — 1) 5 откуда следует (29). Е Теория ветвящихся процессов с частицами нескольких типов аналогична, но более сложна.
Остановимся только на основных соотношениях этой теории. Как и в случае частиц одного типа, удобно воспользоваться методом производящих функций. Пусть М вЂ” множество возможных состояний процесса, т. е. совокупность всех векторов м .=-(ас, о.. .., о,) с неотрицательными целочисленными компонентами (условимся обозначать склчкооввлзныв млвковскив пвоцвссы <гл. тп 446 и-мерные векторы греческими буквами а, 11, о, ..., а их компо- ненты — соответствующими латинскими буквами), Определим производящие функции Р<(<,о) = Р<(й з<, зь ..., з ) вероятно- стей перехода Р<о, в(<) соотношениями Р<(1, <г)=Р<(1, з„..., з„)= Х р<, „(1)з', з.,' ...
зь (30) (о (з<1 зй ' ял) <' (Ь< Ь<ь ° ' 1 л))' Напомним, что Я обозначает вектор И =(Ьп,бсь ..., 6< ). Функции Р<(<,о) являются аналитическими функциями перемен- ных з<, з<ь ..., з„в области <з<) ( 1 (< = 1, ..., и), пРичем <Р<(<, о) !<1 при <з< ~~<1, Р<(1, 1, ..., 1) =1, Р,(0, о)=зо (31) Если ввести и-мерную векторную функцию ф(1„о) =(Р, (1, о), ..., Р„(1, а)), то из (31) следует ф(0, о) = о. (32) Найдем теперь эквивалент формулы Колмогорова — Чепмена для ветвящихся процессов, выраженный через производящие функции. Имеем Ров(1+т)= ~ р<п,(1)р, (т), 1>0, т>0.
аам Заменяя здесь Р В(т) по формуле (1), получим Р<пв(<+т) = 2 Р<па (<) Х П ПР<мв<й п(т)' лам 33В<й.<< В й 1< < й < Умножая обе части последнего равенства на з,' ... з„и проь, ь„ суммировав по всем Ь, приходим к следующим соотношениям: Р,(1+т, о) = ь<й и ь<й и = Х Р«(1) Х Х ППР „,и()" ' аам В м33в<й,п в й « « мв' < й < ай ь<й <' ь'й <' Рща(<) П ПГ Х Р <й <<(т)з < ° ° ° з" ) лам й < < << <й,н рав = 2.' Р«<„(1) ПРйй( о) ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ 447 откуда следует Р,((+т, о)=Р,((, Р~(т, а), ..., г„(т, о)), (=1, ..., з, или и предположим, что Ьи= 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
