И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Пусть 1(1) ен а)1,(а, 11), каково бы ни было Ь > а. Если т, и т, — два марковских момента относительно а-алгебр Ои для которых а ( т1:: тз с вероятностью 1, определим ~гл, уш ДПФФУЗПОНПЫР ПРОЦЕССЫ (вм $= 1)() (т,(1) ен52). Кроме того мп г Лп М ~ ~ ~„- (1) ж) = Мй ~ )'(1) (г < а ог Лп Значит, ог Л гг Ма 1 1'(1)С( г (1) =О, <гЛп ГвгЛп -12 ч Л гг М$ ~ ~ 1" (1) г(юЯ~ = Мй ~ ~(1) в(ю(г). вгЛп о Лп Переходя к пределу при и — аа, получим М$ ~ 1 (1) с(ю (1) = О, Т / вг <2 <г МК~$ ~(1) 2(ю(~) ~ = Мй$ ~2(1) с(ио(1). 'гг Из этих равенств и вытекают (14) и (!5).
Предположим, что с совокупностью о-алгебр 5, (в -в 0), определенных на (21, В, Р) и удовлетворяющих условию; при 0 ~ 1~ ~ 22 5и ~ 5и ~ Ь, связаны одномерные винеровскне процессы иг, (1), ..., ю„,((), удовлетворяющие условиям: а) вс1(1),... ..., иг (1) независимы; б) юь(1) измеримо относительно 52,1) 0; в) и-мерный процесс (вс~(г'+ й) — и~(й), ..., иг,„(1+ Ь) — ю„,(й)), 1-в О, не зависит от О-алгебры вь Для всякой функции ) ы 2)12 (а, Ь] определены интегралы м((вогг<г~в)< .
м()овна~в)< а а то 2 Ь ь м ( 1 ~ ого о , ого) гогов , ого ~ в ) = о . а а (16) Укажем некоторые свойства, относящиеся к интегралам по различным винеровским процессам. х. если ио,(г) и ыв(1) независимы и СТОХЛСТИЧЕСКИИ ИИТЕГРАЛ ИТО т и Предположим сначала, что 1(1) и д(г) — ступенчатые функЦии: ) (1) =) (12), д(1) Л'(12) пРи 1,<1 < 12+1, гДе а = 1, < 11 <... ... < Гл =Ь. ТОГда ал-1 л-1 м(Х)Р)),Р„) — РХХРРИ Р„,) —,)Р)))2)— а О )-Р = М 1 Х 1(12) а (1г) ]м (12+ 1) — п)1 (12)] Х ~2 (! Х М 1п)2 (1г+1) п)2 (11) ]ЗАД ] Ва) + + М ( Х 1(12) й)(1!) ]п)2(1)+1) п)2(1Г)1 Х Х М ~~1 (12+1) п)1(12) ] 6121 ] 6а) + /л 1 + М ~ Е 12(12) Ы(12) М (]м)(12+1) — п)1(12)] Х Х ]П)2(12+1) Ю2(12)]!512) Оа) =о В обпгем случае (16) доказывается предельным переходом от ступенчатых функций.
Обозначим через п)(1) т-мерный винеровский процесс. Определим для векторных функций )(1) ~Я", компоненты которых принадлежат е)12]а, Ь], интеграл Р л) Р ) () (1), г(п) (1)) = ~ ~ ], (1) 11иа (1), а Р )а где 1(1) =(11(1),..., ~„,(1)). Будем обозначать для вектора хан Я с компонентами (х„..., х ) Х1. Если 1(1) — такая функция, что 12(1) ы И2(а, Ь] и ° Р м (1)~ в)) а)~2.) < а м(]РР), Р Р2)2.)=о, а мф))),2 )))]'2)=мг(])))))Р)2). Эти формулы вытекают из свойств 11" и Х, тл вчн диеаззцонные пгоцгссы 4б4 Рассмотрим теперь интеграл вида ~ А(1) (11е(1), а где А(г) — матричная функция А(1) =)(а(1(г))(1,' "" „, функции а„(г) вн Яв(а, Ь). Интеграл (17) является векторной функцией со значениями в Я", компоненты этого вектора определяются формулами < (л(ь)л (ь)) ь' 1 „р)л,((), а / 1 а Используя опять свойства 11а и Х, можем установить следую- щее свойство.
ХЕС Если А(ь) — матричная функция, для которои ац(1)ы вн Я,'1а, Ь] и ль р' ь м() ярл(ь)л (ылыв)=м((ь уз(ь)лыв)< а а то ь м1 (л(ь)л (ь) ря)=м()ярл(ыл(ь)ль(в) (ья) а а (здесь Зр С вЂ” след матрицы С). Если В(У) = ~~ 6(1(1) ~~! )з "'„", ь„м м,(.,ь) м[(яряа)я'(ь)а)в)< а м [[ 1 л ( ы л (ь), ) я (ь) л (ь)) в,~- .а а м[)арли)я'я)ьь(в). (ьр) а Слева под знаком математического ожидания записано скалярное произведение двух векторов. (18) является частным случаем (19), если В(1) = А(Г), Расписывая скалярное произведение слева в (19), будем иметь и м Ь а) ь $ а;~ Я дш~ (г) ~~ $ Ь, (1) дш (1), 1-1 Г-1 а ь 1 а Если возьмем математическое ожидание, то останутся лишь те слагаемые, у которых Ь =1.
Воспользовавшись формулой 11*, з и СТОХАСТ(НВСКПИ (П»ТГГРАЛ ПТО получим справа под знаком математического ожидания л )л» ~ ац (1) Ь,! (1) й. (-! г=) а что совпадает с выражением под знаком математического ожвдания в правой части (19). Получим теперь обобщение формулы Ито на функции от нескольких стохастических интегралов. Будем говорить, что процесс С(1) имеет стохастический дифференциал на отрезке [а, Ь], если существуют такие функции Ьа(1), й = 1, ..., тп, нз к)1 [а, Ь) и 5)-измеримая функция а(1), для которой ~1а(1) ~а(1 < Оь, что а для а <1! (2 Ь л) й(22) — й(г,)=~а(з)дз+~Х ~ ЬА(з)с(и)А(з).
а-) Положим тогда )л с((, (1) = а (1) (1! + ~ ЬА (1) На А (1). Х111. Пусть процессы Ь)(1), ..., Ьл(() ил<еют стохастические дифференциалы на [а, Ь1! с(~»(1) =ах(1) д1+ ~ ЬО((1) а)и)О(1), й =1, ..., п, (20) а функция и(1, х),..., кл) непрерыена и имеет непрерь(еные проди ди д»и изеодные —, —, й= 1, ..., п; —, (, 1'= 1,, и. Тогда д!' дх»' ' '''' ' дх дх функция »1(1)=и(1, О)(1),..., Ь„(1)) также имеет стокастический дифференциал ал(О=[+О.(,О).....(.(О) ОТ» — '; (О(,О).....(.(~»,(ОЛ Ф=( л л) л -,' Š— „,"," —,. О, ! ()),.... (. О)) Х»пм О)»л О)1 лл» (, х-! "'! ха Рл / л -~С(С вЂ” „' () ! О),..., (()))ьла))л,((). (2!) г=! л=! Доказательство, Предположим сначала, что функции аь и ЬЮ ПОСтОяННЫ На ОтрЕЗКЕ [ЗЬ ЗО), а фуНКПИя и(йХЬ ..
Хл) Отлична от нуля лишь при 1х~ ( й). Пусть з! = 1» ( .. ( й =з» диеехзио!»ныг пгопзссы сгл. »сш Тогда, используя формулу сс(г«+с, хс,..., х„) — сс(сь у„..., у„) = д (1«» Усг '» Ул)(!«+с !«) +,~„д (~«~ У!» ° '» У»с) !х! У!) + с!"! ™ дзз + — ~ д (~ьу,",у„)(х — уНх! — у;)+ »' (!»» — » )». с, с* — и Р] !» где е=е(гь с«+с, х„..., х„, у„..., у„) равномерно стремится »» к нулю при! с«+с — !«!+ ~ (х! — УсГ-+О, можем записать ! ! ~( «)с~ «+ Х дх !! дх! »»» л Х ~ Ьсс ~~с (!«) + — ~ †(Гь ь! (!«)» ° ь» (!«)) Х с 1 с ! IВ Ф х[»с!»)'»с»»» — Е»А»»1».
[»» ~ Е»с мг], »22» ! где М=$(с, ~ (!), ".. ~.(!))+,'Гф(1, ~ (!),..., ~.(!)) с+ « ~а + а,,~ д д (1, ь»(!),, г,(!)) ~~~, дс,дс„ с, ! ! г сс!«=с«+! гь Ласс(!«) =% (!«»-») сдс(!«) «ьс(Ы =1!(!«+!) 1с(!«). Пусть гп ах Л!« — ~ О, Тогда и !пах ~ схвс (!«) ~ — ~ О, гп ах ~ А~с (!«) ~ -«О. « «,с «. с Поэтому л ~- х Ь.+х сс.г1-о в«»«с«-ьо ь с-с по вероятности, так как при некотором с с-с с-! г «с ~ »с»,с г ~ д ~(»»с+ К» с» г] [гл юн дь!Фэузиоынь!Г пгоцегсы 488 при гпах Льй-+О. Для оценки второй суммы заметим, что слагаемые ее при разных й некоррелированы.
Поэтому она оценивается величиной ь — ! а 2М ~ ~ ~ Х,ьк Ьх ((й 1ь(1й) ° ° ° ь 'йо(гй)) Х к=О С Ь'-4 о ьо ~ йй ьь~ 5' ьпь;,ь,ьоьь,ьь.ь — ~ьпьчьо)'1' ь,]( оо ! ! г-ь И ь'г ьо ( 2 С и'Р Х М ~ 1 Х Ьой, Кнь, Ю Ьнь ((й)— й«о и й-ь ,о-ь — Ть„ь,,ьь,] о„]~ к=1 1 — ь йь йь ~~2п ь ~~~~ ь 2 ~ Ь Ьь + ~~ Ьоьго ьььй О й-о, С-ь Г~ при пзах ого — О. (Заметим, что ай н Ьп являются 5,,-измеримыми, так как они совпадаюг с ай(з,) и Ьн(з,) соответственно.) Таким образом, формула (21) установлена для финитных по х и(й х;, ..., х„) и постоянных а,, Ьь, Значит, формула (21) справедлива и для ступенчатых функций.
Запишем ее в проинтегрированном виде: ц(зй, ~ь(зо) ° ° (зй)) и(зь ~ь(зь), Юо(зь))= ь и = ~ ~ 8, (1 ь (1)* ° ь Р))+ ~~' — (1, ь (1), ь Я) ой Я+ ьь й ь Ф оь й -,' К ,„",.",й ьь, ь ььь. .. ь. ьььь Т. ь., ььь ь„ ььь] ьь .ь йы=ь ь ! + Х ~ Х д (1' ~1(1)' ..., Ьй(г)) Ьы(1)кйнь;(г). (23) ь, й В этой формуле можем перейти к пределу по ай(1) и Ьй,(1) от ступенчатых функций к произвольным, а затем от финитных н(1,хо ..., х„) к любым функциям, удовлетворяющим условиям Х11!, используя при этом свойство ГК стштствоалние и елинствг!!ност! РГп!Гн!ли 5 2. Существование и единственность решений стохастическнх дифференциальных уравнений Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение с( (г) = а (1, з (!)) и!Г + о (г, ь (!)) с(ш (!), (1) решение которого, как естественно предположить, будет диффу- зионным процессом с коэффициентом диффузии пь(г,х) и коэф- фициентом перепаса а(1, х).
Предположим, что а(1, х) п о((, х)-- борелевские функции, определенные при хек Я!, ! — (й!, Т). Уравнение (1) эквивалентно следующему уравнению: з(Г) =$((ь) + ~ а(з, К(з)) да+ ~ в(з, ь (з)) с(ш(з), (2) !р и решается при условии, что $(!ь) задано. Для того чтобы ин- тегралы в (2), а значит, и дифференциалы в (1) имели смысл, нужно ввести о-алгебры событий !У!, В дальнейшем величина з(г,) будет всюду предполагаться независимой от процесса ш(!) — ш((ь), а под о-алгеброй 5„бу- дем понимать минимальную о-алгебру, относительно которой из- меримы величины $(Гь) и ш(з) — !с(!ь) прп Гь.ч з й Процесс С(!) будет считаться решением уравнения (2), если ь(!) 5!-из- мерима, интегралы в (2) существуют и (2) имеет место при ка!кдом Г~(Гм Т) с вероятностью 1. Заметим, что из свойства 1П предыдущего параграфа выте- кает, что для стохастически эквивалентных процессов 1!(з) и 1т(з) совпадают с вероятностью 1 стохастичсские интегралы ~~,(.)д (.), ~1,(.) ш(.), с, С! так как !!(з) =-гз(з) с веРолтностью 1 пРи каждом з и, значит, т т т(1!!,!.! — !,!,)! !.> !~=о.
Отсюда вытекает, что всякий процесс, стохастически эквива- лентный решению уравнения (2), сам будет решением этого же уравнения. А гак как правая часть (2) стохастически эквива- лентна левой и с вероятностью 1 непрерывна, то для всякого ре- шения (2) существует стохастически эквивалентное ему непре- рывное решение.
В дальнейшем рассматриваются только непре- рывные решения уравнения (2). Т со р е м а 1. Пусть а(1, х) и о(!, х) — борелевские функции (тее(!о, л1, хан Я!), удовлетворяюи(ие ири некотором К усло- виялг: диееузионнь(е пеоцвссл! 470 (гл з'ш а) для всех х и у~Я) ] а (~, х) — и ((, у) ] + ] с (~, х) — в(8, у) ]» »Е(,1 х — у !; б) для всех хан Я) ~ а(7, х) ]'+] о(7«х) ]'(К'(! + х'). Тогда существует ре(иение уравнения (2), и если $) ()) и $4(7) — два непрерывных решения (при фиксированном $(1ь)), то Р( зпр ]й((7) — ~з(~)]) О] =О. и<( т Доказательство. Докажем сначала единственность непрерывного решения. Пусть $)(7) и $г(1) — два непрерывных решения (2).
Обозначим через ум(7) случайную величину, равную 1, если [$)(з) ] =' Л), [Ц,(з) [( У при з я[(ы 7], и равную О в противном случае. Поскольку ~м(г)~м(з) = ум(() при з ( г, то х.(() (((() — (,(()) -х.(О [] х.() (.(, ( ()) —.(.. ) ( ))) а..« и с -«](.()(.(..) ())- (,ь(*)))~ ()]. Так как Хм(з) []а(з, ь((з)) — а(з «ьг(з))]+] о(з В((з)) — о(з «ьг(з))]] »< (КХ (з)] Ь((з) — Ь,(з) ] <2ХСК(, то существуют математические ожидания от квадратов интегралов в правой части предыдущего равенства.
Применяя неравенство (а+ ())г ~ 2а'-)-2()г, неравенство Коши и свойство П' предыдущего параграфа, приходим к неравенству Мтм (() [ ) (() — 1, (~)]'( ()их Р)[]х ()( (.) ()) — (*.(*()))~) (- 7 ) + 2МХм (7) ~ ~ Хм (з) [о (з $) (з)) — о (з ьг (з))] сЪ (з) ~ »< и »»2(Т вЂ” )р) ~ Мхм(з) [а(з, $((з)) — а(з, $г(з))]~де+ с, с + 2 ~ МХм(з) [о(з, $((з)) — о(з, ~з(з))]'((з. о Е съ".ОтествоВАние и елинстВенность РВЛ1гпип 471 Учитывая условие а), убеждаемся в сусцествовании такой постоянной Т., что с МХк(1) Вс(Π— В (7)]'( 1- $ Мжн (з) Вс (з) -Ь(з)]сдз (3) Воспользуемся теперь одним вспомогательным предложением, которое окажется полезным для многих оценок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
